1、苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查（一）数学注意事项:1.本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合 A0，1，2，B ，则 A B 1x2i 为虚数单位，复数 的虚部为 2(i)3抛物线 的焦点坐标为 24yx4箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球、1 只白球，一次摸出 2 只球，则摸到的 2 只球
2、颜色相同的概率为 5如图是抽取某学校 160 名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前 3 组的频率成等差数列，则第 2 组的频数为 6如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 7已知函数 ，若 ，则实数 a 2log(3)0()1xf， 1()2fa8中国古代著作张丘建算经有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 700 里那么这匹马在最后一天行走的里程数为 9已知圆柱的轴截面的对角线长为 2，则这个圆柱的侧面积的最大值为 10设定义在区间(0， )上的函数 的图象与 的图象交于点23s
3、inyx3cos2yxP，则点 P 到 x 轴的距离为 11在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 5a8b，A2B，则sin(A ) 412若直线 l： 上存在相距为 2 的两个动点 A，B，圆 O： 上存40axy 21xy在点 C，使得ABC 为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数 a 的取值范围为 13在ABC 中，已知 AB2，AC1，BAC 90 ，D，E 分别为 BC，AD 的中点，过点 E 的直线交 AB 于点 P，交 AC 于点 Q，则 的最大值为 BCP14己知函数 ， ，若函数 与函数2()fxa()21)lngxax()yfxy的图象恰好有
4、两个不同的交点，则实数 a 的取值范围为 ()g二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分 14 分）如图，三棱锥 DABC 中，己知 ACBC，ACDC，BCDC，E，F 分別为BD，CD 的中点（1）求证：EF平面 ABC；（2）BD平面 ACE16（本小题满分 14 分）已知向量 ( ， )， ( ， )a2cosinbcosincosin（1）求向量 与 的夹角；b（2）若 ，求实数 的值()17（本小题满分 14 分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化已知空地的一边是直路 AB，余下的外围是
5、抛物线的一段弧，直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）拟在这个空地上划出一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪，其中 A，B ，C ，D 均在该抛物线上经测量，直路 AB 长为 40 米，抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米设点 C 到抛物线的对称轴的距离为 m 米，到直路 AB 的距离为 n 米（1）求出 n 关于 m 的函数关系式；（2）当 m 为多大时，等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？并求出其最大值18（本小题满分 16 分）已知椭圆 E： 的离心率为 ，焦点到相应准线的距离21(0)xyab32为 3（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）已知 P(t，0)为椭圆
6、 E 外一动点，过点 P 分别作直线 l1 和 l2，直线 l1 和 l2 分别交椭圆 E 于点 A，B 和点 C，D,，且 l1 和 l2 的斜率分别为定值 k1 和 k2，求证： 为定PABCD值19（本小题满分 16 分）已知函数 ()1ln(R)fxxa（1）若 在(1， )处的切线方程为 ，求实数 a，b 的值；yf 0xyb（2）设函数 ， 1，e （其中 e 为自然对数的底数）当 a1 时，()gxx求 的最大值；若 是单调递减函数，求实数 a 的取值范围()gx)(exgh20（本小题满分 16 分）定义：若有穷数列 ， ， 同时满足下列三个条件，则称该数列为 P 数1a2na
7、列首项 ； ；对于该数列中的任意两项 和 (1ij n)，1ia其积 或商 仍是该数列中的项ijaji（1）问等差数列 1，3，5 是否为 P 数列？（2）若数列 a，b，c，6 是 P 数列，求 b 的取值范围；（3）若 n4，且数列 ， ， 是 P 数列，求证：数列 ， ， 是等12n 1b2nb比数列20182019 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学 II（加试）21【选做题】本题包括 A， B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修 42：矩阵与变换已知 x，y R， 是矩阵 A 的属于特征值1 的
