1、2019 年浙江省嘉兴市海宁市中考数学一模试卷一、选择题（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1（3 分）已知 ，则 等于（ ）A B C2 D32（3 分）若 mn，则下列不等式正确的是（ ）Am+2n+2 Bm2n2 C2m2n Dm 2n 23（3 分）将直角三角形纸片按如图方式折叠，不可能折出（ ）A直角 B中位线 C菱形 D矩形4（3 分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）A抛出的篮球往下落B在只有白球的袋子里摸出一个红球C地球绕太阳公转D购买 10 张彩票，中一等奖5（3 分）如图，BD，CE 分别是ABC 的高线
2、和角平分线，且相交于点 O若AB AC，A40，则BOE 的度数是（ ）A60 B55 C50 D406（3 分）统计局信息显示，2018 年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到 27.49 亿元，若 2020年全市农家乐旅游营业收入要达到 38 亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是 x，则下列方程正确的是（ ）A27.49+27.49 x238 B27.49（1+2x）38C38（1x） 227.49 D27.49（ 1+x） 2387（3 分）如图，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中 A 是光盘与桌面的切点，BAC 60，光盘的直径是 80cm，则斜边 AB 被光盘截得的线段 AD 长为
3、（ ）A20 cm B40 cm C80cm D80 cm8（3 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 是 AD 边上的一个动点，已知AB 4，AD2 ，GEF 与AEF 关于直线 EF 成轴对称当点 F 沿 AD 边从点 A 运动到点 D 时，点 G 的运动路径长为（ ）A2 B4 C2 D9（3 分）希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数例如：他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A289 B1024 C1225 D
4、137810（3 分）如图，菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上将菱形沿 EF 折叠，点B 恰好落在边 AD 上的点 G 处若B45，AE ，BE2 ，则 tanEFG 的值是（ ）A B C2 D二、填空题（本题有 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11（4 分）因式分解：a 22a 12（4 分）已知函数 y2x+1，当 x3 时，y 的取值范围是 13（4 分）用反证法证明命题“三角形中至少有两个锐角”，第一步应假设 14（4 分）小林和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”“参加社会调查”其中一项那么两人同时选择“参加社会调查”的概率是 15（4 分）如
5、图，将正方形 ABCD 剪成左图所示的四块，恰好能拼成右图所示的矩形若 EC1，则 BE 16（4 分）已知实数 a，b 满足 a+2b3，abx2若 y（a2b） 2，则 y 关于 x 的函数解析式是 三、解答题（本题有 8 小题，第 1719 题每题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 66 分）17（6 分）（1）计算： +|3|（ 1） 0（2）解分式方程：18（6 分）先化简，后求值： ，其中 x 219（6 分）如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AGBH（
6、1）求FAB 的度数；（2）求证：OGOH20（8 分）在学校组织的“学习强国”阅读知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为 A，B ， C，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为 100 分，90 分，80 分和70 分年级组长张老师将 901 班和 902 班的成绩进行整理并绘制成如下的统计图：（1）在本次竞赛中，902 班 C 级及以上的人数有多少？（2）请你将下面的表格补充完整：平均数（分） 中位数（分） 众数（分） B 级及以上人数901 班 87.6 90 18902 班 87.6 100 （3）请你对 901 班和 902 班在本次竞赛中的成绩进行比较21（8 分）如图，小
7、聪和小明在校园内测量钟楼 MN 的高度小聪在 A 处测得钟楼顶端N 的仰角为 45，小明在 B 处测得钟楼顶端 N 的仰角为 60，并测得 A，B 两点之间的距离为 27.3 米，已知点 A，M，B 依次在同一直线上（1）求钟楼 MN 的高度，（结果精确到 0.1 米）（2）因为要举办艺术节，学校在钟楼顶端 N 处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C 处（点 C 在线段 AM 上）小聪测得点 C 处的仰角NCM 等于 75，小明测得点C，M 之间的距离约为 5 米，若小聪的仰角数据正确，问小明测得的数据“5 米”是否正确？为什么？（参考数据： 1.41， 1.73）22（10 分）如图，已知点
