1、2019 年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1（3 分）3 的相反数是（ ）A3 B3 C D2（3 分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）A B C D3（3 分）把不等式组 的解集表示在数轴上正确的是（ ）A BC D4（3 分）在ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上中点，且 DE6，则 BC 的长度是（ ）A3 B6 C9 D125（3 分）在一次立定跳远的测试中，小娟等 6 位同学立定跳远的成绩分别为：1.8、2、2.2、1.7、2、1.9，那么关于这组数据的说法正确的是（ ）A平均数是 2 B中位数是 2 C众
2、数是 2 D方差是 26（3 分）若一个正多边形的一个外角是 30，则这个正多边形的边数是（ ）A12 B11 C10 D97（3 分）如图，ABDE ，E62，则B+C 等于（ ）A138 B118 C38 D628（3 分）对于二次函数 y2x 24x +1，下列说法正确的是（ ）A当 x0，y 随 x 的增大而增大B当 x1 时，y 有最大值 3C图象的顶点坐标为（1，3 ）D图象与 x 轴有一个交点9（3 分）已知圆锥的母线长是 4cm，侧面积是 12cm2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm10（3 分）将抛物线 yx 24x +1 向左平移至顶点落
3、在 y 轴上，如图所示，则两条抛物线、直线 y3 和 x 轴围成的图形的面积 S（图中阴影部分）是（ ）A5 B6 C7 D8二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11（3 分）分解因式：2a 24ab 12（3 分）计算： 13（3 分）命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是 ；逆命题是 命题（填“真”或“假”）14（3 分）一次函数的图象经过一、二、四象限，请写出符合该条件的一个一次函数关系式： 15（3 分）如图，PA、PB 是 O 的两条切线，A、B 是切点，PA OA，阴影部分的面积为 6，则 O 的半径长为 16（3 分）如图，把矩形 ABCD 翻折，
4、使得点 A 与 BC 边上的点 G 重合，折痕为 DE，连结 AG 交 DE 于点 F，若 EF1，DG ，则 BE 三、解答题（共 9 小题，满分 102 分）17（9 分）解分式方程： 18（9 分）如图，在ABCD 中，BE、DF 分别是ABC 和CDA 的平分线求证：四边形 BEDF 是平行四边形19（10 分）先化简，再求值：（a+b） 2+（ab）（a+b）3a 2，其中 a220（10 分）某校响应国家号召，鼓励学生积极参与体育锻炼为了解学生一星期参与体育锻炼的时间情况，从全校 2000 名学生中，随机抽取 50 名学生进行调查，按参与体育锻炼的时间 t（单位：小时），将学生分成
5、五类：A 类（0t2），B 类（2t 4），C 类（4t6），D 类（6t 8），E 类（t8）绘制成尚不完整的条形统计图如图根据以上信息，解答下列问题：（1）样本中 E 类学生有 人，补全条形统计图；（2）估计全校的 D 类学生有 人；（3）从该样本参与体育锻炼时间在 0t4 的学生中任选 2 人，求这 2 人参与体育锻炼时间都在 2t4 中的概率21（12 分）如图，楼房 BD 的前方竖立着旗杆 AC小亮在 B 处观察旗杆顶端 C 的仰角为 45，在 D 处观察旗杆顶端 C 的俯角为 30，楼高 BD 为 20 米（1）求BCD 的度数；（2）求旗杆 AC 的高度22（12 分）如图，已知
6、以 RtABC 的边 AB 为直径作 ABC 的外接圆 O，B 的平分线 BE 交 AC 于 D，交O 于 E，过 E 作 EFAC 交 BA 的延长线于 F（1）求证：EF 是O 切线；（2）若 AB15，EF 10，求 AE 的长23（12 分）如图，双曲线 与直线 y2k 2x+b 相交于 A（1，m+2），B（4， m1），点 P 是 x 轴上一动点（1）当 y1y 2 时，直接写出 x 的取值范围；（2）求双曲线 与直线 y2k 2x+b 的解析式；（3）当PAB 是等腰三角形时，求点 P 的坐标24（14 分）如图，二次函数 yax 2+c 的图象经过点 和点 C（4，5），点B（
7、0， 5）（1）求二次函数 yax 2+c 的解析式；（2）在图 中仅用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）在 y 轴上确定点 P，使APOBPC，直接写出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如图，过点 P 的直线 ykx+b 交二次函数 yax 2+c 的图象于 D（x 1，y 1），E（x 2，y 2），且 x10x 2，过点 D、E 作 x 轴的垂线段，垂足分别是F、G，连接 PF、PG，求证：无论 k 为何值，总有FPOPGO；当 PF+PG 取最小值时，求点 O 到直线 ykx+b 的距离25（14 分）已知点 A、B 在 O 上，AOB90，OA ，（1）点 P 是优弧 上的
