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江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查数学试题(一)含答案

1、苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查(一)数学注意事项:1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分。3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)1已知集合 A0,1,2,B ,则 A B 1x2i 为虚数单位,复数 的虚部为 2(i)3抛物线 的焦点坐标为 24yx4箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球、1 只白球,一次摸出 2 只球,则摸到的 2 只球

2、颜色相同的概率为 5如图是抽取某学校 160 名学生的体重频率分布直方图,已知从左到右的前 3 组的频率成等差数列,则第 2 组的频数为 6如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 7已知函数 ,若 ,则实数 a 2log(3)0()1xf, 1()2fa8中国古代著作张丘建算经有这样一个问题:“今有马行转迟,次日减半疾,七日行七百里”,意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢,每天行走的里程是前一天的一半,七天一共行走了 700 里那么这匹马在最后一天行走的里程数为 9已知圆柱的轴截面的对角线长为 2,则这个圆柱的侧面积的最大值为 10设定义在区间(0, )上的函数 的图象与 的图象交于点23s

3、inyx3cos2yxP,则点 P 到 x 轴的距离为 11在ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 5a8b,A2B,则sin(A ) 412若直线 l: 上存在相距为 2 的两个动点 A,B,圆 O: 上存40axy 21xy在点 C,使得ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点),则实数 a 的取值范围为 13在ABC 中,已知 AB2,AC1,BAC 90 ,D,E 分别为 BC,AD 的中点,过点 E 的直线交 AB 于点 P,交 AC 于点 Q,则 的最大值为 BCP14己知函数 , ,若函数 与函数2()fxa()21)lngxax()yfxy的图象恰好有

4、两个不同的交点,则实数 a 的取值范围为 ()g二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分)如图,三棱锥 DABC 中,己知 ACBC,ACDC,BCDC,E,F 分別为BD,CD 的中点(1)求证:EF平面 ABC;(2)BD平面 ACE16(本小题满分 14 分)已知向量 ( , ), ( , )a2cosinbcosincosin(1)求向量 与 的夹角;b(2)若 ,求实数 的值()17(本小题满分 14 分)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化已知空地的一边是直路 AB,余下的外围是

5、抛物线的一段弧,直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴(如图)拟在这个空地上划出一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪,其中 A,B ,C ,D 均在该抛物线上经测量,直路 AB 长为 40 米,抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米设点 C 到抛物线的对称轴的距离为 m 米,到直路 AB 的距离为 n 米(1)求出 n 关于 m 的函数关系式;(2)当 m 为多大时,等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大?并求出其最大值18(本小题满分 16 分)已知椭圆 E: 的离心率为 ,焦点到相应准线的距离21(0)xyab32为 3(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)已知 P(t,0)为椭圆

6、 E 外一动点,过点 P 分别作直线 l1 和 l2,直线 l1 和 l2 分别交椭圆 E 于点 A,B 和点 C,D,,且 l1 和 l2 的斜率分别为定值 k1 和 k2,求证: 为定PABCD值19(本小题满分 16 分)已知函数 ()1ln(R)fxxa(1)若 在(1, )处的切线方程为 ,求实数 a,b 的值;yf 0xyb(2)设函数 , 1,e (其中 e 为自然对数的底数)当 a1 时,()gxx求 的最大值;若 是单调递减函数,求实数 a 的取值范围()gx)(exgh20(本小题满分 16 分)定义:若有穷数列 , , 同时满足下列三个条件,则称该数列为 P 数1a2na

7、列首项 ; ;对于该数列中的任意两项 和 (1ij n),1ia其积 或商 仍是该数列中的项ijaji(1)问等差数列 1,3,5 是否为 P 数列?(2)若数列 a,b,c,6 是 P 数列,求 b 的取值范围;(3)若 n4,且数列 , , 是 P 数列,求证:数列 , , 是等12n 1b2nb比数列20182019 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)数学 II(加试)21【选做题】本题包括 A, B,C 三小题,请选定其中两题作答,每小题 10 分共计 20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤A选修 42:矩阵与变换已知 x,y R, 是矩阵 A 的属于特征值1 的

