1、2019 年江西省南昌市安义县黄洲中学中考数学模拟试卷（4 月份）一选择题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）1下列四个数，表示无理数的是（ ）Asin30 B C1 D2下列等式一定成立的是（ ）Aa 2+a3a 5 B（a+b） 2a 2+b2C（2ab 2） 36a 3b6 D2a 6a32a 33我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那么可列方程组为（ ）A BC D4如图，是从不同的方向看一个物体得到的平面图
2、形，该物体的形状是（ ）A圆锥 B圆柱 C三棱锥 D三棱柱5如图，ABC 内接于O，连结 OA，OB，ABO40，则C 的度数是（ ）A100 B80 C50 D406如图，在正五边形 ABCDE 中，对角线 AD，AC 与 EB 分别相交于点 M，N 下列结论错误的是（ ）A四边形 EDCN 是菱形 B四边形 MNCD 是等腰梯形CAEM 与 CBN 相似 DAEN 与EDM 全等二填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）7分解因式：x 24x 858 万千米用科学记数法表示为： 千米9若一组数据 1，2，x，3，4 的众数为 4，则这组数据的中位数是 10如图，在 RtABC
3、 中，ACB90，将ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到ABC ，M 是 BC的中点，N 是 AB的中点，连接 MN，若 BC4，ABC60，则线段 MN 的最大值为 11设 m，n 是方程 x2x20190 的两实数根，则 m3+2020n2019 12如图，在矩形 ABCD 中，AD2AB2，E 是 BC 边上的一个动点，连接 AE，过点 D 作DFAE 于 F，连接 CF，当CDF 为等腰三角形时，则 BE 的长是 三解答题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）13（1）分解因式 n2（m 2）n（2m ）（2）化简（1 ）（3）解方程 2（4）先化简再求值 ，其中 a3，b11
4、4如图，D、C、F、B 四点在一条直线上，ABDE，ACBD，EF BD，垂足分别为点 C、点F，CDBF 求证：（1）ABCEDF；（2）ABDE 15如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图（1）中，在 AB 边上求作一点 N，连接 CN，使 CNAM；（2）在图（2）中，在 AD 边上求作一点 Q，连接 CQ，使 CQAM 16为弘扬中华传统文化、某校举办了学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A唐诗；B宋词；C元曲；D论语，比赛形式分为“单人组”和“双人组”（1）
5、小明参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，则抽到“唐诗”的是 事件，其概率是 （2）若小亮和小丽组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小亮和小丽都没有抽到“元曲”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明17为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对 A、B 两地间的公路进行改建如图，A、B 两地之间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶已知 BC 100 千米，A45，B30（1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走多少千米？（2）开通隧
6、道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走多少千米？（结果保留根号）四解答题（共 3 小题，每小题 8 分，满分 24 分）18某校社团活动开设的体育选修课有：篮球（A），足球（B），排球（C），羽毛球（D），乒乓球（E）每个学生选修其中的一门学校对学生体育选修课的选课情况进行抽样调查，调查统计后制成了以下两个统计图（不完整）（1）求抽样调查的学生总数；（2）求出选修篮球（A）和乒乓球（E）的人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（3）该校共有 850 名学生，请估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有多少人？19某公司销售一批产品，进价每件 50 元，经市场调研，发
7、现售价为 60 元时，可销售 800 件，售价每提高 1 元，销售量将减少 25 件公司规定：售价不超过 70 元（1）若公司在这次销售中要获得利润 10800 元，问这批产品的售价每件应提高多少元？（2）若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元？20如图，反比例函数 y （x0）过点 A（3，4），直线 AC 与 x 轴交于点 C（6，0），过点C 作 x 轴的垂线交反比例函数图象于点 B（1）求反比例函数和直线 AC 的解析式；（2）求ABC 的面积；（3）在平面内有点 D，使得以 A，B，C，D 四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有 D 点的坐
8、标五解答题（共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分）21如图 ，在矩形 ABCD 中，动点 P 从 A 出发，以相同的速度，沿 ABCDA 方向运动到点 A 处停止设点 P 运动的路程为 x，PAB 面积为 y，y 与 x 的函数图象如图所示（1）矩形 ABCD 的面积为 ；（2）如图 ，若点 P 沿 AB 边向点 B 以每秒 1 个单位的速度移动，同时，点 Q 从点 B 出发沿BC 边向点 C 以每秒 2 个单位的速度移动如果 P、Q 两点在分别到达 B、C 两点后就停止移动，回答下列问题：当运动开始 秒时，试判断DPQ 的形状；在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以 Q 为圆心，PQ