8、一个动点，求APB 的度数；（2）如图 ，当 tanOAP 1 时，求证：APO BPO；（3）如图 ，当点 P 运动到优弧 的中点时，点 Q 在 上移动（点 Q 不与点 P、B重合），若QPA 的面积为 S1，QPB 的面积为 S2，求 S1+S2 的取值范围2019 年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1（3 分）3 的相反数是（ ）A3 B3 C D【分析】依据相反数的定义求解即可【解答】解：3 的相反数是 3故选：B【点评】本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键2（3 分）下列图形
9、中是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形的概念即可求解【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意故选：D【点评】本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合，难度一般3（3 分）把不等式组 的解集表示在数轴上正确的是（ ）A BC D【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀即可确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 x+10，得：x1，解不等式 63x0，得：x 2，则不等式组的解集为1x2，故选：A【点评】本题主要考查解一元一
10、次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分4（3 分）在ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上中点，且 DE6，则 BC 的长度是（ ）A3 B6 C9 D12【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的 2 倍，计算即可【解答】解：ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点且 DE6，BC2DE2612，故选：D【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半5（3 分）在一次立定跳远的测试中，小娟等 6 位同学立定跳远的成绩分别为：1.8、2、2.2、1.7、2、1.9
11、，那么关于这组数据的说法正确的是（ ）A平均数是 2 B中位数是 2 C众数是 2 D方差是 2【分析】根据平均数，中位数，众数，方差的定义即可解决问题【解答】解：平均数 1.9，中位数是 1.95，众数是 2，方差 （1.81.9） 2+（21.9） 2+（2.21.9） 2+（1.71.9） 2+（21.9）2+（1.91.9） 20.037，故选：C【点评】本题考查平均数，中位数，众数，方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6（3 分）若一个正多边形的一个外角是 30，则这个正多边形的边数是（ ）A12 B11 C10 D9【分析】由已知得每个外角为 30，根据外角和
12、为 360即可求得多边形的边数【解答】解：3603012故选：A【点评】本题主要考查的是正多边形的内角和与外角和，掌握边数一个外角360是解题的关键7（3 分）如图，ABDE ，E62，则B+C 等于（ ）A138 B118 C38 D62【分析】利用平行线的性质结合三角形的外角的性质解决问题即可【解答】解：ABDE ，EBFE62，BFE B+ C，B+C 62 ，故选：D【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型8（3 分）对于二次函数 y2x 24x +1，下列说法正确的是（ ）A当 x0，y 随 x 的增大而增大B当 x1 时，y
13、有最大值 3C图象的顶点坐标为（1，3 ）D图象与 x 轴有一个交点【分析】配方后确定对称轴、开口方向、增减性后即可确定正确的选项【解答】解：y2x 24x +12（x+1） 2+3，开口向下，对称轴为直线 x1，顶点为（1，3），当 x1 时，y，有最大值3，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小；当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，故 A、C、D 错误，B 正确，故选：B【点评】本题考查了二次函数的性质，能够将二次函数的一般式转化为顶点式是解答本题的关键，难度不大9（3 分）已知圆锥的母线长是 4cm，侧面积是 12cm2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）A3cm B4cm C5cm D
14、6cm【分析】根据扇形面积公式计算，得到答案【解答】解：设圆锥的底面半径为 rcm，则 2r412，解得，r3（cm ），故选：A【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长10（3 分）将抛物线 yx 24x +1 向左平移至顶点落在 y 轴上，如图所示，则两条抛物线、直线 y3 和 x 轴围成的图形的面积 S（图中阴影部分）是（ ）A5 B6 C7 D8【分析】B，C 分别是顶点， A 是抛物线与 x 轴的一个交点，连接 OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形 ABCO 的面积，【解