8、 A（a，m ）在反比例函数 y 的图象上，并且 a0，作AB x 轴于点 B，连结 OA（1）当 a2 时，求线段 AB 的长（2）在（1）条件下，在 x 轴负半轴上取一点 P，将线段 AB 绕点 P 按顺时针旋转 90得到 CD若点 B 的对应点 D 落在反比例函数 y 的图象上，求点 C 的坐标（3）将线段 OA 绕点 O 旋转，当点 A 落在反比例函数 y （x0）图象上的F（d，n）处时，请直接写出 m 和 n 之间的数量关系23（10 分）在水平的地面 BD 上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆 AB，CD，以点B 为坐标原点，直线 BD 为 x 轴建立平面直角坐标系，得到图 1已
9、知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线 y x2 x+30（1）求电线杆 AB 和线段 BD 的长（2）因实际需要，电力公司在距离 AB 为 30 米处增设了一根电线杆 MN（如图 2），左边抛物线 F1 的最低点离 MN 为 10 米，离地面 18 米，求 MN 的长（3）将电线杆 MN 的长度变为 30 米，调整电线杆 MN 在线段 BD 上的位置，使右边抛物线 F2 的二次项系数始终是 ，设电线杆 MN 距离 AB 为 m 米，抛物线 F2 的最低点离地面的距离为 k 米，当 20k25 时，求 m 的取值范围24（12 分）定义：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的
10、线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个与原三角形相似，那么我们称这条线段为原三角形的相似线，记此小三角形与原三角形的相似比为k（1）【理解】如图 1，ABC 中，已知 D 是 AC 边上一点，CBDA求证：BD是ABC 的相似线；（2）【探究】如图 2，ABC 中，AB4，BC 2，AC 2 请用尺规作图法在平面内找一点 D、使 BC 是以 A、D 为其中两个顶点的三角形的相似线，并直接写出 k 的值，（提醒：保留作图痕迹，在确认无误后用黑色签字笔将作图痕迹描黑）（3）【应用】如图 3，扇形 AOB 中，AOB90，AO OB2，C，D 分别是OA，OB 的中点，P
11、 是弧 AB 上的一个动点，求 PC+2PD 的最小值2019 年浙江省嘉兴市海宁市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10 小题，每题 3 分，共 30 分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1（3 分）已知 ，则 等于（ ）A B C2 D3【分析】由题干可得 y2x ，代入 计算即可求解【解答】解： ，y2x， 故选：A【点评】本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积即若 ，则adbc，比较简单2（3 分）若 mn，则下列不等式正确的是（ ）Am+2n+2 Bm2n2 C2m2n Dm 2n 2【分析】根据不等式的性质判断即可【解答】解：
12、mn，m+2 n+2，m2n2， 2m 2n，故选：C【点评】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变3（3 分）将直角三角形纸片按如图方式折叠，不可能折出（ ）A直角 B中位线 C菱形 D矩形【分析】由折叠的性质可求解【解答】解：当直角三角形沿斜边中点和直角边中点所在直线折叠，可以得到图形有直角，中位线，矩形，不可能折出菱形故选：C【点评】本题考查了翻折变换，三角形中位线定理，菱形的性质，矩形的性质，熟练运用折叠性质是本题的关键4（3 分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）A抛出的篮球往下落B在只有白球的
13、袋子里摸出一个红球C地球绕太阳公转D购买 10 张彩票，中一等奖【分析】随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，根据定义即可判断【解答】解：A、抛出的篮球会落下是必然事件，故本选项错误；B、从装有白球的袋里摸出红球，是不可能事件，故本选项错误；C、地球绕太阳公转，是必然事件，故本选项错误；D、购买 10 张彩票，中一等奖是随机事件，故本选正确故选：D【点评】本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单5（3 分）如图，BD，CE 分别是ABC 的高线和角平分线，且相交于点 O若AB AC，A40，则BOE 的度
14、数是（ ）A60 B55 C50 D40【分析】利用等腰三角形的性质以及角平分线的定义求出DCO 即可解决问题【解答】解：ABAC，A40，ABCACB70，CE 平分ACB，ACE ACB35，BDAC，ODC90，BOECOD9035 55，故选：B【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6（3 分）统计局信息显示，2018 年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到 27.49 亿元，若 2020年全市农家乐旅游营业收入要达到 38 亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是 x，则下列方程正确的是（ ）A27
