1、2018-2019 学年福建省龙岩市永定区、长汀县联考八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1（4 分）下列式子是最简二次根式的是（ ）A B C D2（4 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A BC D3（4 分）由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）AA+ BC BA：B：C1：3：2Ca2，b3，c 4 D（b+c）（bc ）a 24（4 分）如图，在 22 的正方形网格中，每个小正方形边长为 1，点 A，B，C 均为格点，以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交格线于点 D，则 CD 的长
2、为（ ）A B C D25（4 分）如图，若12，ADBC，则四边形 ABCD 是（ ）A平行四边形 B菱形C正方形 D以上说法都不对6（4 分）下列说法正确的有几个（ ）对角线互相平分的四边形是平行四边形； 对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； 对角线相等的平行四边形是矩形A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7（4 分）如图所示，四边形 ABCD 为矩形，点 O 为对角线的交点，BOC120，AE BO 交 BO 于点 E，AB 4，则 BE 等于（ ）A4 B3 C2 D18（4 分）如图，在MON 的两边上分别截取 OA、OB，使 OAOB；分别以点
3、 A、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点 C；连接 AC、BC、AB 、OC若 AB2cm，四边形 OACB 的面积为 4cm2则 OC 的长为（ ）A2 B3 C4 D59（4 分）在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E，使 CEAC ，AE 与 CD 交于点F，那么 AFC 的度数为（ ）A105 B112.5 C135 D12010（4 分）如图，已知直线 l1l 2l 3l 4，相邻两条平行线间的距离都是 1，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则正方形 ABCD 的面积为（ ）A B C3 D5二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分
4、）11（4 分）计算： 12（4 分）若 x0，则 的结果是 13（4 分）如图，在ABCD 中，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F若EAF55，则B 14（4 分）已知直角三角形两边直角边长为 1 和 ，则此直角三角形斜边上的中线长是 15（4 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在 AD、DC 上，AE DF2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为 16（4 分）如图，在ABC 中，C90，AC8，BC6，P 是 AB 边上的一个动点（异于 A、B 两点），过点 P 分别作 AC、BC 边的垂线，垂足分别为 M、
5、N，则 MN 最小值是 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分）17（8 分）计算： 18（8 分）计算：（2+ ）（2 ）+（ ） 19（8 分）如图，在每个小正方形是边长为 1 的网格中，A，B，C 均为格点（）仅用不带刻度的直尺作 BDAC，垂足为 D，并简要说明道理；（）连接 AB，求ABC 的周长20（8 分）在甲村至乙村间有一条公路，在 C 处需要爆破，已知点 C 与公路上的停靠站A 的距离为 300 米，与公路上的另一停靠站 B 的距离为 400 米，且 CACB，如图所示，为了安全起见，爆破点 C 周围半径 250 米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB 段是否有危
6、险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答21（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F、为对角线 BD 上的两点，且BAEDCF求证：AECF22（10 分）已知，如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DEBC，垂足为 D，交 AB 于点 E，且 BE2EA 2AC 2，求证： A 90若 DE3， BD4，求 AE 的长23（10 分）已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，点 F，G ，H 分别是BC，BE ，CE 的中点（1）求证：BGFFHC；（2）设 ADa，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积24（12 分）定义：我们把对角线相等
7、的四边形叫做和美四边形（1）请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子（2）如图 1，E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 的边 AB，BC ，CD，DA 的中点，已知四边形 EFGH 是菱形，求证：四边形 ABCD 是和美四边形；（3）如图 2，四边形 ABCD 是和美四边形，对角线 AC，BD 相交于 O，AOB60，E、F 分别是 AD、BC 的中点，请探索 EF 与 AC 之间的数量关系，并证明你的结论25（14 分）如图所示，在等边三角形 ABC 中，BC 8cm，射线 AGBC，点 E 从点 A出发沿射线 AG 以 1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线
8、 BC 以 2cm/s 的速度运动，设运动时间为 t（s）（1）连接 EF，当 EF 经过 AC 边的中点 D 时，求证：四边形 AFCE 是平行四边形；（2）填空：当 t 为 s 时，四边形 ACFE 是菱形；当 t 为 s 时，ACE 的面积是ACF 的面积的 2 倍2018-2019 学年福建省龙岩市永定区、长汀县联考八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1（4 分）下列式子是最简二次根式的是（ ）A B C D【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上
