1、2018 年四川省德阳市广汉市中考数学一诊试卷一、选择题：共 12 小题，每题 3 分，共 36 分，每小題只有一个选项是符合题意的，把它选出来填在答题卷上1（3 分）| 4|的算术平方根是（ ）A2 B2 C D2（3 分）如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A B C D3（3 分）若点 A（2，m ）在正比例函数 y x 的图象上，则 m 的值是（ ）A B C1 D14（3 分）小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）A B C D5（3 分）已知 a 是方程 x2+x10 的一个根，则 的值
2、为（ ）A B C1 D16（3 分）某区 10 名学生参加市级汉字听写大赛，他们得分情况如下表：人数 3 4 2 1分数 80 85 90 95那么这 10 名学生所得分数的平均数和众数分别是（ ）A85 和 82.5 B85.5 和 85 C85 和 85 D85.5 和 807（3 分）如图，ABCD，A45，C 28，则AEC 的大小为（ ）A17 B62 C63 D738（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB5，对角线 AC6若过点 A 作 AEBC，垂足为 E，则 AE 的长为（ ）A4 B C D59（3 分）一本工具书，原价 30 元，由于商店要转让，该工具书连续两次降价处
3、理，最后以 19.2 元出售已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（ ）A19% B20% C21% D22%10（3 分）设关于 x 的方程 ax2+（a+2）x+9a0，有两个不相等的实数根 x1、x 2，且x11x 2，那么实数 a 的取值范围是（ ）A B C D11（3 分）如图，正方形 ABCD 的边 AB1， 和 都是以 1 为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）A B1 C 1 D112（3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A 在第一象限，ABx 轴，AD y 轴，且对角线的交点与原点 O 重合在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，若矩形 AB
4、CD 的周长始终保持不变，则经过动点 A 的反比例函数 y （k 0）中 k 的值的变化情况是（ ）A一直增大 B一直减小C先增大后减小 D先减小后增大二、填空题：共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，把答案直接写在答题卡的横线上13（3 分）计算：|3 | +（1） 0 14（3 分）因式分解：m（ xy）+n（xy） 15（3 分）如图，已知 AB 是 O 的直径，点 CD 在O 上，且 AB5，BC3，则sinBAC ；sinADC 16（3 分）如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACP重合，如果 AP3，那么 PP 17（3 分）
5、如图，抛物线 y1a（x+2） 23 与 y2 （x3） 2+1 交于点 A（1，3），过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B，C 则以下结论：无论 x 取何值，y 2 的值总是正数；a ； 当 x0 时，y2y 16；AB +AC10； y1 最小 y 2 最小 4其中正确结论的个数是： 三、解答题：本大题共 8 小题，69 分应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（6 分）计算： 19（6 分）如图：ABCD，AEDF，CEFB 求证：ABCD20（8 分）小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏游戏设计者提供了一只兔子和一个有 A、B、C 、D、E 五个出入
6、口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的规定：玩家只能将小兔从 A、B 两个出入口放入，如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值 5 元小兔玩具，否则每玩一次应付费 3 元（1）请用表格或树状图求小美玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率；（2）假设有 1000 人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？21（7 分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题：（1）将下面的表格补充完整：正多边形边数 3 4 5 6 n 的度数 60 45 （2）根据规
7、律，是否存在一个正多边形，其中的21？若存在，请求出 n 的值，若不存在，请说明理由22（10 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 B和 A，与反比例函数的图象交于 C、D，CE x 轴于点E，tanABO ，OB4，OE2（1）求直线 AB 和反比例函数的解析式；（2）求OCD 的面积23（10 分）某商店销售一种健身饮料，已知进价为每桶 40 元，市场调查发现，若以每桶 50 元的价格销售，平均每天可以销售 90 桶健身饮料，若价格每升高 1 元，平均每天少销售 3 桶健身饮料，设每桶健身饮料的售价为 x 元（x50），商店每天销售这种健身饮料
8、所获得的利润为 y 元（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当每桶健身饮料的价格为多少时，该店一天销售这种健身饮料获得的利润最大？最大利润为多少？24（10 分）如图，RtABC 中，B90，O 是 AB 上的一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于点 E，交 AC 于点 D，其中 DEOC（1）求证：AC 为O 的切线；（2）若 AD2 ，且 AB、AE 的长是关于 x 的方程 x28x+120 的两个实数根，求O 的半径、 CD 的长25（12 分）如图，抛物线 yax 2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0），与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的
