1、2019 年四川省德阳市绵竹市侨爱道行中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的12018 的相反数是（ ）A8102 B2018 C D20182我县人口约为 530060 人，用科学记数法可表示为（ ）A5300610 人 B5.300610 5 人C5310 4 人 D0.5310 6 人3下列计算正确的是（ ）A + B3 3C 2 D 24把抛物线 y2x 2 向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）Ay2（x+1） 2+1 By2（x1） 2+1Cy 2（x 1
2、） 21 Dy2（ x+1） 215下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲 乙 丙 丁平均数（cm） 180 185 185 180方差 3.6 3.6 7.4 8.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）A甲 B乙 C丙 D丁6一个均匀的立方体骰子六个面上标有数 1，2，3，4，5，6，若以连续掷两次骰子得到的数 m和 n 作为点 P 的坐标，则点 P 落在反比例函数 y 图象与坐标轴所围成区域内（含落在此反比例函数的图象上的点）的概率是（ ）A B C D7若要使 4x2+mx+ 成为一个两数差的完全平方式，则 m
3、的值应为（ ）A B C D8如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（ ）A（a+b）（ ab）a 2b 2B（a+b） 2a 2+2ab+b2C（ab）a 22ab+ b2D（x+p）（x+ q）x 2+（p +q）x +pq9已知关于 x 的方程 mx+34 的解为 x1，则直线 y（ 2m1）x3 一定不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限10如图，已知反比例函数 y （k0）在第一象限的图象上有 A、B 两点，过点 B 作 BCy 轴于点 C，现有一动点 P 从点 A 出发，沿 ABC 匀速运动，终点为 C，在点 P 的运动过程中，分别过点 P 作 PMx 轴于点
4、 M，PN y 轴于点 N，设四边形 OMPN 的面积为 S，P 点运动的时间为 t，则 S 关于 t 的函数图象大致是（ ）A BC D11已知 a 是方程 x2+x20150 的一个根，则 的值为（ ）A2014 B2015 C D12如图，ABC 中，B90，C30，AB1，将ABC 绕顶点 A 旋转 180，点 C 落在 C处，则 CC的长为（ ）A4 B4 C2 D2二、填空题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）13函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 14如图，在ABC 中，D 为 BC 的中点，以 D 为圆心，BD 长为半径画一弧交 AC 于 E 点，若A60 ，
5、B100，BC2，则扇形 BDE 的面积为 15古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，其中 1 是第一个三角形数，3 是第 2 个三角形数，6 是第 3 个三角形数，依此类推，那么第 9 个三角形数是 ，2016 是第 个三角形数16如图，用邻边长为 a，b（ab）的矩形硬纸板截出以 a 为直径的两个半圆，再截出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则 a 与 b 关系式是 17等腰直角ABO 在平面直角坐标系中如圈所示，点 O 为坐标原点，直角顶点 A 的坐标为（2，4），
6、点 B 在反比例函数 y （x0）的图象上，则 k 的值为 三、解答题（本大题共 7 小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，共 69 分）18（6 分）计算：（ ） 2 +（ 4） 0 cos4519（7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 OAOB（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）若 AB6，AOB 120，求 BC 的长20（11 分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注“寒假”期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：（1）求这次调查的家长人数，并补全图 1；（2）求图
7、 2 中表示家长“赞成”的圆心角的度数；（3）已知某地区共 6500 名家长，估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长？21（10 分）某电器超市销售每台进价分别为 2000 元、1700 元的 A、B 两种型号的空调，如表是近两周的销售情况：销售数量销售时段A 种型号 B 种型号销售收入第一周 3 台 5 台 18000 元第二周 4 台 10 台 31000 元（进价、售价均保持不变，利润销售总收入进货成本）（1）求 A、B 两种型号的空调的销售单价；（2）若超市准备用不多于 54000 元的金额再采购这两种型号的空调共 30 台，求 A 种型号的空调最多能采购多少台？22（11 分）如