8、一个特征向量，求矩阵1 0xyA 的另一个特征值B选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线 l： ，在直角坐标系（原点与极点重合，xsin()03轴正方向为极轴的正方向）中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）设 l 与 C14yx交于 A，B 两点，求 AB 的长C选修 45：不等式选讲若不等式 对任意的 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围15xa【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）从批量较大的产品中随机取出 10 件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量
9、 X 表示这 10 件产品中的不合格产品的件数（1）蚊：这 10 件产品中“恰好有 2 件不合格的概率 P(X2) ”和“恰好有 3 件不合格的概率 P(X3)”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量 X 的数学期望 E(X)23（本小题满分 10 分）已知 ， ，其中34268245110() nCfn 5624831610()nCg， N（1）求 ， ， ， 的值；(2)f3f(2)g3（2）记 ，求证：对任意的 m ，m 2，总有 hnnN1()2mh2018-2019 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分
10、 1 2 3 4 540 04(1,0)126 7 8. 9 103 32log7211 12 13 147503， 41a二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15（ 1）三棱锥 中，DABC 为 的中点， 为 的中点， ， 3 分EFEFBC 平面 ， 平面 ，EA 平面 6 分F（2 ） ， ， ，D 平面 ， 8 分ACB 平面 ， ， 10 分DACB 为 的中点， ， 12 分,EE ， 平面 14 分D16（ 1）设向量 与 的夹角为 ，ab因为 ， ，4 分222(cosin)(cosin)所以 cosab, ,cosin) 7 分22in考虑到 ，得向量 与 的夹角
11、 9 分0ab4（2 ）若 ，则 ，即 ， 12 分()ba()020a因为 ， ， 2ba4所以 ，解得 14 分0217.（ 1）以路 AB 所在的直线为 轴，抛物线的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，xy1 分则 ， ， ， 2 分(20,)A(,)B(0,4)P曲线段 APB 为抛物线的一段弧，可以设抛物线的解析式为 ， (2)0yax将点 代入得： ，解得 ， 4 分(0,4)P401抛物线的解析式为 ， 5 分21()yx点 C 在抛物线上， ， 6 分40nm0（2 ）设等腰梯形 ABCD 的面积为 S，则 ， 8 分211(240)()Sm， 9 分3280 ， 10 分11(4
12、)(32)(00Sm 令 ，得 ， 11 分23mm 0(,)320(,)3mSS0S S增 极大值 减13 分当 时，等腰梯形 ABCD 的面积最大，最大值为 平方米 14 分203 256718 (1)设椭圆的半焦距为 c，由已知得，则 ， ， 3 分2ca2322ab解得 ， ， ， 5 分1bc椭圆 E 的标准方程是 6 分214xy(2)由题意，设直线 的方程为 ，代入椭圆 E 的方程中，并化简得，1l()kt， 8 分22211(4)80kxtt设 ， ,Ay2(,)By则 ， ，211284ktx2114ktx因为 PA ，PB ，10 分21t21xt所以 PAB212()kx
13、t211212()()ktxtx， 12 分22111 284()ttktk21|4|tk（ ）同理，PC PD ， 14 分2|14tk（ ）所以 为定值 16 分PABCD2211(k)19 （1） ， ， ， 1 分()lnxfa ()21f3a， 代入 解得 2 分3a1,)0yb（2 ） ，则 3 分()lngxx22lnln1()xxg令 ，1则 ， 在 单调递增， 5 分()0x ()x,e， 6 分1 ， 在 单调递增， 的最大值为 8 分()0gx(),e()gx1(e)g同理，单调递增函数 ， 9 分()fxg1,ea则 11()lnexhxa若 ， ， ，10a ()gx