9、解析式；（2）在直线 BC 上方的抛物线上找一点 P，过点 P 作 PDx 轴于 D，交 BC 于点 E当点 P 的横坐标运动到什么位置时，线段 PE 最长？此时 PE 等于多少？（3）在该抛物线上是否存在一点 M，使得三角形 MBC 是直角三角形？若存在，求出所有满足条件点 M 的坐标；若不存在，请说明理由（只考虑以 BC 为直角边的情形）2018 年四川省德阳市广汉市中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：共 12 小题，每题 3 分，共 36 分，每小題只有一个选项是符合题意的，把它选出来填在答题卷上1（3 分）| 4|的算术平方根是（ ）A2 B2 C D【分析】先去掉绝对值，然
10、后根据算术平方根的定义计算即可【解答】解：|4| 4，4 的算术平方根为 2故选：B【点评】本题考查算术平方根和绝对值的计算2（3 分）如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A B C D【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条实线，得到结果【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条实线，故选：A【点评】本题考查空间图形的三视图，本题是一个基础题，正确把握三视图观察角度是解题关键3（3 分）若点 A（2，m ）在正比例函数 y x 的图象上，则 m 的值是（ ）A B C1 D1
11、【分析】利用待定系数法代入正比例函数 y x 可得 m 的值【解答】解：点 A（2，m ）在正比例函数 y x 的图象上，m （ 2）1，故选：C【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式4（3 分）小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）A B C D【分析】由一共有 10 种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有 1 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：一共有 10 种等可能的结果 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，小军能一次打开该旅行箱的只有 1 种情况，
12、小军能一次打开该旅行箱的概率是： 故选：A【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比5（3 分）已知 a 是方程 x2+x10 的一个根，则 的值为（ ）A B C1 D1【分析】先化简 ，由 a 是方程 x2+x10 的一个根，得 a2+a10，则a2+a1，再整体代入即可【解答】解：知 a 是方程 x2+x10 的一个根，a 2+a10，a 2+a1，即 a（a+1 ）1， 1故选：D【点评】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值解题时，利用了“整体代入”的数学思想6（3 分）某区 10 名学生参加市级汉字听写大赛，他们得分情况如下表：人数 3 4 2
13、 1分数 80 85 90 95那么这 10 名学生所得分数的平均数和众数分别是（ ）A85 和 82.5 B85.5 和 85 C85 和 85 D85.5 和 80【分析】根据众数及平均数的定义，即可得出答案【解答】解：这组数据中 85 出现的次数最多，故众数是 85；平均数 （803+85 4+902+951）85.5故选：B【点评】本题考查了众数及平均数的知识，掌握各部分的概念是解题关键7（3 分）如图，ABCD，A45，C 28，则AEC 的大小为（ ）A17 B62 C63 D73【分析】首先根据两直线平行，内错角相等可得ABCC 28，再根据三角形内角与外角的性质可得AECA+
14、ABC【解答】解：ABCD，ABCC28，A45，AECA+ABC28+4573，故选：D【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和8（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB5，对角线 AC6若过点 A 作 AEBC，垂足为 E，则 AE 的长为（ ）A4 B C D5【分析】连接 BD，根据菱形的性质可得 ACBD，AO AC，然后根据勾股定理计算出 BO 长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式 BCAE ACBD 可得答案【解答】解：连接 BD，交 AC 于 O 点，四边形 ABCD 是菱形
15、，ABBCCDAD5，ACBD，AO AC，BD2BO ，AOB90，AC6，AO3，B0 4，DB8，菱形 ABCD 的面积是 ACDB 6824，BCAE24，AE ，故选：C【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分9（3 分）一本工具书，原价 30 元，由于商店要转让，该工具书连续两次降价处理，最后以 19.2 元出售已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（ ）A19% B20% C21% D22%【分析】设每次降价的百分率为 x，第一次降价后价格变为 30（1x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为 30（1x） 2 元，从
16、而列出方程，求出答案【解答】解：设每次降价的百分率为 x，根据题意，得30（1x） 219.2，即（1x） 20.64，解得 x11.8，x 20.2x1.8 不合题意，故舍去，即每次降价的百分率为 0.220%故选：B【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解10（3 分）设关于 x 的方程 ax2+（a+2）x+9a0，有两个不相等的实数根 x1、x 2，且x11x 2，那么实数 a 的取值范围是（ ）A B C D【分析】方法 1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 a 的不等式，求出 a 的取值范围又存