9、述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可【解答】解：A、 不是最简二次根式，故此选项错误；B、 不是最简二次根式，故此选项错误；C、 不是最简二次根式，故此选项错误；D、 是最简二次根式，故此选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式2（4 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A BC D【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可【解答】解：由题意得 x+20，解得 x2故选
10、：D【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键3（4 分）由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）AA+ BC BA：B：C1：3：2Ca2，b3，c 4 D（b+c）（bc ）a 2【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是 90即可【解答】解：A、A+BC，可得C 90，是直角三角形，错误；B、A：B： C 1：3：2，可得C90，是直角三角形，错误；C、2 2+324 2，故不能判定是直角三角形，正确；D、（b+c）（bc）a 2，b 2c 2a 2，即 a2+c2b 2，故是直角三角形，错误；故选
11、：C【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可4（4 分）如图，在 22 的正方形网格中，每个小正方形边长为 1，点 A，B，C 均为格点，以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交格线于点 D，则 CD 的长为（ ）A B C D2【分析】由勾股定理求出 DE，即可得出 CD 的长【解答】解：连接 AD，如图所示：ADAB2，DE ，CD2 ；故选：D【点评】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出 DE 是解决问题的关键5（4 分）如图，若12，ADBC，则四边形 ABCD 是（ ）A平行四边形 B菱形C正方形 D以上
12、说法都不对【分析】根据题意判断出ACDCAB，故可得出34，由此可得出结论【解答】解：在ACD 与CAB 中， ，ACDCAB，34，ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形故选：A【点评】本题考查的是平行四边形的判定，熟知两组对边分别平行的四边形是平行四边形是解答此题的关键6（4 分）下列说法正确的有几个（ ）对角线互相平分的四边形是平行四边形； 对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； 对角线相等的平行四边形是矩形A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】由平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定定理进行判断即可【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边
13、形，故正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故正确；对角线相等的平行四边形是矩形，故正确；故选：C【点评】本题考查了正方形、平行四边形、菱形以及矩形的判定定理注意菱形与正方形的区别与联系、矩形与正方形的区别与联系7（4 分）如图所示，四边形 ABCD 为矩形，点 O 为对角线的交点，BOC120，AE BO 交 BO 于点 E，AB 4，则 BE 等于（ ）A4 B3 C2 D1【分析】由矩形的性质得出 OAOB ，证出AOB 是等边三角形，得出 OBAB4，再由等边三角形的三线合一性质得出 BE OB2 即可【解答】解：四边形 ABCD 是
14、矩形，OA AC，OB BD，ACBD，OAOB ，BOC120，AOB60，AOB 是等边三角形，OBAB4，AEBO ，BE OB2故选：C【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键8（4 分）如图，在MON 的两边上分别截取 OA、OB，使 OAOB；分别以点 A、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点 C；连接 AC、BC、AB 、OC若 AB2cm，四边形 OACB 的面积为 4cm2则 OC 的长为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据作法判定出四边形 OACB 是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半
15、列式计算即可得解【解答】解：根据作图，AC BC OA，OAOB ，OAOB BC AC，四边形 OACB 是菱形，AB2cm，四边形 OACB 的面积为 4cm2， ABOC 2OC4，解得 OC4cm 故选：C【点评】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形 OACB 是菱形是解题的关键9（4 分）在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E，使 CEAC ，AE 与 CD 交于点F，那么 AFC 的度数为（ ）A105 B112.5 C135 D120【分析】根据正方形的性质，得ACB245，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得1E2
16、2.5，从而根据三角形的内角和定理进行计算【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ACB245ACCE，1E22.5AFC1804522.5112.5故选：B【点评】此题综合运用了正方形的性质、三角形的内角和定理及其推论、等腰三角形的性质10（4 分）如图，已知直线 l1l 2l 3l 4，相邻两条平行线间的距离都是 1，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则正方形 ABCD 的面积为（ ）A B C3 D5【分析】过 D 点作直线 EF 与平行线垂直，与 l1 交于点 E，与 l4 交于点 F易证ADEDFC，得 CF1，DF2根据勾股定理可求 CD2 得正方形的面积【解答】解：作