15、.49+27.49 x238 B27.49（1+2x）38C38（1x） 227.49 D27.49（ 1+x） 238【分析】首先根据题意可得 2019 年的营业收入2018 年营业收入（1+增长率），2020 年营业收入2019 年营业收入（1+增长率），由此可得方程 27.49（1+x）238【解答】解：设平均每年比上一年增长的百分率是 x，根据题意得：27.49（1+x） 238故选：D【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2b7（3 分）如图
16、，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中 A 是光盘与桌面的切点，BAC 60，光盘的直径是 80cm，则斜边 AB 被光盘截得的线段 AD 长为（ ）A20 cm B40 cm C80cm D80 cm【分析】连接 DO，AO，过 O 作 OEAD 交 AD 于点 E，由 A 是光盘与桌面的切点，求出OAE30，E 是 AD 的中点，在 RtAEO 中求出 AE，即可求 AD；【解答】解：连接 DO，AO，过 O 作 OEAD 交 AD 于点 E，BAC60，A 是光盘与桌面的切点，OAC90，OAE30，OAOD ，E 是 AD 的中点，在 Rt AEO 中，AO80cmAE40 cm
17、，AD80 cm；故选：D【点评】本题考查直角三角形的特殊三角函数值，圆的切线性质，等腰三角形的性质；能够将所求的边构造直角三角形进行求解是解题的关键8（3 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 是 AD 边上的一个动点，已知AB 4，AD2 ，GEF 与AEF 关于直线 EF 成轴对称当点 F 沿 AD 边从点 A 运动到点 D 时，点 G 的运动路径长为（ ）A2 B4 C2 D【分析】由轴对称性质可知，GEAE2 是定长，故点 G 的运动路径为以 E 为圆心、AE 长为半径的圆弧上，圆弧的最大角度即点 F 到达中点 D 时，AEG 的度数利用AD、AE 的长可求 tan
18、AED 的值，求得AED 并进而求得 AEG 为特殊角再代入弧长公式即求出点 G 的运动路径长【解答】解：矩形 ABCD 中，AB4，E 是 AB 的中点AE AB2GEF 与AEF 关于直线 EF 成轴对称GEAE2，GEFAEFG 在以 E 为圆心，AE 长为半径的圆弧上运动如图，当点 F 与点 D 重合时， ADtanAEDAED60AEG2AED 120G 运动路径长为：22 故选：D【点评】本题考查了轴对称性质，圆的定义，三角函数，圆弧计算解题关键是由轴对称性质得到 GEAE 2 为定值，得到点 G 的运动轨迹为圆弧9（3 分）希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数例如：他们研
19、究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A289 B1024 C1225 D1378【分析】由题意可知：三角形数的第 n 个为 1+2+3+4+n n（n+1），正方形数的第 n 个为 n2，由此逐一验证得出答案即可【解答】解：由于三角形数的第 n 个为 1+2+3+4+n n（n+1），正方形数的第 n个为 n2，A、 n（n+1） 289 无整数解，不合题意；B、 n（n+1） 1024，不合题意；C、 n（n+1）1225，解得 n49，符合题意
20、；D、 n（n+1）1378，无整数解，不合题意故选：C【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，利用数字之间的运算规律，解决问题10（3 分）如图，菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上将菱形沿 EF 折叠，点B 恰好落在边 AD 上的点 G 处若B45，AE ，BE2 ，则 tanEFG 的值是（ ）A B C2 D【分析】过 E 作 PHBC 于 P，交 DA 延长线于 H，作 GMBC 于 M，则PHAH，GMPH，GHPM，由折叠的性质得：GEAE2 ，GFBF ，EFG EFB ，由平行线的性质得出 HAEB45，得出BPE 和AEH 是等腰直角三角形，
21、得出BPEP BE2，AHEH AE1，GM HP 3，在 RtGEH 中，由勾股定理求出 GH ，得出 PMGH ，设 PFx，则 FM x，GFBFx+2，在RtGFM 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 PF2 4，再由三角函数定义即可得出结果【解答】解：过 E 作 PHBC 于 P，交 DA 延长线于 H，作 GMBC 于 M，如图所示：则 PHAH ，GMPH，GHPM，由折叠的性质得：GEAE 2 ，GF BF，EFG EFB，四边形 ABCD 是菱形，ADBC，HAEB45，BPE 和AEH 是等腰直角三角形，BPEP BE2，AHEH AE1，GM HP2+13，在 Rt GE
22、H 中，由勾股定理得：1 2+GH2（2 ） 2，解得：GH （负值舍去），GH ，PMGH ，设 PFx，则 FM x ，GF BF x+2，在 Rt GFM 中，由勾股定理得：3 2+（ x） 2（x+2） 2，解得：x2 4，PF2 4，tanEFGtanEFB ；故选：B【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键二、填空题（本题有 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11（4 分）因式分解：a 22a a（a2） 【分析】先确定公因式是 a，然后提取公因式即可【解答】解：a