17、在 x11x 2，即（x 11）（x 21）0，x 1x2（x 1+x2）+10，利用根与系数的关系，从而最后确定 a 的取值范围方法 2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而 x11x 2，可以看成是二次函数 yax 2+（a+2 ）x+9a 的图象与 x 轴的两个交点在 1 左右两侧，由此得出自变量 x1 时，对应的函数值的符号，即可得出结论【解答】解：方法 1、方程有两个不相等的实数根，则 a0 且0，由（a+2） 24a9a35a 2+4a+40，解得 a ，x 1+x2 ，x 1x29，又x 11x 2，x 110，x 210，那么（x 11）（x 21）0，x 1x2
18、（x 1+x2）+1 0，即 9+ +10，解得 a0，最后 a 的取值范围为： a0故选 D方法 2、由题意知，a0，令 yax 2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于 1，一个小于 1，抛物线与 x 轴的交点分别在 1 两侧，当 a0 时，x1 时，y 0，a+（a+2）+9a0，a （不符合题意，舍去），当 a0 时，x1 时，y 0，a+（a+2）+9a0，a ， a0，故选：D【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根2、根与系数的关系为：x 1+x2 ，x 1x2 11（3
19、分）如图，正方形 ABCD 的边 AB1， 和 都是以 1 为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）A B1 C 1 D1【分析】图中 1、2、3、4 图形的面积和为正方形的面积，1、2 和两个 3 的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和正方形的面积无阴影两部分的面积之差，即 1 【解答】解：如图：正方形的面积S 1+S2+S3+S4；两个扇形的面积2S 3+S1+S2；，得： S3S 4S 扇形 S 正方形 1 故选：A【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键12（3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A
20、 在第一象限，ABx 轴，AD y 轴，且对角线的交点与原点 O 重合在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，若矩形 ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点 A 的反比例函数 y （k 0）中 k 的值的变化情况是（ ）A一直增大 B一直减小C先增大后减小 D先减小后增大【分析】设矩形 ABCD 中，AB2a，AD2b，由于矩形 ABCD 的周长始终保持不变，则 a+b 为定值根据矩形对角线的交点与原点 O 重合及反比例函数比例系数 k 的几何意义可知 k AB ADab，再根据 a+b 一定时，当 ab 时，ab 最大可知在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，
21、k 的值先增大后减小【解答】解：设矩形 ABCD 中，AB2a，AD2b矩形 ABCD 的周长始终保持不变，2（2a+2b）4（a+ b）为定值，a+b 为定值矩形对角线的交点与原点 O 重合k AB ADab，又a+b 为定值时，当 ab 时，ab 最大，在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，k 的值先增大后减小故选：C【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数比例系数 k 的几何意义及不等式的性质，有一定难度根据题意得出 k AB ADab 是解题的关键二、填空题：共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，把答案直接写在答题卡的横线上13（3 分）计算：|3 | +（1）
22、0 +1 【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简等考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式3 2 +1 +1故答案为 +1【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、绝对值、二次根式化简等考点的运算14（3 分）因式分解：m（ xy）+n（xy） （x y）（m+n） 【分析】直接提取公因式（xy），进而得出答案【解答】解：m（xy）+n（xy）（x y）（m+n）故答案为：（xy ）（m+n）【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键15（3 分）如图，已知 A
23、B 是 O 的直径，点 CD 在O 上，且 AB5，BC3，则sinBAC ；sin ADC 【分析】先根据圆周角定理得出ACB90，ADCB，再由勾股定理求出 AC的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：AB 是O 的直径，ACB90B 与ADC 是同弧所对的圆周角，ADCBAB5，BC 3，AC 4ACB90，sinBAC ，sinADCsinB 故答案为： ， 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键16（3 分）如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后，