17、EFl 2，交 l1 于 E 点，交 l4 于 F 点l 1l 2l 3l 4，EFl 2，EFl 1，EFl 4，即AEDDFC90ABCD 为正方形，ADC90ADE+CDF90又ADE+DAE 90，CDFDAE在ADE 和DCF 中ADEDCF（AAS ），CFDE1DF2，CD 21 2+225，即正方形 ABCD 的面积为 5故选：D【点评】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11（4 分）计算： 【分析】分子和分母同时乘 ，计算即可【解答】解： ，故答案为： 【点评】本题
18、考查的是二次根式的化简，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式12（4 分）若 x0，则 的结果是 1 【分析】利用 x 的取值范围，进而化简求出即可【解答】解：x0， 1故答案为：1【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质进行化简是解题关键13（4 分）如图，在ABCD 中，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F若EAF55，则B 55 【分析】根据四边形内角和定理可求C125，根据平行四边形的性质可求B 的度数【解答】解：AEBC 于点 E，AFCD 于点 FAECAFC90AEC+ AFC+C +EAF360，且EAF55C360909
19、0 55125四边形 ABCD 是平行四边形B+C 180 B55故答案为 55【点评】本题考查了平行四边形的性质，四边形内角和定理，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键14（4 分）已知直角三角形两边直角边长为 1 和 ，则此直角三角形斜边上的中线长是 1 【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【解答】解：由勾股定理得，斜边 2，所以，斜边上的中线长 21故答案为：1【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键15（4 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在 AD、DC
20、 上，AE DF2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 ABAD，每一个角都是直角可得BAE D 90，然后利用“边角边”证明ABEDAF 得ABEDAF，进一步得AGEBGF 90，从而知 GH BF，利用勾股定理求出 BF 的长即可得出答案【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，BAE D 90，AB AD，在ABE 和DAF 中， ，ABE DAF（SAS），ABE DAF，ABE +BEA90，DAF+BEA90，AGEBGF90，点 H 为 BF 的中点，GH BF，BC5、CFCDDF5 23，
21、BF ，GH BF ，故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键16（4 分）如图，在ABC 中，C90，AC8，BC6，P 是 AB 边上的一个动点（异于 A、B 两点），过点 P 分别作 AC、BC 边的垂线，垂足分别为 M、N，则 MN 最小值是 【分析】首先证明四边形 PMCN 是矩形，推出 MNPC ，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】解：如图，连接 MN，PC 在ABC 中，C90，AC8，BC6，AB 10，PMAC，PNBC，PMCPNCC90，四边形 PMCN 是矩形，M
22、NPC，当 PCAB 时， PC 的值最小，最小值 ，故答案为 【点评】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分）17（8 分）计算： 【分析】先计算算术平方根、立方根和乘方，再计算加减可得【解答】解：原式4 31 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则18（8 分）计算：（2+ ）（2 ）+（ ） 【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式可以解答本题【解答】解：（2+ ）（2 ）+（ ）43+23 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本
23、题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法19（8 分）如图，在每个小正方形是边长为 1 的网格中，A，B，C 均为格点（）仅用不带刻度的直尺作 BDAC，垂足为 D，并简要说明道理；（）连接 AB，求ABC 的周长【分析】（）取线段 AC 的中点为格点 D，则有 DCAD连 BD，则 BDAC，（）利用勾股定理求出 AC、BC 即可解决问题；【解答】解：（）取线段 AC 的中点为格点 D，则有 DCAD连 BD，则 BDAC，理由：由图可知 BC5，连接 AB，则 AB5，BCAB，又 CDAD，BDAC（）由图可得 AB5，AC 2 ，BC 5，ABC 的周长5+5+2 10+2 【点评】本
24、题考查作图应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型20（8 分）在甲村至乙村间有一条公路，在 C 处需要爆破，已知点 C 与公路上的停靠站A 的距离为 300 米，与公路上的另一停靠站 B 的距离为 400 米，且 CACB，如图所示，为了安全起见，爆破点 C 周围半径 250 米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB 段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答【分析】过 C 作 CDAB 于 D根据 BC400 米，AC 300 米，ACB90，利用根据勾股定理有 AB500 米利用 SABC ABCD BCAC 得到 CD240
25、米再根据 240 米250 米可以判断有危险【解答】解：公路 AB 需要暂时封锁理由如下：如图，过 C 作 CDAB 于 D因为 BC400 米，AC300 米，ACB90，所以根据勾股定理有 AB500 米因为 SABC ABCD BCAC所以 CD 240（米）由于 240 米250 米，故有危险，因此 AB 段公路需要暂时封锁【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理21（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F、为对角线 BD 上的两点，且BAEDCF求证：AECF【分析】由题意可证ABECDF，可得结论【解答】证明四边形 ABCD 为平行四