9、 的长为半径的圆与矩形 ABCD 的对角线 AC 相切，若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由22定义：有两条边长的比值为 的直角三角形叫做“半生三角形”如图，在ABC 中，B90 ，D 是 AB 的中点， E 是 CD 的中点，DF AE 交 BC 于点 F（1）当ACB60时，ABC 是半生三角形吗？请判断： （填“是”或“否“）；（2）当AEDDCB 时，求证：BDF 是“半生三角形”；（3）当BDF 是“半生三角形”，且 BF1 时，求线段 AC 的长六解答题（共 1 小题，满分 12 分）23如图 1，抛物线 yax 2+（a+2）x+2（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），与
10、 y 轴交于点 B，在 x轴上有一动点 P（m，0）（0 m 4），过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点M（1）求 a 的值；（2）若 PN：MN1：3，求 m 的值；（3）如图 2，在（2）的条件下，设动点 P 对应的位置是 P1，将线段 OP1 绕点 O 逆时针旋转得到 OP2，旋转角为 （0 90），连接 AP2、BP 2，求 AP2+ BP2 的最小值2019 年江西省南昌市安义县黄洲中学中考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）1【分析】无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义逐个排除即可【解答】解
11、：A、sin30 ，不是无理数，故本选项不符合题意；B、 4，不是无理数，故本选项不符合题意；C、1，是无限不循环小数，是无理数，符合题意；D 2，不是无理数，故本选项不符合题意；故选：C【点评】本题考查了无理数，正确理解无理数的意义是解题的关键2【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：（A）原式a 2+a3，故 A 错误；（B）原式a 2+2ab+b2，故 B 错误；（C）原式8a 3b6，故 C 错误；故选：D【点评】本题考查整式的运算，解题的关键熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型3【分析】设大马有 x 匹，小马有 y 匹，根据大马与小马的总匹数是 100，1 匹大马能拉
12、3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦共拉 100 匹瓦，列出方程组，此题得解【解答】解：设大马有 x 匹，小马有 y 匹，根据题意得： 故选：D【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键4【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥【解答】解：主视图和左视图都是三角形，此几何体为锥体，俯视图是一个圆及圆心，此几何体为圆锥，故选：A【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状5【分析】根据三角形内角和定理、等
13、腰三角形的性质求出AOB，根据圆周角定理解答【解答】解：OAOB，ABO40，AOB100，C AOB50，故选：C【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键6【分析】首先由正五边形的性质可得AB BCCD DEAE ，BE CD ，ADBC ，ACDE，ACADBE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得 A 正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得 B 正确，利用 SSS 即可判定 D 正确，利用排除法即可求得答案【解答】解：在正五边形 ABCDE 中，ABBCCDDEAE ，BE CD ，ADBC ，ACD
14、E，四边形 EDCN 是平行四边形，EDCN 是菱形；故 A 正确；同理：四边形 BCDM 是菱形，CNDE ，DMBC，CNDM，四边形 MNCD 是等腰梯形，故 B 正确；ENEDDM AECNBMCD，ANACCN，EM BE BM，BEAC，AENEDM （SSS），故 D 正确故选：C【点评】此题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识此题综合性很强，注意数形结合思想的应用二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）7【分析】直接提取公因式 x 进而分解因式得出即可【解答】解：x 24x x （x4）故答案为：x（x 4）【点
15、评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键8【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：根据 58 万580000，用科学记数法表示为：5.810 5故答案为：5.810 5【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值9【分析】先根据众数定义求出 x，再把