23、22aa（a2）故答案为：a（a2）【点评】本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可12（4 分）已知函数 y2x+1，当 x3 时，y 的取值范围是 y 7 【分析】先计算出自变量为 3 对应的函数值，然后根据一次函数的性质解决问题【解答】解：当 x3 时，y 23+17，而 y 随 x 的增大而增大，所以当 x3 时，y 的取值范围是 y7故答案为 y7【点评】本题考查了一次函数的性质：对于一次函数 ykx +b（k 0），k0，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降13（4 分）用反证法证明命题“三角形中至少有两个锐角”，第一步应假
24、设 同一三角形中最多有一个锐角 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可【解答】解：用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，第一步应假设同一三角形中最多有一个锐角故答案为：同一三角形中最多有一个锐角【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定14（4 分）小林和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”“参加社会调查”其中一项那么两人同时选择“参加社会调查”的概率是 【分析】画树状图（“打扫社区卫生”“参加社会调查”分别用 A、B 表示）展示所有4 种
25、等可能的结果数，找出两人同时选择“参加社会调查”的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：（“打扫社区卫生”“参加社会调查”分别用 A、B 表示）共有 4 种等可能的结果数，其中两人同时选择“参加社会调查”的结果数为 1，所以两人同时选择“参加社会调查”的概率 故答案为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率15（4 分）如图，将正方形 ABCD 剪成左图所示的四块，恰好能拼成右图所示的矩形若 EC1，则 BE 【分析】已知中的和 ， 和形状大小分
26、别完全相同，结合图中数据可知 能拼成一个直角三角形，能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等，设边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+ b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b） 2b（b+a+ b），而 a1，代入即可得到关于 b 的方程，解方程即可求出 b【解答】解：设 BEb，ECa，依题意得（a+ b） 2b（b+a+b），而 a1，b 2b10，b ，而 b 不能为负，BEb 故答案为： 【点评】此题主要考查了图形的剪拼，正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系是解题
27、关键16（4 分）已知实数 a，b 满足 a+2b3，abx2若 y（a2b） 2，则 y 关于 x 的函数解析式是 y 8x+25 【分析】根据 a+2b3，abx2 以及完全平方公式的变形即可得出 y 关于 x 的函数解析式【解答】解：a+2b3，abx2，y（a2b） 2（a+2b） 28ab98（x2）8x+25，故答案为：y8x +25【点评】本题考查了整式的运算和一次函数的解析式，正确利用完全平方公式的变形得出函数解析式是本题的关键三、解答题（本题有 8 小题，第 1719 题每题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共
28、 66 分）17（6 分）（1）计算： +|3|（ 1） 0（2）解分式方程：【分析】（1）原式利用算术平方根定义，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：（1）原式3+315；（2）去分母得：2+1+x 4x ，解得：x1，经检验 x1 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验18（6 分）先化简，后求值： ，其中 x 2【分析】根据分式的减法和约分的方法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解： ，
29、当 x 2 时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法19（6 分）如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AGBH（1）求FAB 的度数；（2）求证：OGOH【分析】（1）根据多边形的内角和定理、正多边形的性质计算；（2）证明AOGBOH ，根据全等三角形的性质证明结论【解答】（1）解：六边形 ABCDEF 是正六边形，FAB 120 ；（2）证明：连接 OA、OB，OAOB ，OABOBA，FAB CBA，OAG OBH，在AOG 和 BOH 中，AOG BOH（SAS）OGOH【点评】本题考查的