15、答】解：B，C 分别是顶点， A 是抛物线与 x 轴的一个交点，连接 OC，AB，如图，阴影部分的面积就是平行四边形 ABCO 的面积，S236；故选：B【点评】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11（3 分）分解因式：2a 24ab 2a（a2b） 【分析】直接提取公因式 2a 即可【解答】解：原式2a（a2b）【点评】本题考查了提公因式法分解因式，确定公因式：一找系数的最大公约数是 2，二找相同字母的最低次幂是 a12（3 分）计算： 1 【分析】本题涉及有理数的乘方、算术平方根、特殊角三角函
16、数 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式3+（1）23111故答案为 1【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数等考点的运算13（3 分）命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么它们是直角 ；逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到其逆命题，然后根据直角的定义判断逆命题的真假【解答】解：命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是如果两个角相等，那
17、么它们是直角，此逆命题是假命题故答案为如果两个角相等，那么它们是直角；假【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理也考查了逆命题14（3 分）一次函数的图象经过一、二、四象限，请写出符合该条件的一个一次函数关系式： yx +1（答案不唯一） 【分析】先根据一次函数的图象经过一、二、四象限判断出函数 k 及 b 的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可【解答】解：设一次函数的解析式为 ykx+b（k0），一次函数的图
18、象经过一、二、四象限，k0，b0，符合该条件的一个一次函数关系式可以是：yx+1（答案不唯一）故答案为：yx +1（答案不唯一）【点评】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出 k、b 的符号是解答此题的关键15（3 分）如图，PA、PB 是 O 的两条切线，A、B 是切点，PA OA，阴影部分的面积为 6，则 O 的半径长为 3 【分析】连接 OP，根据切线的性质得到 PAO90，根据已知条件得到POA60，根据扇形的面积公式即可得到结论【解答】解：连接 OP，PA、PB 是 O 的两条切线，PAO90，PA OA，tanPOA ，POA60，AOB120，阴影部分的面积为 6， 6 ，
19、OA3， O 的半径长为 3，故答案为：3【点评】本题考查了切线的性质，扇形的面积公式，三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键16（3 分）如图，把矩形 ABCD 翻折，使得点 A 与 BC 边上的点 G 重合，折痕为 DE，连结 AG 交 DE 于点 F，若 EF1，DG ，则 BE 【分析】由矩形的性质得出BADBC 90，ABCD，ADBC，由折叠的性质得：DGEDAE90，ADDG ，AE GE，DE 垂直平分 AG，证明DFG DGE，得出 DFDEDG 26，求出 DF2，DE3，同理：GE2EFDE3，求出 AEGE ，再证明BEG CGD，得出 ，设 BEx，则 CG
20、x，CD ABx+ ，BG x，则 ，解得： x 即可【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，BADBC 90，ABCD，AD BC，由折叠的性质得：DGE DAE90，ADDG ，AEGE，DE 垂直平分AG，DFG EFGDGE90，FDG GDE，DFG DGE， ，DFDE DG 26，即 DF（DF +1）6，解得：DF2，或 DF3（舍去），DF2，DE3，同理：GE 2EF DE3，AEGE ，BEG+BGE 90，BGE +CGD 90，BEGCGD，BEGCGD， ，设 BEx，则 CG x，CDABx + ，BG x， ，解得：x ，即 BE ；故答案为： 【点评】本题考查了
21、翻折变换的性质、矩形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解决问题的关键三、解答题（共 9 小题，满分 102 分）17（9 分）解分式方程： 【分析】先去分母将方程化为一元一次方程，然后求解，最后验根【解答】解：去分母，得 12（x4）x，去括号，得 12x+8x解得 x9经检验：将 x9 代入，得左边 右边x 是原方程的解方程的解是 x【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键18（9 分）如图，在ABCD 中，BE、DF 分别是ABC 和CDA 的平分线求证：四边形 BEDF 是平行四边形【分析】由平行四边形的