16、这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数【解答】解：数据 1，2，x，3，4 的众数为 4，x4，则数据为 1，2，3，4，4，这组数据的中位数为 3，故答案为：3【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数10【分析】连接 CN根据直角三角形斜边中线的性质求出 CN AB4，利用三角形的三边关系即可解决问题【解答】解：连接 CN在 Rt ABC 中，ACB 90，BC4B60
17、，A30，ABAB 2BC8，NBNA，CN AB 4，CMBM2，MNCN+CM6，MN 的最大值为 6，故答案为 6【点评】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型11【分析】先利用一元二次方程的定义得到 m2m +2019，m 32020m+2019，所以m3+2020n20192020（m +n），然后利用根与系数的关系得到 m+n1，最后利用整体代入的方法计算【解答】解：m 是方程 x2x20190 的根，m 2m20190，m 2m+2019，m3m 2+2019mm+2019+2019m2020m
18、+2019，m 3+2020n 20192020m+2019+2020n20192020（m+n），m，n 是方程 x2x20190 的两实数根，m+ n 1，m 3+2020n 20192020故答案为 2020【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2 ，x 1x2 12【分析】过点 C 作 CM DF，垂足为点 M，判断CDF 是等腰三角形，要分类讨论，CF CD；DF DC ； FDFC ，根据相似三角形的性质进行求解【解答】解：CFCD 时，过点 C 作 CMDF，垂足为点 M，则 CMAE，DMMF，延长 CM
19、 交 AD 于点 G，AGGD 1 ，AGEC，AE CG ，四边形 AECG 是平行四边形，CEAG1，当 BE1 时，CDF 是等腰三角形DFDC 时，则 DCDF 1，DFAE，AD2，DAE30，AEB 30则 BE当 BE 时，CDF 是等腰三角形；FDFC 时，则点 F 在 CD 的垂直平分线上，故 F 为 AE 中点AB1，BEx ，AE ，AF ，ADFEAB， ， ，x24x+10，解得：x2 或 2+ （舍弃），当 BE2 时，CDF 是等腰三角形综上，当 BE1、3 、2 时，CDF 是等腰三角形故答案为：1 或 或 2 【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股
20、定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型三解答题（共 5 小题，满分 30 分，每小题 6 分）13【分析】（1）先变形为 n2（m 2）+ n（m 2），再提取公因式即可得；（2）先计算括号内分式的减法，除式分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得；（3）根据解分式方程的步骤依次计算可得；（4）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a，b 的值代入计算可得【解答】解：（1）原式n 2（m 2）+ n（m 2）n（m2）（n+1）；（2）原式 ；（3）两边都乘以 2（x1），得：2x34（x 1），解得：x ，经检
21、验 x 是原分式方程的解，所以分式方程的解为 x ；（4）原式 ，当 a3，b1 时，原式 3【点评】本题主要考查因式分解、分式的化简求值、解分式方程，解题的关键是掌握因式分解的步骤与计算方法、分式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤14【分析】（1）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用 HL 证得结论；（2）由（1）中结论可得到D B，则可证得结论【解答】证明：（1）ACBD，EF BD，ABC 和EDF 为直角三角形，CDBF ，CF+BFCF+CD ，即 BCDF，在 Rt ABC 和 RtEDF 中，RtABCRtEDF （HL）；（2）由（1）可知ABCEDF，BD，ABDE
22、【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA 、AAS 和 HL）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键15【分析】（1）连接 BD， BD 与 AM 交于点 O，连接 CO 并延长交于 AB，则 CO 与 AB 的交点为点 N可先证明AODCOD，再证明MOB NOB，从而可得 NBMB；（2）连接 MO 并延长与 AE 交于点 Q，连接 QC，则 CQAM理由如下：由正方形的性质以及对顶角相等可证BMODQO，所以 QOMO，由于QOCMOA，COAO ，所以COQAOM，则QCOMAO ，从而可得 CQAM【解答】解：（1）连接
23、BD， BD 与 AM 交于点 O，连接 CO 并延长交于 AB，则 CO 与 AB 的交点为点 N，如图 1，（2）延长 MO 交 ADE 于 Q，连结 CQ，则 CQ 为所作，如图 2【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作16【分析】（1）根据随机事件的定义和概率公式求解；（2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出小亮和小丽都没有抽到“元曲”的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）小明参加“单人组”