8、图，一次函数 y1k 1x+b 的图象与反比例函数 y2 （x0）的图象交于 A、B两点，与 y 轴交于 C 点，已知 A 点坐标为（2，1），C 点坐标为（ 0，3）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在 x 轴上找一点 P，使得PAB 的周长最小，请求出点 P 的坐标23（10 分）如图，AB 为 O 的直径，D 是弧 BC 的中点，DEAC 交 AC 的延长线于 E， O 的切线 BF 交 AD 的延长线于 F（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 DE3，O 的半径为 5求 BF 的长24（14 分）如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，3），B（5，9），已知抛物线的
9、顶点 D的横坐标是 2（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在 x 轴上是否存在一点 C，与 A，B 组成等腰三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得PAB 的面积最大，并求出这个最大值2019 年四川省德阳市绵竹市侨爱道行中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的1【分析】根据相反数的定义可得答案【解答】解：2018 的相反数2018，故选：B【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握只有符号不同
10、的两个数叫做互为相反数2【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可【解答】解：530060 是 6 位数，10 的指数应是 5，故选：B【点评】本题考查的是科学记数法的定义及表示方法，熟知以上知识是解答此题的关键3【分析】利用二次根式的加减法对 A、B 进行判断；利用二次根式的除法法则对 C 进行判断；利用二次根式的乘法法则对 D 进行判断【解答】解：A、 与 不能合并，所以 A 选项错误；B、原式2 ，所以 B 选项错误；C、原式 ，所以 C 选项错误；D、原式 2 ，所以 D 选项正确故选：D【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的
11、乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍4【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式【解答】解：函数 y2x 2 的顶点为（0，0），向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位的顶点为（1，1），将函数 y2x 2 的图象向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，得到抛物线的解析式为y2（x1） 2+1，故选：B【点评】考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶
12、点5【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加【解答】解： ，从乙和丙中选择一人参加比赛，S 乙 2S 丙 2，选择乙参赛，故选：B【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键6【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出落在反比例函数 y 图象与坐标轴所围成区域内的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：列表如下：1 2 3 4 5 61 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）4
13、 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）所有等可能的情况，即 P 坐标有 36 种，其中点 P 落在反比例函数 y 图象与坐标轴所围成区域内有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1），（5，1），（6，1）共 14 种，则 P 故选：D【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比7
14、【分析】这里首末两项是2x 和 这两个数的平方，那么中间一项为减去2x 和 积的 2倍，故 m 【解答】解：（2x ） 24x 2 x+ ，或2x（ ） 24x 2+ x+ ，m 或 故选：A【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2 倍的符号，正负号都有可能8【分析】根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答即可【解答】解：大正方形的面积为：（a+b） 2，四个部分的面积的和为：a 2+2ab+b2，能说明的乘法公式是：（a+b） 2a 2+2ab+b2；故选：B【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同
15、一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键9【分析】关于 x 的方程 mx+34 的解为 x1，于是得到 m+34，求得 m1，得到直线yx3，于是得到结论【解答】解：关于 x 的方程 mx+34 的解为 x1，m+3 4，m1，直线 y（2m 1）x3 为直线 yx3，直线 y（2m 1）x3 一定不经过第二象限，故选：B【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，求得 m 的值是解题的关键10【分析】通过两段的判断即可得出答案，点 P 在 AB 上运动时，此时四边形 OMPN 的面积不变； 点 P 在 BC 上运动时， S 减小，S 与 t 的关系为一次函数【解答】解：点 P 在 AB