26、边形ABCD，AB CDABDCDB在ABE 与CDF 中ABE CDF（ASA）AECF【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键22（10 分）已知，如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DEBC，垂足为 D，交 AB 于点 E，且 BE2EA 2AC 2，求证： A 90若 DE3， BD4，求 AE 的长【分析】（1）连接 CE，由线段垂直平分线的性质可求得 BECE，再结合条件可求得EA2+AC2CE 2，可证得结论；（2）在 RtBDE 中可求得 BE，则可求得 CE，在 RtABC 中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于
27、AE 的方程，可求得 AE【解答】（1）证明：连接 CE，如图，D 是 BC 的中点，DEBC，CEBE，BE 2EA 2AC 2，CE 2EA 2 AC2，EA 2+AC2CE 2，ACE 是直角三角形，即A90；（2）解：DE3，BD4，BE 5CE，AC 2EC 2AE 225EA 2，BC2BD8，在 RtBAC 中由勾股定理可得：BC 2BA 264（5+EA） 2AC 2，64（5+AE） 225EA 2，解得 AE 【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用23（10 分）已知矩形 ABCD 中，E 是 AD
28、边上的一个动点，点 F，G ，H 分别是BC，BE ，CE 的中点（1）求证：BGFFHC；（2）设 ADa，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可【解答】解：连接 EF，（1）点 F，G ，H 分别是 BC，BE，CE 的中点，FHBE，FH BE，FHBG，CFHCBG，BFCF，BGFFHC，（2）当四边形 EGFH 是正方形时，连接 GH，可得：EFGH 且 EFGH ，在BEC 中，点，H 分别是 BE，CE 的中点，GH ，且 GHBC，EFBC，ADBC，
29、AB BC，ABEFGH a，矩形 ABCD 的面积 【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答24（12 分）定义：我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形（1）请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子（2）如图 1，E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 的边 AB，BC ，CD，DA 的中点，已知四边形 EFGH 是菱形，求证：四边形 ABCD 是和美四边形；（3）如图 2，四边形 ABCD 是和美四边形，对角线 AC，BD 相交于 O，AOB60，E、F 分别是 AD、BC 的中点，请探索 EF 与 AC 之间的数量关系，并证明你的结论【分析】（
30、1）根据矩形的对角线相等解答；（2）根据三角形的中位线定理得；EH BDFG，EF ACHG，由菱形 EFGH四边相等可得：ACBD，所以四边形 ABCD 是和美四边形；（3）作辅助线，构建平行四边形 MABD，再证明AMC 是等边三角形，根据三角形中位线定理得：EF CM AC【解答】解：（1）矩形的对角线相等，矩形是和美四边形；（2）如图 1，连接 AC、BD，E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 的边 AB，BC ，CD，DA 的中点，EH BDFG，EF ACHG，四边形 EFGH 是菱形，EHEFFGGH，ACBD，四边形 ABCD 是和美四边形；（3）EF AC，证明：如图 2，
31、连接 BE 并延长至 M，使 BEEM，连接 DM、AM、CM，AEED ，四边形 MABD 是平行四边形，BDAM，BDAM ，MACAOB 60，AMC 是等边三角形，CMAC，BMC 中，BE EM ，BFFC，EF CM AC【点评】本题考查的是和美四边形的定义、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、矩形和菱形的性质，正确理解和美四边形的定义、作辅助线是解题的关键25（14 分）如图所示，在等边三角形 ABC 中，BC 8cm，射线 AGBC，点 E 从点 A出发沿射线 AG 以 1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/s 的速度运动，设运动时
32、间为 t（s）（1）连接 EF，当 EF 经过 AC 边的中点 D 时，求证：四边形 AFCE 是平行四边形；（2）填空：当 t 为 8 s 时，四边形 ACFE 是菱形；当 t 为 或 s 时， ACE 的面积是ACF 的面积的 2 倍【分析】（1）判断出ADECDF 得出 AECF，即可得出结论；（2） 先求出 ACBC8，进而判断出 AECFAC8，即可得出结论；先判断出 ACE 和ACF 的边 AE 和 CF 上的高相等，进而判断出 AE2CF，再分两种情况，建立方程求解即可得出结论【解答】解：（1）如图 1，AGBC，EACFCA，AED CFD，EF 经过 AC 边的中点 D，AD
33、CD，ADECDF（AAS ），AECF，AEFC，四边形 AFCE 是平行四边形；（2） 如图 2，ABC 是等边三角形，ACBC8，四边形 ACFE 是菱形，AECFACBC8，且点 F 在 BC 延长线上，由运动知，AEt，BF 2t，CF2t8，t8，将 t8 代入 CF2t8 中，得 CF8AC AE ，符合题意，即：t8 秒时，四边形 ACFE 是菱形，故答案为 8；设平行线 AG 与 BC 的距离为 h，ACE 边 AE 上的高为 h，ACF 的边 CF 上的高为 h，ACE 的面积是ACF 的面积的 2 倍，AE2CF，当点 F 在线段 BC 上时（0t4），CF 82t，AEt ，t2（82t），t ；当点 F 在 BC 的延长线上时（t4），CF 2t8，AEt，t2（2t8），t ，即：t 秒或 秒时，ACE 的面积是ACF 的面积的 2 倍，故答案为： 或 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键