22、性质及角平分线的性质可得 ABAE，CFCD，再由 ABCD可得 CFAE，进而得到 DEBF，可得四边形 EBFD 是平行四边形【解答】证明：在平行四边形 ABCD 中，则 ADBC，AEB CBE，又 BE 平分ABC，ABE EBC，ABE AEB，即 ABAE，同理 CFCD，又 ABCD，CFAE，BFDE ，四边形 EBFD 是平行四边形【点评】此题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质问题，要熟练掌握，并能够求解一些简单的计算、证明问题19（10 分）先化简，再求值：（a+b） 2+（ab）（a+b）3a 2，其中 a2【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可【解答】解
23、：原式a 2+2ab+b2+a2b 23a 2，a 2+2ab，当 时，原式8816【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（10 分）某校响应国家号召，鼓励学生积极参与体育锻炼为了解学生一星期参与体育锻炼的时间情况，从全校 2000 名学生中，随机抽取 50 名学生进行调查，按参与体育锻炼的时间 t（单位：小时），将学生分成五类：A 类（0t2），B 类（2t 4），C 类（4t6），D 类（6t 8），E 类（t8）绘制成尚不完整的条形统计图如图根据以上信息，解答下列问题：（1）样本中 E 类学生有 5 人，补全条形统计图；（2）估计全校的 D 类学生有
24、 720 人；（3）从该样本参与体育锻炼时间在 0t4 的学生中任选 2 人，求这 2 人参与体育锻炼时间都在 2t4 中的概率【分析】（1）根据总人数等于各类别人数之和可得 E 类别学生数；（2）用 D 类别学生数除以总人数即可得 D 类人数占被调查人数的百分比，再乘以总人数 2000 即可得；（3）列举所有等可能结果，根据概率公式求解可得【解答】解：（1）E 类学生有 50（2+3+22+18）5（人），补全图形如下：故答案为：5；（2）D 类学生人数占被调查总人数的 100%36%，所以估计全校的 D 类学生有 200036%720（人）；故答案为：720；（3）记 0t2 内的两人为甲
25、、乙， 2t 4 内的 3 人记为 A、B、C ，从中任选两人有：甲乙、甲 A、甲 B、甲 C、乙 A、乙 B、乙 C、AB、AC 、BC 这 10 种可能结果，其中 2 人锻炼时间都在 2t 4 中的有 AB、AC 、BC 这 3 种结果，这 2 人锻炼时间都在 2t 4 中的概率为 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B的概率也考查条形统计图21（12 分）如图，楼房 BD 的前方竖立着旗杆 AC小亮在 B 处观察旗杆顶端 C 的仰角为 45，在 D 处观察旗
26、杆顶端 C 的俯角为 30，楼高 BD 为 20 米（1）求BCD 的度数；（2）求旗杆 AC 的高度【分析】（1）过点 C 作 CEBD 于 E，则 DFCE，ABCE利用平行线的性质求得相关角的度数（2）本题涉及到两个直角三角形ECD、BCE，通过解这两个直角三角形求得DE、BD 长度，进而可解即可求出答案【解答】解：（1）过点 C 作 CEBD 于 E，则 DFCE，ABCEDFCEECDCDF30同理ECBABC45BCDECD+ECB 75（2）在 RtECD 中，ECD 30同理 BECEBDBE+DE答：（1）BCD 为 75；（2）旗杆 AC 的高度 CE 为 米【点评】本题考
27、查解直角三角形的应用仰角俯角问题解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题22（12 分）如图，已知以 RtABC 的边 AB 为直径作 ABC 的外接圆 O，B 的平分线 BE 交 AC 于 D，交O 于 E，过 E 作 EFAC 交 BA 的延长线于 F（1）求证：EF 是O 切线；（2）若 AB15，EF 10，求 AE 的长【分析】（1）要证 EF 是 O 的切线，只要连接 OE，再证FEO90即可；（2）证明FEAFBA ，得出 AE，BF 的比例关系式，勾股定理得出 AE，BF 的关系式，求出 AE 的长【解答】（1）证明：连接 OE，B 的平分线 BE 交 AC 于
28、D，CBEABEEFAC，CAEFEAOBEOEB，CBECAE，FEA OEBAEB 90，FEO90EF 是O 切线（2）解：AFFB EFEF，AF（AF+15）1010AF5FB20FF ，FEAFBE，FEA FBEEF10AE 2+BE21515AE3 【点评】本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可23（12 分）如图，双曲线 与直线 y2k 2x+b 相交于 A（1，m+2），B（4， m1），点 P 是 x 轴上一动点（1）当 y1y 2 时，直接写出 x 的取值范围；（2）求双曲线 与直线 y2k 2x+b 的解析
29、式；（3）当PAB 是等腰三角形时，求点 P 的坐标【分析】（1）根据图形和点 A，B 坐标即可得出结论；（2）根据点 A，B 在反比例函数图象上，求出 m，k 1，再代入直线解析式中，即可得出结论；（3）设出 P 坐标，利用等腰三角形的性质分三种情况，建立方程求解即可得出结论【解答】解：（1）点 A（1，m +2），B （4，m 1）是反比例函数和直线的交点坐标，0x1 或 x4；（2）A（1，m+2），B（4 ，m 1）是反比例函数 y1 上， ，解得A（1，4），B（4，1）点 A，B 在直线 y2k 2x+b 上， ，解得双曲线的解析式为 ，直线的解析式为 yx+5；（3）设点 P（a