8、一个特征向量,求矩阵1 0xyA 的另一个特征值B选修 44:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知直线 l: ,在直角坐标系(原点与极点重合,xsin()03轴正方向为极轴的正方向)中,曲线 C 的参数方程为 (t 为参数)设 l 与 C14yx交于 A,B 两点,求 AB 的长C选修 45:不等式选讲若不等式 对任意的 x R 恒成立,求实数 a 的取值范围15xa【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤22(本小题满分 10 分)从批量较大的产品中随机取出 10 件产品进行质量检测,若这批产品的不合格率为0.05,随机变量

9、 X 表示这 10 件产品中的不合格产品的件数(1)蚊:这 10 件产品中“恰好有 2 件不合格的概率 P(X2) ”和“恰好有 3 件不合格的概率 P(X3)”哪个大?请说明理由;(2)求随机变量 X 的数学期望 E(X)23(本小题满分 10 分)已知 , ,其中34268245110() nCfn 5624831610()nCg, N(1)求 , , , 的值;(2)f3f(2)g3(2)记 ,求证:对任意的 m ,m 2,总有 hnnN1()2mh2018-2019 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)数学参考答案一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分

10、 1 2 3 4 540 04(1,0)126 7 8. 9 103 32log7211 12 13 147503, 41a二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15( 1)三棱锥 中,DABC 为 的中点, 为 的中点, , 3 分EFEFBC 平面 , 平面 ,EA 平面 6 分F(2 ) , , ,D 平面 , 8 分ACB 平面 , , 10 分DACB 为 的中点, , 12 分,EE , 平面 14 分D16( 1)设向量 与 的夹角为 ,ab因为 , ,4 分222(cosin)(cosin)所以 cosab, ,cosin) 7 分22in考虑到 ,得向量 与 的夹角

11、 9 分0ab4(2 )若 ,则 ,即 , 12 分()ba()020a因为 , , 2ba4所以 ,解得 14 分0217.( 1)以路 AB 所在的直线为 轴,抛物线的对称轴为 轴建立平面直角坐标系,xy1 分则 , , , 2 分(20,)A(,)B(0,4)P曲线段 APB 为抛物线的一段弧,可以设抛物线的解析式为 , (2)0yax将点 代入得: ,解得 , 4 分(0,4)P401抛物线的解析式为 , 5 分21()yx点 C 在抛物线上, , 6 分40nm0(2 )设等腰梯形 ABCD 的面积为 S,则 , 8 分211(240)()Sm, 9 分3280 , 10 分11(4

12、)(32)(00Sm 令 ,得 , 11 分23mm 0(,)320(,)3mSS0S S增 极大值 减13 分当 时,等腰梯形 ABCD 的面积最大,最大值为 平方米 14 分203 256718 (1)设椭圆的半焦距为 c,由已知得,则 , , 3 分2ca2322ab解得 , , , 5 分1bc椭圆 E 的标准方程是 6 分214xy(2)由题意,设直线 的方程为 ,代入椭圆 E 的方程中,并化简得,1l()kt, 8 分22211(4)80kxtt设 , ,Ay2(,)By则 , ,211284ktx2114ktx因为 PA ,PB ,10 分21t21xt所以 PAB212()kx

13、t211212()()ktxtx, 12 分22111 284()ttktk21|4|tk( )同理,PC PD , 14 分2|14tk( )所以 为定值 16 分PABCD2211(k)19 (1) , , , 1 分()lnxfa ()21f3a, 代入 解得 2 分3a1,)0yb(2 ) ,则 3 分()lngxx22lnln1()xxg令 ,1则 , 在 单调递增, 5 分()0x ()x,e, 6 分1 , 在 单调递增, 的最大值为 8 分()0gx(),e()gx1(e)g同理,单调递增函数 , 9 分()fxg1,ea则 11()lnexhxa若 , , ,10a ()gx

14、 ()ln)exah,2211ln(l()xh 22(1)ln10exa令 ,22()1)ln1uxxax则 ()0 即 在 单调递减, , 11 分()ux1,emax(120ua2a若 , , ,2ea()0gx)ln()exh由 知, , 又 在区间 上是单调减函数,12xuh1,所以 对 恒成立,2()ln0uxax ,e即 对 恒成立,21(ax 1,e即 对 恒成立,2)lnx ,x令 ,2()=(1,ex2323232111)ln()()lnxx xxx记 ,又 ,()ln(ex 0所以 在区间 上单调递减,故 ,即 ,所以1,max()(1)ln1x32323232325()(