16、 上运动时，此时四边形 OMPN 的面积 SK，保持不变，故排除B、C、D；点 P 在 BC 上运动时，设路线 ABC 的总路程为 l，点 P 的速度为 a，则SOCCPOC（lat），因为 l，OC，a 均是常数，所以 S 与 t 成一次函数关系故选：A【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答此类题目并不需要求出函数解析式，只要判断出函数的增减性，或者函数的性质即可，注意排除法的运用11【分析】把 xa 代入方程 x2+x20150 求出 a2+a2015，再化简所求代数式，得出 ，求出答案即可【解答】解：a 是方程 x2+x20150 的一个根，a 2+a20150，a 2+a2015，
17、 故选：D【点评】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，正确化简分式是解决问题的关键12【分析】因为在ABC 中，B90，C30，AB1，由此得到 AC2，又根据旋转可以推出 ACAC，即可求出 CC【解答】解：在ABC 中，B90，C30，AB1，AC2将ABC 绕顶点 A 旋转 180，点 C 落在 C处，ACAC2，CC4故选：B【点评】此题主要考查学生对旋转的性质及综合解直角三角形的运用能力二、填空题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）13【分析】由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得【解答】解：根据题意，得： ，解得：x2 且 x2，故答案为：x2 且
18、 x2【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负14【分析】根据三角形内角和定理求出C，根据三角形的外角的性质求出BDE，根据扇形面积公式计算【解答】解：A60，B100，C20，BDDC1，DEDB，DEDC1，DECC20，BDE40，扇形 BDE 的面积 ，故答案为： 【点评】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式 S 扇形 R2 是解题的关键15【分析】根据所给的数据
19、发现：第 n 个三角形数是 1+2+3+n，由此代入分别求得答案即可【解答】解：第 9 个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7+8+945，1+2+3+4+n2016，n（n+1）4032，解得：n63故答案为：45，63【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题16【分析】首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得 a、b 之间的关系即可【解答】解：半圆的直径为 a，半圆的弧长为 ，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，设小圆的半径为 r，则：2r ，解得：r ，AC ar ，如图小圆的圆心为 B，半圆的
20、圆心为 C，作 BACA 于 A 点，则：AC 2+AB2BC 2即：（ ） 2+（ ） 2（ + ） 2整理得：b a故答案为：b a【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是利用两圆相外切的性质得到两圆的圆心距，从而利用勾股定理得到 a、b 之间的关系17【分析】过 A 作 ACx 轴于 C，过 B 作 BDAC 于 D，根据全等三角形的性质，可以得到点B 的坐标，由点 B 在反比例函数 y 的图象上，从而可以得到 k 的值【解答】解：如图，过 A 作 ACx 轴于 C，过 B 作 BDAC 于 D，则ACOBDA90，ABO 是等腰直角三角形，AOBA，BAO90，OAC+BADABD
21、+BAD90，OACABD，AOCBAD（AAS ），ADOC2，BDAC4 ，点 B 的坐标为（6，2），2 ，解得 k12，故答案为：12【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质的运用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答三、解答题（本大题共 7 小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，共 69 分）18【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式43+1 211【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键19【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 AOOC，BO OD ，求出 AC
22、BD，根据矩形的判定推出即可；（2）根据矩形性质求出ABC90，求出CAB 30，解直角三角形求出即可【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AOOC，BOOD，OAOB ，OAOB OCOD，ACBD，四边形 ABCD 是矩形；（2）AOB120，OAOB ，OABOBA30，四边形 ABCD 是矩形，ABC90，AC2BC，AB BC，BC AB6 2 【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，比较好20【分析】（1）根据认为无所谓的家长是 80 人，占 20%，据此即可求得总人数；（2）利用 36