30、，0），则 PA2（a1） 2+42，AB 218，PB 2（a4） 2+12当 PAPB 时，（a1） 2+42（a4） 2+12解得 a0，P 1（0，0），当 PAAB 时，（a1） 2+4218，解得 ， ， ， ，当 PBAB 时，（a4） 2+1218，解得 ， ， ， ，综上述，P 1（0，0）， ， ， ，【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题分关键24（14 分）如图，二次函数 yax 2+c 的图象经过点 和点 C（4，5），点B（0， 5）（1）求二次函数 yax 2+c 的解析式；（2）在图 中仅用尺规作图（
31、保留作图痕迹，不要求写作法）在 y 轴上确定点 P，使APOBPC，直接写出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如图，过点 P 的直线 ykx+b 交二次函数 yax 2+c 的图象于 D（x 1，y 1），E（x 2，y 2），且 x10x 2，过点 D、E 作 x 轴的垂线段，垂足分别是F、G，连接 PF、PG，求证：无论 k 为何值，总有FPOPGO；当 PF+PG 取最小值时，求点 O 到直线 ykx+b 的距离【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）先作点 A 关于 y 轴的对称点 A，连接 AC 与 y 轴的交点即为所求；（3） 联立 得 ，依据 x10x 2 知 OF，OG
32、，根据 OFOG4OP 2 知FOP POG，从而得出FPOPGO；由 x1+x24k，x 1x24 知（ PF+PG） 2，不妨令 ，t1 知PF+PG4 ，据此可得答案【解答】解：（1）将点 和点 C（4，5）代入二次函数 yax 2+c，得： ，解得： ，所以二次函数的解析式为 ；（2）如图，点 P 即为所求点 A（1， ）关于 y 轴的对称点 A（1， ），结合 C（4，5）知直线 A C 的解析式为 y x+2，当 x0 时 y2，则点 P 坐标为（0，2）；（3） 证明：将点 P（0，2）代入直线 ykx+b，得 b2联立 ，化简得：x 24kx40，解得： ，x 10x 2， ，
33、 ，OF ，OG ，OFOG 4 OP 2 ，即FOPPOG，FPOPGO；x 1+x24k，x 1x24， ，不妨令 ，t1，PF+PG4 ，当 k0 时，t1，此时 PF+PG 取最小值 ，点 O 到直线 ykx +b 的距离即 OP2【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、抛物线与直线相交的问题等知识点25（14 分）已知点 A、B 在 O 上，AOB90，OA ，（1）点 P 是优弧 上的一个动点，求APB 的度数；（2）如图 ，当 tanOAP 1 时，求证：APO BPO；（3）如图 ，当点 P 运动到优弧 的
34、中点时，点 Q 在 上移动（点 Q 不与点 P、B重合），若QPA 的面积为 S1，QPB 的面积为 S2，求 S1+S2 的取值范围【分析】（1）由圆周角定理即可得出结果；（2）过点 O 作 OCPA 于 C，在 CA 上截取 CDOC，由等腰直角三角形的性质得出OD OC， CDO45，得出 ADOD，ADOA，求出A22.5，即可得出结论；（3）连接 AB，连接 PO 并延长交 AB 于 E，则 PEAB，把 PBQ 沿着 PQ 翻折得PBQ，则 PBPBPA ， PQB PQB，S 2S QPB S QBP ，证出点A、Q、B 三点共线，由 S1+S2S QPA +SQBP S PAB
35、 ，得出 S1+S20 当且仅当PAPB时，S 1+S2 有最大值 ，在 RtPAE 中，AE1，PE ，由勾股定理得出 PA2AE 2+PE24+2 ，即可得出结论【解答】（1）解：AOB90，APB AOB45，（2）证明：过点 O 作 OCPA 于 C，在 CA 上截取 CDOC，如图 所示： ， ，即 AC OC，CDOC ，ADACCD（ +1） OCOC OCOCD90，OCCD ，OD OC，CDO45，ADOD ，ADOA ，A+DOACDO45，A22.5，OPOA ，APOA22.5，APB 45，BPOAPBAPO 22.5，APOBPO；（3）解：连接 AB，连接 PO
36、 并延长交 AB 于 E，则 PE AB，把PBQ 沿着 PQ 翻折得PBQ，如图 所示：则 PBPBPA，PQBPQB，S 2S QPB S QBP，AQPABP，ABPPAB，AQPPAB，四边形 PABQ 内接于 O，PAB +PQB180，AQP+PQB 180，点 A、Q、B三点共线，S 1+S2S QPA +SQBP S PAB ，S 1+S20 当且仅当 PAPB时，S 1+S2 有最大值 ，在 Rt PAE 中，AE 1，PE ，PA 2AE 2+PE24+2 ， ，0S 1+S2 【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三点共线以及最大值问题；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键