1、 第 1 页 2019 届高三年级第二次模拟考试 数 学 理 (满分 160 分 ， 考试时间 120 分钟 ) 一、 填空题：本大题共 14 小题 ， 每小题 5 分 ， 共计 70 分 1. 已知集合 A 1， 3， a， B 4， 5， 若 A B 4， 则实数 a 的值为 _ 2. 复数 z 2i2 i(i 为虚数单位 )的实部为 _ 3. 某单位普通职工和行政人员共 280 人 为了解他们在 “ 学习强国 ” APP 平台上的学习情况 ， 现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为 56 的样本 已知从普通职工中抽取的人数为 49， 则该单位行政人员的人数为 _ 4. 从甲、乙、丙、丁
2、这 4 名学生中随机选派 2 人参加植树活动 ， 则甲、乙两人中恰有 1 人被选中的概率为 _ 5. 执行如图所示的伪代码 ， 则输出的 S 的值为 _ i 1 S 2 While i0， b0)的右顶点 A(2， 0)到渐近线的距离为 2，则 b 的值为 _ 9. 在 ABC 中 ， 已知 C 120， sinB 2sinA， 且 ABC 的面积为 2 3， 则 AB的长为 _ 10. 设 P， A， B， C 为球 O 表面上的四个点 ， PA， PB， PC 两两垂直 ， 且 PA 2m， PB 3m， PC 4m，则球 O 的表面积为 _m2. 11. 定义在 R 上的奇函数 f(x)
3、满足 f(x 4) f(x)， 且在区间 2， 4)上 ， f(x)2 x， 2 x0(a， b， c R) 的解集为 x|3b0)， C2与 C1的长轴长 之比为 2 1， 离心率相同 (1) 求椭圆 C2的标准方程； (2) 设点 P 为椭圆 C2上一点 射线 PO 与椭圆 C1依次交于点 A， B， 求证： PAPB为定值； 过点 P 作两条斜率分别为 k1， k2的直线 l1， l2， 且直线 l1， l2与椭圆 C1均有且只有一个公共点 ， 求证： k1k 2为定值 第 5 页 19. (本小题满分 16 分 ) 已知函数 f(x) 2lnx 12x2 ax， a R. (1) 当
4、a 3 时 ， 求函数 f(x)的极值； (2) 设函数 f(x)在 x x0处的切线方程为 y g(x)， 若函数 y f(x) g(x)是 (0， )上的单调增函数 ， 求x0的值； (3) 是否存在一条直线与函数 y f(x)的图象相切于两个不同的点？并说明理由 第 6 页 20. (本小题满分 16 分 ) 已知数列 an的各项均不为零 设数列 an的前 n 项和为 Sn， 数列 a2n的前 n 项和为 Tn， 且 3S2n 4Sn Tn 0， n N*. (1) 求 a1， a2的值； (2) 证明：数列 an是等比数列； (3) 若 ( nan)( nan 1)0)， 所以 g(x
5、) f(x0)(x x0) f(x0)(x00)， 记 p(x) f(x) g(x)， 则 p(x) f(x) f(x0) f(x0)(x x0)在 (0， )上为单调增函数 ， 所以 p(x) f(x) f(x0) 0 在 (0， )上恒成立 ， 即 p(x) 2x 2x0 x x0 0 在 ( )0， 上恒成立 .(8 分 ) 法一：变形得 x 2x0(x x0) 0 在 (0， )上恒成立 ， 所以 2x0 x0， 又 x00， 所以 x0 2.(10 分 ) 法二：变形得 x 2x x0 2x0在 (0， )上恒成立 ， 因为 x 2x 2 x2x 2 2(当且仅当 x 2时 ， 等号
6、成立 )， 所以 2 2 x0 2x0， 所以 ( )x0 2 2 0， 所以 x0 2.(10 分 ) (3) 假设存在一条直线与函数 f(x)的图象有两个不同的切点 T1(x1， y1)， T2(x2， y2)， 不妨 设 0p(1) 0， 所以 式不可能成立 ， 所以假设不成立 ， 所以不存在一条直线与函数 f(x)的图象有两个不同的切点 (16分 ) 20.(1) 因为 3S2n 4Sn Tn 0， n N*. 令 n 1， 得 3a21 4a1 a21 0. 因为 a1 0， 所以 a1 1. 令 n 2， 得 3(1 a2)2 4(1 a2) (1 a22) 0， 即 2a22 a
7、2 0. 因为 a2 0， 所 以 a2 12.(3 分 ) (2) 因为 3S2n 4Sn Tn 0， 所以 3S2n 1 4Sn 1 Tn 1 0， ， 得 3(Sn 1 Sn)an 1 4an 1 a2n 1 0， 因为 an 1 0， 所以 3(Sn 1 Sn) 4 an 1 0， (5 分 ) 所以 3(Sn Sn 1) 4 an 0(n 2)， 当 n 2 时 ， ， 得 3(an 1 an) an 1 an 0， 即 an 1 12an. 因为 an 0， 所以 an 1an 12. 又由 (1)知 ， a1 1， a2 12， 所以 a2a1 12， 所 以数列 an是以 1