14、 ()ln)exah，2211ln(l()xh 22(1)ln10exa令 ，22()1)ln1uxxax则 ()0 即 在 单调递减， ， 11 分()ux1,emax(120ua2a若 ， ， ，2ea()0gx)ln()exh由 知， ， 又 在区间 上是单调减函数，12xuh1,所以 对 恒成立，2()ln0uxax ,e即 对 恒成立，21(ax 1,e即 对 恒成立，2)lnx ,x令 ，2()=(1,ex2323232111)ln()()lnxx xxx记 ，又 ，()ln(ex 0所以 在区间 上单调递减，故 ，即 ，所以1,max()(1)ln1x32323232325()(
15、)ln)(0xx x即 在区间 上是单调递减，所以 ，1,e min 2()(e)1)lneex所以 ，又 ，min()ax e1a 13 分e若 ，因为 ，310a()1)lnfxgxa，2222ln1ln() 0xg所以 在 上单调递增，()f,e又 ，1(1)e0ga则存在唯一的 ，使 ，0(,e)x00011()ln)exhxa 在 上不单调 15 分()hx1,e综上所述， 16 分1,2,ea20（ 1） ， 均不在此等差数列中，35等差数列 不是 P 数列； 2 分,（2）数列 a，b，c ，6 是 P 数列，所以 1abc6 ， 3 分由于 6b 或 是数列中的项，而 6b 大
16、于数列中的最大项 6， 是数列中的项，同理 也是数列中的项， 5 分c考虑到 1 6，于是 b， c，cbbc6 ，又 1b c ，所以 1b ， 7 分6综上，b 的取值范围是(1， ) 8 分（3 ） 数列b n是 P 数列，所以 1b 1b 2b 3b n，由于 b2bn 或 是数列中的项，而 b2bn 大于数列中的最大项 bn， 是数列b n中的项， 10 分2n同理 ， ， 也都是数列b n中的项，3n41n考虑到 1 b n，且 1， ， ，b n 这 n 个数全是共有 n 项的nb2nb2增数列 1， b2，b n 中的项， ， ， 1n12nb从而 bnb ibn1 i (i1
17、，2，n1) ， 12 分又b n1 b3b n1 b2b n，所以 bn1 b3 不是数列b n中的项， 是数列b n中的项，同理 ， 也都是数列b n中的项，3 412n考虑到 1 b n2 b n1 b n，2n14nb3且 1， ， ， ， ，b n1 ，b n 这 n 个数全是共有 n 项的增数列 1， 2nb14n3b2， ， bn 中的项，于是，同理有，b n1 b ibni (i1，2，n2)， 14 分在中将 i 换成 i1 后与相除，得 ，i1 ，2 ，n2，1nbb 1，b 2， bn 是等比数列 16 分2018-2019 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
18、数学（附加题） 参考答案21 【选做题 】本题包括 A，B，C，三小题，每小题 10 分 A（选修 42：矩阵与变换）解： 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量，110xy1 ， 解得 ， 4 分02xy2,3,xy ， 6 分31A特征多项式为 ，即 ， 8 分31()0f(3)10另一个特征值为 10 分B（选修 44：坐标系与参数方程）解：以极点为直角坐标系原点，极轴为 x 轴建立坐标系，直线 的直角坐标方程为 ， 2 分sin()033y曲线 的普通方程为 ， 4 分1,4,ytxt21yx则直线与曲线的交点为 和 ， 7 分6(,)2A6(,)2B 10 分26ABC（选修 45：不
19、等式选讲）解： ， 4 分11xaxa要使不等式 对任意的 恒成立，当且仅当 ， 7 分5 Rx15a 或 10 分4a 6【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，计 20 分 22解： 由于批量较大，可以认为随机变量 , 2 分(10.5)XB:（1）恰好有 2 件不合格的概率 ，22810()9PC恰好有 3 件不合格的概率 ， 4 分337.5.X ，22810337.5.9() 1CPX ，即恰好有 2 件不合格的概率大； 6 分()()（2 ） ， .1010()kkPXpCp,2,10随机变量 的概率分布为：0 1 2 10kp11()Cp90()Cp810()p 100(
20、)Cp故 9 分0().5kEX答：随机变量 的数学期望 为 10 分()EX0.523解：（1） ， ，2436()1Cf32648170Cf， ；3 分436(2)0g546389()g（2 ） 221()!(2)!(1)!()!kkkC2()()2kk， 4 分1)41(2()kk 5 分221)nnkkChnfg下面用数学归纳法证：对任意的 ，总有 *,Nm 1(2)mh当 时， ，命题成立；2m1371(4)5602h当 时， ，命题成立，6 分3 4(8)7891603721假设当 （ ）时，命题成立，即 成立；mt (2)th则当 时，1t1 11(2)(342ttttth ， 7 分34256ttttt（ ） ， ，3t 112ttt1()34(2)ttt 0 8 分1342ttt又 1256ttt11122tt t， 9 分12t ，113()2tt t th命题成立 10 分