24、能与ACP重合，如果 AP3，那么 PP 3 【分析】利用等腰直角三角形的性质得ABAC，BAC90，再根据旋转的性质得 APAP，PAP BAC90，则APP为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解【解答】解：ABC 是等腰直角三角形，ABAC， BAC 90 ，ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACP重合，APAP，PAP BAC90，APP 为等腰直角三角形，PP AP3 故答案为 3 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等腰直角三角形的性质17（3 分）如图，抛物线 y1a（x+2）
25、 23 与 y2 （x3） 2+1 交于点 A（1，3），过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B，C 则以下结论：无论 x 取何值，y 2 的值总是正数；a ； 当 x0 时，y2y 16；AB +AC10； y1 最小 y 2 最小 4其中正确结论的个数是： 4 【分析】根据非负数的性质即可判断，把点 A（1，3）代入 y1a（x+2） 23 即可求出 a 的值，把 x0 代入两个解析式，求出 y2 和 y1，把 y3 代入两个解析式，即可求出点 B 和点 C 的横坐标，即可求出 AB+BC 的值，根据二次函数顶点坐标式求出 y1 最小和 y2 最小 即可【解答】解： （x3
26、） 20，y 2 （x 3） 2+10，无论 x 取何值，y 2 的值总是正数，正确；抛物线 y1a（x +2） 23 与 y2 （x 3） 2+1 交于点 A（1，3），39a3，a ，正确；当 x0 时，y 1 ，y 2 ，当 x0 时，y 2y 1 ，错误；当 y3 时，y 1 （x +2） 2 33，解得 x5 或 1，y2 （x3） 2+13，解得 x1 或 5，即 AB+AC10，正确；y1a（x+2） 23 最小值为3，y 2 （x 3） 2+1 最小值为 1，y1 最小 y 2 最小 4，正确，综上正确的有，故答案为 4【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是根据
27、二次函数的顶点坐标式得到二次函数图象的开口方向，对称轴以及顶点坐标等，此题难度不大三、解答题：本大题共 8 小题，69 分应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（6 分）计算： 【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意：（ 1） 01，（ ） 2 9，以及三角函数的特殊值【解答】解：原式12 +91037【点评】本题考查的知识点是：任何不等于 0 的数的 0 次幂是 1a p 19（6 分）如图：ABCD，AEDF，CEFB 求证：ABCD【分析】先根据 CEFB 证明得到 CFBE，然后利用“边边边”证明ABE 和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得BC，进而利用对平行线的判定解答即可【
28、解答】证明：CEFB，CE+EFFB+EF，即 CFBE，在ABE 和DCF 中， ，ABE DCF（SSS），BC，ABCD【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据 CEFB 证明得到 CFBE 是解题的关键，注意本题需要两次证明三角形全等20（8 分）小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏游戏设计者提供了一只兔子和一个有 A、B、C 、D、E 五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的规定：玩家只能将小兔从 A、B 两个出入口放入，如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值 5 元小兔玩具，否则每玩一次应付费 3 元（1）请
29、用表格或树状图求小美玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率；（2）假设有 1000 人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？【分析】（1）画树状图展示所有 10 种等可能的结果数，再找出从开始进入的出入口离开的结果数，然后根据概率公式求解；（2）利用 10003 减去 1000 5 可估计游戏设计者可赚的钱【解答】解：（1）画树状图为：共有 10 种等可能的结果数，其中从开始进入的出入口离开的结果数为 2，所以小美玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率 ；（2）10000.8310000.251400，所以估计游戏设计者可赚 1400 元【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或
30、树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率21（7 分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题：（1）将下面的表格补充完整：正多边形边数 3 4 5 6 n 的度数 60 45 36 30 （ ）（2）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的21？若存在，请求出 n 的值，若不存在，请说明理由【分析】（1）根据计算、观察，可发现规律：正 n 边形中的（ ）；（2）根据正 n 边形中的（ ），可得答案【解答】解：（1
31、）观察上面每个正多边形中的，填写下表：正多边形边数 3 4 5 6 n 的度数 60 45 36 30 （ ）（3）不存在，理由如下：设存在正 n 边形使得21 ，得21（ ）解得：n8 ，n 是正整数，n8 （不符合题意要舍去），不存在正 n 边形使得21 【点评】本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等22（10 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 B和 A，与反比例函数的图象交于 C、D，CE x 轴于点E，tanABO ，OB4，OE2（1）求直线 AB 和反比例函数的解析式；（2