8、为首项 ， 12为公比的等比数列 .(8 分 ) (3) 由 (2)知 ， an 12n 1. 因为对任意的 n N*， ( nan)( nan 1)0， 当 n 为奇数时 ， n 12n0 不符 (13 分 ) 若 0， 当 n 为奇数时 ， n 12nn 12n 1恒成立 ， 从而有 n2n恒成立 由 (*)式知 ， 当 n 5 且 n 1时 ， 有 1n n2n， 所以 0 不符 综上 ， 实数 的所有值为 0.(16 分 ) 第 14 页 21.A.由题意 ， 得 M 3， 即 1 m2 n 11 1 m2 n 33 ， 所以 m 2， n 1， 即矩阵 M 1 22 1 .(5 分
9、) 矩阵 M的特征多项式 f() 1 2 2 1 ( 1)2 4 0， 解得矩阵 M的另一个特征值为 1.(10 分 ) B.由题意 ， 得直线 l 的普通方程为 x y 1 0. 椭圆 C 的普通方程为 x22 y2 1. (4 分 ) 由 联立 ， 解得 A(0， 1)， B 43， 13 ， (8 分 ) 所以 AB 43 02 13 12 4 23 .(10 分 ) C.由柯西不等式 ， 得 x2 (2y)2 z2 12 122 12 (x y z)2.(5 分 ) 因为 x2 4y2 z2 16， 所以 (x y z)2 16 94 36， 所以 x y z 6， 当且仅当 x 2y
10、 z时取等号 .(10 分 ) 22.(1) 由题意 ， 知 AB， AD， AP 两两垂直 以 AB ， AD ， AP 为正交基底 ， 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 B(1， 0， 0)， C(1， 2， 0)， D(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， 所以 PB (1， 0， 2)， PC (1， 2， 2)， PD (0， 2， 2) 设平面 PCD 的法向量 n (x， y， z)， 则nPC 0，nPD 0，即x 2y 2z 0，2y 2z 0， 不妨取 y 1， 则 x 0， z 1， 所以平面 PCD 的一个法向量为 n (0， 1， 1) (3 分 )
11、 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ， 所以 sin |cos PB ， n |PB n| |PB | n| 105 ， 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 105 .(5 分 ) (2) 设 M(a， 0， 0)， 则 MA ( a， 0， 0)， 设 PN PC ， 则 PN ( )， 2， 2 ， 因为 AP (0， 0， 2)， 第 15 页 所以 MN MA AP PN ( a， 2， 2 2).(8 分 ) 由 (1)知 ， 平面 PCD 的一个法向量为 n (0， 1， 1)， 因为 MN 平面 PCD， 所以 MN n， 所以 a 0，2 2 2， 解得 12
12、， a12， 所以 M为 AB 的中点 ， N为 PC的中点 .(10 分 ) 23.(1) 当 n 4 时 ， 因为 a1， a2， ， a4均为非负实数 ， 且 a1 a2 a3 a4 2， 所以 a1a2 a2a3 a3a4 a4a1 a2(a1 a3) a4(a3 a1) (a3 a1)(a2 a4)(2 分 ) （ a3 a1）（ a2 a4）22 1.(4 分 ) (2) 当 n 4 时 ， 由 (1)可知 ， 命题成立； 假设当 n k(k 4)时 ， 命题成立 ， 即对于任意的 k 4， 若 x1， x2， ， xk均为非负实数 ， 且 x1 x2 xk 2， 则 x1x2 x
13、2x3 xk 1xk xkx1 1， 则当 n k 1 时 ， 设 a1 a2 ak ak 1 2， 不妨设 ak 1 maxa1， a2， ， ak， ak 1 令 x1 (a1 a2)， x2 a3， xk 1 ak， xk ak 1， 则 x1 x2 xk 2. 由归纳假设 ， 知 x1x2 x2x3 xk 1xk xkx1 1.(8 分 ) 因为 a1， a2， a3均为非负实数 ， 且 ak 1 a1， 所以 x1x2 xkx1 (a1 a2)a3 ak 1(a1 a2) a2a3 ak 1a1 a1a3 ak 1a2 a1a2 a2a3 ak 1a1， 所以 1 (x1x2 xkx1) (x2x3 xk 1xk) (a1a2 a2a3 ak 1a1) (a3a4 akak 1)， 即 a1a2 a2a3 akak 1 ak 1a1 1， 所以当 n k 1 时命题也成立 ， 所以由 可知 ， 对于任意的 n 4， a1a2 a2a3 an 1an ana1 1.(10 分 ) 第 16 页