30、是正多边形和圆，掌握正多边形的内角的计算公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键20（8 分）在学校组织的“学习强国”阅读知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为 A，B ， C，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为 100 分，90 分，80 分和70 分年级组长张老师将 901 班和 902 班的成绩进行整理并绘制成如下的统计图：（1）在本次竞赛中，902 班 C 级及以上的人数有多少？（2）请你将下面的表格补充完整：平均数（分） 中位数（分） 众数（分） B 级及以上人数901 班 87.6 90 90 18902 班 87.6 80 100 12 （3）请你对 901
31、班和 902 班在本次竞赛中的成绩进行比较【分析】（1）先求出 901 班总人数，再求 902 班成绩在 C 级以上（包括 C 级）的人数；（2）由中位数和众数的定义解题；（3）只要答案符合题意即可（答案不唯一）【解答】解：（1）901 班人数有：6+12+2+525（人），每班参加比赛的人数相同，902 班有 25 人，C 级以上（包括 C 级）的人数25（44%+4%+36% ）21（人），（2）901 班成绩的众数为 90 分，902 班 A 级学生2544% 11，B 级学生254%1，C 级学生2536%9，D 级学生2516%4，902 班中位数为 C 级学生，即 80 分，902
32、 班 B 级及以上人数为 11+112（人），补全表格如下：平均数（分） 中位数（分） 众数（分） B 级及以上人数901 班 87.6 90 90 18902 班 87.6 80 100 12（3） 从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数的角度看 901 班比 902 班的成绩好；所以 901 班成绩好从平均数的角度看两班成绩一样，从众数的角度看 902 班比 901 班的成绩好，所以902 班成绩好（答案不唯一）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体
33、的百分比大小同时考查了平均数、中位数、众数的定义及其应用21（8 分）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼 MN 的高度小聪在 A 处测得钟楼顶端N 的仰角为 45，小明在 B 处测得钟楼顶端 N 的仰角为 60，并测得 A，B 两点之间的距离为 27.3 米，已知点 A，M，B 依次在同一直线上（1）求钟楼 MN 的高度，（结果精确到 0.1 米）（2）因为要举办艺术节，学校在钟楼顶端 N 处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C 处（点 C 在线段 AM 上）小聪测得点 C 处的仰角NCM 等于 75，小明测得点C，M 之间的距离约为 5 米，若小聪的仰角数据正确，问小明测得的数据“5 米”是否
34、正确？为什么？（参考数据： 1.41， 1.73）【分析】（1）在 RtANM 中，根据已知条件得到 AMMN，在 RtBMN 中根据三角函数的定义即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论【解答】解：（1）在 RtANM 中，NAM 45，AMMN，在 Rt BMN 中，MBN60，BM MN，ABAM+BM（1+ ）MN27.3，MN30.0 米，答：钟楼 MN 的高度为 30.1 米；（2）不正确，理由：在 Rt CNM 中， NCM75，MN30，CM 85，故不正确【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角和俯角问题，正确的理解题意是解题的关键22（10 分）如图，已知点 A（a，m
35、 ）在反比例函数 y 的图象上，并且 a0，作AB x 轴于点 B，连结 OA（1）当 a2 时，求线段 AB 的长（2）在（1）条件下，在 x 轴负半轴上取一点 P，将线段 AB 绕点 P 按顺时针旋转 90得到 CD若点 B 的对应点 D 落在反比例函数 y 的图象上，求点 C 的坐标（3）将线段 OA 绕点 O 旋转，当点 A 落在反比例函数 y （x0）图象上的F（d，n）处时，请直接写出 m 和 n 之间的数量关系【分析】（1）把 A 点的横坐标代入 y ，求得纵坐标，即可求得 ab 的长；（2）设 P（t，0），由题意 D（t ，2t），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可；（
36、3）分两种情形当点 A 与点 D 关于 x 轴对称时，A （ a，m ），F（d，n），可得mn当点 A 绕点 O 旋转 90时，得到 F，F在 y 上，作 FHy 轴，则OGA FHO，推出 OGFH ，AGOH，由 A（a，m），推出 F（m，a），即 F（m，n），由 F在 y 上，可得 mn8【解答】解：（1）点 A（a，m ）在反比例函数 y 的图象上，a2，m 4，A（2，4），ABx 轴于点 B，AB4；（2）设 P（t，0），由题意得 D（t，2t），点 D 在 y 上，t（2t）8，解得 t12，t 24（舍去），D（2，4），DCAB 4，C（2，4）（3）如图 2，当点