32、）求OCD 的面积【分析】（1）根据已知条件求出 A、B、C 点坐标，用待定系数法求出直线 AB 和反比例的函数解析式；（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点 D 的坐标，从而根据三角形面积公式求解【解答】解：（1）OB4 ，OE 2，BE2+46CEx 轴于点 E，tanABO OA2，CE3点 A 的坐标为（0，2）、点 B 的坐标为 C（4，0）、点 C 的坐标为（2，3）设直线 AB 的解析式为 ykx+b，则 ，解得 故直线 AB 的解析式为 y x+2设反比例函数的解析式为 y （m0），将点 C 的坐标代入，得 3 ，m6该反比例函数的解析式为 y （2）联立反比
33、例函数的解析式和直线 AB 的解析式可得 ，可得交点 D 的坐标为（6， 1），则BOD 的面积 412 2，BOC 的面积4326，故OCD 的面积为 2+68【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题主要考查待定系数法求函数解析式求 A、B 、C 点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难23（10 分）某商店销售一种健身饮料，已知进价为每桶 40 元，市场调查发现，若以每桶 50 元的价格销售，平均每天可以销售 90 桶健身饮料，若价格每升高 1 元，平均每天少销售 3 桶健身饮料，设每桶健身饮料的售价为 x 元（x50），商店每天销售这种健身饮料所获得的利润为
34、y 元（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当每桶健身饮料的价格为多少时，该店一天销售这种健身饮料获得的利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据利润 y 元每桶饮料的利润与每天卖出饮料的桶数的积，即可解答；（2）将所得函数解析式配方成顶点式即可得【解答】解：（1）由题意 y（x40）903（x50），整理，得 y3x 2+360x9600 ；（2）y3x 2+360x9600y3（x60） 2+1200，则：当 x60 时，y 的最大值为 1200，答：当每桶饮料的价格定为 60 元时，该商店每天销售这种饮料获得的利润最大最大利润为 1200 元【点评】本题是二次函数的简单应用，正
35、确表示出二次函数解析式，理解利润的计算方法是解决本题的关键24（10 分）如图，RtABC 中，B90，O 是 AB 上的一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于点 E，交 AC 于点 D，其中 DEOC（1）求证：AC 为O 的切线；（2）若 AD2 ，且 AB、AE 的长是关于 x 的方程 x28x+120 的两个实数根，求O 的半径、 CD 的长【分析】（1）连接 OD，由等腰三角形的性质和平行线的性质证得CDOCBO90，可得ODA90即可；（2）先求出 AB 和 AE 的长，可求出半径长，由勾股定理建立方程可求出 CD 的长【解答】证明：（1）连接 OD，DEOC，DEB
36、COB，DOC ODE ODE OED，DOCBOCODOD，OCOC，CDOCBO90ODA 90 AC 是O 的切线（2）AB、AE 的长是关于 x 的方程 x28x+120 的两个实数根，x28x+120，解得 x12，x 26，AB6，AE2，BEABAE624，O 的半径为 2；B90，AC 是O 的切线，DCBC，设 CDx，在 RtABC 中，AC x+2 ，AB 6，BC x， ，解得，x2 ， 【点评】本题考查的是切线的判定，勾股定理，一元二次方程的解法等知识25（12 分）如图，抛物线 yax 2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0），与 y 轴交于点
37、 C（1）求抛物线的解析式；（2）在直线 BC 上方的抛物线上找一点 P，过点 P 作 PDx 轴于 D，交 BC 于点 E当点 P 的横坐标运动到什么位置时，线段 PE 最长？此时 PE 等于多少？（3）在该抛物线上是否存在一点 M，使得三角形 MBC 是直角三角形？若存在，求出所有满足条件点 M 的坐标；若不存在，请说明理由（只考虑以 BC 为直角边的情形）【分析】（1）利用待定系数法，将 A，B 的坐标代入 yax 2+bx+3 即可求得二次函数的解析式；（2）求出 BC 的解析式，设 P（a，a 2+2a+3），则 E（a，a+3），所以PEa 2+2a+3（a+3 ）（a ） 2+
38、，根据二次函数的性质即可写出结论；（3）分类讨论当MBC90时，过点 M 作 MHy 轴于 H，则MHC90，HMm ，HCm 2+2m，证出 HCHM ，列出方程，即可求出点 M 的坐标；当MBC90时，过点 M 作 MHx 轴于 H，则MHB90，MHm 22m 3，BH 3m ，证明 MHBH，列出方程，即可求出 m 的值，可进一步写出点 M 的坐标【解答】解：（1）由题意把点 A（1，0）、B（3，0）代入 yax 2+bx+3，得， ，解得，a1，b2，此抛物线解析式为：yx2+2x +3；（2）在 yx 2+2x+3 中，当 x0 时，y3，C（0，3），将 B（3，0）代入 yk
39、x+3 中，得，k1，y BCx+3，如图 1，设 P（a，a 2+2a+3），则 E（a，a+3），PEa 2+2a+3（a+3）（a ） 2+ ，10，根据二次函数的性质可知，当 a 时，PE 有最大值，最大值为 ，当 P 点横坐标为 时，线段 PE 有最长值 ；（3）存在，设 M（m，m 2+2m+3），OCOB3，COB90 ，OCBOBC45，如图 21，当 MCB90时，过点 M 作 MHy 轴于 H，则MHC90，HMm，HCm 2+2m，HCM+OCB 90，HCM45，HCHM，即 mm 2+2m，解得，m 10（舍去），m 21，M（1，1）；如图 22，当 MBC90时，过点 M 作 MHx 轴于 H，则MHB90，MHm 22m3，BH3m，HBMMBCCBO45，MH BH，m 22m33m，解得，m 13（舍去），m 22，M（2，5）；综上所述，M 的坐标为（1， 1）或（2，5）【点评】本题考查了待定系数法求解析式，利用二次函数的性质求极值，等腰直角三角形的性质等，解题的关键是利用分类讨论的思想，通过作出合适的辅助线构构特殊三角形解答