15、)ln)(0xx x即 在区间 上是单调递减,所以 ,1,e min 2()(e)1)lneex所以 ,又 ,min()ax e1a 13 分e若 ,因为 ,310a()1)lnfxgxa,2222ln1ln() 0xg所以 在 上单调递增,()f,e又 ,1(1)e0ga则存在唯一的 ,使 ,0(,e)x00011()ln)exhxa 在 上不单调 15 分()hx1,e综上所述, 16 分1,2,ea20( 1) , 均不在此等差数列中,35等差数列 不是 P 数列; 2 分,(2)数列 a,b,c ,6 是 P 数列,所以 1abc6 , 3 分由于 6b 或 是数列中的项,而 6b 大

16、于数列中的最大项 6, 是数列中的项,同理 也是数列中的项, 5 分c考虑到 1 6,于是 b, c,cbbc6 ,又 1b c ,所以 1b , 7 分6综上,b 的取值范围是(1, ) 8 分(3 ) 数列b n是 P 数列,所以 1b 1b 2b 3b n,由于 b2bn 或 是数列中的项,而 b2bn 大于数列中的最大项 bn, 是数列b n中的项, 10 分2n同理 , , 也都是数列b n中的项,3n41n考虑到 1 b n,且 1, , ,b n 这 n 个数全是共有 n 项的nb2nb2增数列 1, b2,b n 中的项, , , 1n12nb从而 bnb ibn1 i (i1

17、,2,n1) , 12 分又b n1 b3b n1 b2b n,所以 bn1 b3 不是数列b n中的项, 是数列b n中的项,同理 , 也都是数列b n中的项,3 412n考虑到 1 b n2 b n1 b n,2n14nb3且 1, , , , ,b n1 ,b n 这 n 个数全是共有 n 项的增数列 1, 2nb14n3b2, , bn 中的项,于是,同理有,b n1 b ibni (i1,2,n2), 14 分在中将 i 换成 i1 后与相除,得 ,i1 ,2 ,n2,1nbb 1,b 2, bn 是等比数列 16 分2018-2019 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)

18、数学(附加题) 参考答案21 【选做题 】本题包括 A,B,C,三小题,每小题 10 分 A(选修 42:矩阵与变换)解: 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量,110xy1 , 解得 , 4 分02xy2,3,xy , 6 分31A特征多项式为 ,即 , 8 分31()0f(3)10另一个特征值为 10 分B(选修 44:坐标系与参数方程)解:以极点为直角坐标系原点,极轴为 x 轴建立坐标系,直线 的直角坐标方程为 , 2 分sin()033y曲线 的普通方程为 , 4 分1,4,ytxt21yx则直线与曲线的交点为 和 , 7 分6(,)2A6(,)2B 10 分26ABC(选修 45:不

19、等式选讲)解: , 4 分11xaxa要使不等式 对任意的 恒成立,当且仅当 , 7 分5 Rx15a 或 10 分4a 6【必做题】第 22,23 题,每小题 10 分,计 20 分 22解: 由于批量较大,可以认为随机变量 , 2 分(10.5)XB:(1)恰好有 2 件不合格的概率 ,22810()9PC恰好有 3 件不合格的概率 , 4 分337.5.X ,22810337.5.9() 1CPX ,即恰好有 2 件不合格的概率大; 6 分()()(2 ) , .1010()kkPXpCp,2,10随机变量 的概率分布为:0 1 2 10kp11()Cp90()Cp810()p 100(

20、)Cp故 9 分0().5kEX答:随机变量 的数学期望 为 10 分()EX0.523解:(1) , ,2436()1Cf32648170Cf, ;3 分436(2)0g546389()g(2 ) 221()!(2)!(1)!()!kkkC2()()2kk, 4 分1)41(2()kk 5 分221)nnkkChnfg下面用数学归纳法证:对任意的 ,总有 *,Nm 1(2)mh当 时, ,命题成立;2m1371(4)5602h当 时, ,命题成立,6 分3 4(8)7891603721假设当 ( )时,命题成立,即 成立;mt (2)th则当 时,1t1 11(2)(342ttttth , 7 分34256ttttt( ) , ,3t 112ttt1()34(2)ttt 0 8 分1342ttt又 1256ttt11122tt t, 9 分12t ,113()2tt t th命题成立 10 分