37、F 与点 A 关于 x 轴对称时，A（a，m），F（d，n），mn当点 A 绕点 O 旋转 90时，得到 F，F在 y 上，作 FHy 轴，则AGOFHO，OGFH ， AGOH ，A（a，m），F（m，a），即 F（ m ，n），F在 y 上，mn8，综上所述，满足条件的 m、n 的关系是 m+n0 或 mn 8【点评】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题23（10 分）在水平的地面 BD 上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆 AB，CD，以点B 为坐标原
38、点，直线 BD 为 x 轴建立平面直角坐标系，得到图 1已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线 y x2 x+30（1）求电线杆 AB 和线段 BD 的长（2）因实际需要，电力公司在距离 AB 为 30 米处增设了一根电线杆 MN（如图 2），左边抛物线 F1 的最低点离 MN 为 10 米，离地面 18 米，求 MN 的长（3）将电线杆 MN 的长度变为 30 米，调整电线杆 MN 在线段 BD 上的位置，使右边抛物线 F2 的二次项系数始终是 ，设电线杆 MN 距离 AB 为 m 米，抛物线 F2 的最低点离地面的距离为 k 米，当 20k25 时，求 m 的取值范围【分析】（1）y x2
39、 x+30，对称轴为 x40，BD80 米，AB 30 米；（2）由（1）可知，对称轴为 x40，则 BD80，A（0 ，30），C（80，30），抛物线F1 的顶点坐标为：（20，18），得 a0.03，当 x30 时，MN 的长度为 21 米；（3）根据抛物线的对称性可知抛物线 F2 的顶点在 ND 的垂直平分线上，F 2 的横坐标为：m+40，F 2（ m+40，k），把 C（80，30）代入得 k （m80） 2+30，当k20 时， （m80） 2+3020，解得：m 140，m 2120（不符合题意，舍去）；当 k25 时， （m80） 2+3025，解得：m 160，m 2100
40、（不符合题意，舍去），m 的取值范围是：40m60；【解答】解：（1）y x2 x+30，对称轴为 x40，BD80 米，当 x0 时，y30，AB30 米；（2）由（1）可知，对称轴为 x40，则 BD80，令 x0 得 y30，A（0，30），C（80，30），由题意可得：抛物线 F1 的顶点坐标为：（20，18），设 F1 的解析式为：y a（x 20） 2+18，将（0，30）代入得：400a+1830，解得：a0.03，抛物线 F1 为：y 0.03（x 20） 2+18，当 x30 时，y0.03100+1821，MN 的长度为 21 米；（3）MNDC30，根据抛物线的对称性可知
41、抛物线 F2 的顶点在 ND 的垂直平分线上，F 2 的横坐标为： +m m+40，抛物线 F2 的顶点坐标为：（ m+40，k），抛物线 F2 的解析式为：y （x m40） 2+k，把 C（80，30）代入得：（80 m40） 2+k30，解得：k（40 m） 2+30，k （m80） 2+30，k 是关于 m 的二次函数，又由已知 m80，在对称轴的左侧，k 随 m 的增大而增大，当 k20 时， （m80） 2+3020，解得：m 140，m 2120（不符合题意，舍去），当 k25 时， （m80） 2+3025，解得：m 160，m 2100（不符合题意，舍去），m 的取值范围是：
42、40m60；【点评】本题考查二次函数的应用；能够根据题意设出函数顶点式的解析式，待定系数法求函数解析式，并能构造 k 是关于 m 的二次函数是解题的关键24（12 分）定义：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个与原三角形相似，那么我们称这条线段为原三角形的相似线，记此小三角形与原三角形的相似比为k（1）【理解】如图 1，ABC 中，已知 D 是 AC 边上一点，CBDA求证：BD是ABC 的相似线；（2）【探究】如图 2，ABC 中，AB4，BC 2，AC 2 请用尺规作图法在平面内找一点 D、使 BC 是
43、以 A、D 为其中两个顶点的三角形的相似线，并直接写出 k 的值，（提醒：保留作图痕迹，在确认无误后用黑色签字笔将作图痕迹描黑）（3）【应用】如图 3，扇形 AOB 中，AOB90，AO OB2，C，D 分别是OA，OB 的中点，P 是弧 AB 上的一个动点，求 PC+2PD 的最小值【分析】【理解】由题意可证ACBBCD，即可得结论；【探究】作ACDABC 交 AB 的延长线于点 D，可证ABCACD，可得 BC 是ADC 的相似线，由相似三角形的性质可求 k 的值；【应用】延长 OB 使 BEOB ，连接 EC，EP，OP，通过证明OPEODP，可得EP2DP ，当点 E，点 P，点 C
44、三点共线时，PC+2PD 的值最小，由勾股定理可求PC+2PD 的值最小值【解答】证明：（1）【理解】：ACBD，且CCACBBCDBD 是ABC 的相似线；（2）【探究】如图，作ACDABC 交 AB 的延长线于点 D，AA ，ACDABC，ABCACDBC 是ADC 的相似线，（3）【应用】如图，延长 OB 使 BEOB ，连接 EC，EP，OP，AOOB 2，C，D 分别是 OA，OB 的中点，OE4，OP2，ODOC1， ，且DOP EOPOPEODPEP2DPPC+2PDPC+ EP，当点 E，点 P，点 C 三点共线时，PC +2PD 的值最小，PC+2PD 最小值 【点评】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆的有关知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键