23、0 乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数 6500 乘以对应的比例即可求解【解答】解：（1）这次调查的家长人数为 8020%400 人，反对人数是：4004080280人，；（2）360 36；（3）反对中学生带手机的大约有 6500 4550（名）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小21【分析】（1）设 A、B 两种型号的空调的销售单价分别为 x 元，y 元，根据总价单价数量结合该超市近两周的销售情况表中的数据，即可得出关于 x、y
24、的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设采购 A 种型号的净水器 a 台，则采购 B 种型号的净水器（30a）台，根据总价单价数量结合采购金额不多于 54000 元，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论【解答】解：（1）设 A、B 两种型号的空调的销售单价分别为 x 元，y 元，根据题意，得： ，解得： ，答：A、B 两种型号的空调的销售单价分别为 2500 元，2100 元；（2）设采购 A 种型号的空调 a 台，则采购 B 型号空调（30a）元，根据题意，得：2000a+1700（30a）54000，解得：a10，答：A 种型号的空调最多能采购 10 台【
25、点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式22【分析】（1）利用待定系数法分别求出一次函数和反比例函数的解析式；（2）利用轴对称的性质作出点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB得到点 P，利用待定系数法求解即可【解答】解：（1）反比例函数 y2 （x0）的图象经过（ 2，1），k 22，反比例函数的解析式为：y 2 ，一次函数 y1k 1x+b 的图象经过（ 2，1）和（0，3）， ，解得， ，一次函数的解析式为：y 1x+3；（2）作点 B 关于 x 轴的对称点
26、 B，连接 AB交 x 轴于 P，则点 P 即为所求，解得， ， ，则点 B 的坐标为（1，2），则点 B 关于 x 轴的对称点 B的坐标为（1，2），设直线 AB的解析式为 yax+ c，解得， ，则直线 AB的解析式为 y3x 5，3x50，解得，x ，点 p 的坐标为（ ，0）【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、轴对称最短路线问题，灵活运用待定系数法求出函数解析式、正确作出点 B 关于 x 轴的对称点 B是解题的关键23【分析】（1）连接 BC、 OD，由 D 是弧 BC 的中点，可知：OD BC；由 OB 为O 的直径，可得：BCAC，根据 DEAC ，可证 ODDE，
27、从而可证 DE 是O 的切线；（2）在 RtABC 中，运用勾股定理可求得 AC 的长度，运用切割线定理可将 AE 的长求出，根据AEDABF，可将 BF 的长求出【解答】（1）证明：连接 OD，BC ，OD 与 BC 相交于点 G，D 是弧 BC 的中点，OD 垂直平分 BC，AB 为O 的直径，ACBC，ODAEDEAC，ODDE ，OD 为O 的半径，DE 是 O 的切线（2）解：由（1）知：ODBC ，ACBC ，DEAC，四边形 DECG 为矩形，CGDE3，BC6 O 的半径为 5，AB10，AC 8，由（1）知：DE 为O 的切线，DE 2ECEA ，即 32（EA 8）EA ，
28、解得：AE9D 为弧 BC 的中点，EADFAB，BF 切O 于 B，FBA 90又DEAC 于 E，E90，FBA E，AEDABF， ， ，BF 【点评】本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可24【分析】（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x 2，抛物线过是 A（0，3），则：函数的表达式为：y ax 2+bx3，把 B 点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分 ABAC 、AB BC、 ACBC，三种情况求解即可；（3）由 SPAB PHxB，即可求解【解答】解：（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x 2，抛物
29、线过是 A（0，3），则：函数的表达式为：yax 2+bx3，把 B 点坐标代入上式得：925a+5b3，联立 、 解得： a ，b ，c3，抛物线的解析式为：y x2 x3，当 x2 时，y ，即顶点 D 的坐标为（2， ）；（2）A（0，3），B（5，9），则 AB13，当 ABAC 时，设点 C 坐标（ m，0），则：（m） 2+（ 3） 213 2，解得：m 4 ，即点 C 坐标为：（4 ，0）或（4 ，0）；当 ABBC 时，设点 C 坐标（ m，0），则：（5m） 2+9213 2，解得：m 5 ，即：点 C 坐标为（5 ，0）或（52 ，0），当 ACBC 时，设点 C 坐标（m
30、 ，0），则：点 C 为 AB 的垂直平分线于 x 轴的交点，则点 C 坐标为（ ，0），故：存在，点 C 的坐标为：（4 ，0）或（4 ，0）或（5 ，0）或（52 ，0）或（ ，0）；（3）过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，设：AB 所在的直线过点 A（0，3），则设直线 AB 的表达式为 ykx 3，把点 B 坐标代入上式，95k3，则 k ，故函数的表达式为：y x3，设：点 P 坐标为（m， m2 m3），则点 H 坐标为（m， m3），SPAB PHxB （ m2+12m），当 m2.5 时，S PAB 取得最大值为： ，答：PAB 的面积最大值为 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系