24、，他从中随机抽取一个比赛项目，则抽到“唐诗”的是随机事件，其概率是 ；故答案为 ；（2）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中小亮和小丽都没有抽到“元曲”的结果数为 6，所以小亮和小丽都没有抽到“元曲”的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率17【分析】（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角ACD 中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角CBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD，进而求出答案【解答】解
25、：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，ABCD，sin30 ，BC100 千米，CDBCsin30100 50（千米），AC 50 （千米），AC+BC（100+50 ）千米，答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走（100+50 ）千米；（2）cos30 ，BC100（千米），BDBCcos30100 50 （千米），CD BC50（千米），tan45 ，AD 50（千米），ABAD +BD（50+50 ）千米，AC+BCAB100+50 （50+50 ）（50+50 50 ）千米答：开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走（50+50 50 ）千米【点评】本题考查了
26、解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线四解答题（共 3 小题，满分 24 分，每小题 8 分）18【分析】（1）根据选修 C 的人数和所占的比例可以求得本次抽样调查的人数；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据可以求得选修 E 和 A 的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有多少人【解答】解：（1）抽样调查的学生有：1224%50（人），即抽样调查的学生有 50 人；（2）选修 E 的人数为：5010%5（人），选修 A 的人数为：507129517（人），补全的
27、条形统计图如右图所示；（3）850 289（人），答：该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有 289 人【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答19【分析】根据题意，可设利润为 W总利润（售价成本）数量，则有 W（60+x50）（80025x）（1）令 W10800，解出 x 即可（2）利用二次函数的顶点公式即可以求出最值，即可以进行判断【解答】解：设这次销售中获得利润为 W，依题意得，W（60+x50 ）（80025 x），整理，得 W25x 2+550x+8000（1）令 W10800 得1080025x 2+550x+8
28、000，整理得，x 222x +1120解得，x 18；x 214售价不超过 70 元x 214（不合题意，舍去）此时售价为：60+868 元故这批产品的售价每件应提高 8 元（2）由题意，W25x 2+550x+8000a250由顶点公式 x 11，当 x11 时，售价为 60+117170x11，当 x10 有最大利润，此时利润 W2510 2+55010+800011000此时定价为：60+1070 元故这批产品售价每件应定为 70 元【点评】此题主要考查的是二次函数的最值问题，此题给给考生设置了一个陷进，求最值时，当 x11，已经不符合题意中售价不能超过 70而售价是 按 1 元增加的
29、，所以只能取离对称轴最近的数 x10故在做题时要注意审题20【分析】（1）将 A 点的坐标代入反比例函数 y 求得 k 的值，然后将 A，C 坐标代入直线解析式解答即可；（2）把 x6 代入反比例函数解析式求得相应的 y 的值，即得点 B 的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可；（3）使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意 D 的坐标即可【解答】解：（1）把点 A（3，4）代入 y （x0），得kxy 3412，故该反比例函数解析式为：y 把 A（3，4），C（6，0）代入 ymx +n 中，可得： ，解得： ，所以直线 AC 的解析式为：y x+8；（2）
30、点 C（6，0），BCx 轴，把 x6 代入反比例函数 y ，得y 2则 B（6，2）所以ABC 的面积 ；（3） 如图，当四边形 ABCD 为平行四边形时，AD BC 且 ADBCA（3，4）、B（6，2）、C （6，0），点 D 的横坐标为 3，y Ay Dy By C 即 4y D20，故 yD2所以 D（3，2）如图，当四边形 ACBD为平行四边形时，AD CB 且 ADCBA（3，4）、B（6，2）、C （6，0），点 D 的横坐标为 3，y D yAy By C 即 yD420，故 yD 6所以 D（3，6）如图，当四边形 ACDB 为平行四边形时，AC BD且 ACBDA（3，4
31、）、B（6，2）、C （6，0），x D x Bx Cx A 即 xD 663，故 xD 9yD y By C yA 即 yD 2 04，故 yD 2所以 D（9，2）综上所述，符合条件的点 D 的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，2）【点评】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答（3）题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想五解答题（共 2 小题，满分 18 分，每小题 9 分）21【分析】（1）由数形结合的思想，从图，图 分别可以看出，点 P 在运动过程中，PAB面积为 y 所对应的路程 x 的值，由此可知矩形的宽和长分
32、别为 6 和 12，即可求出矩形 ABCD 的面积；（2）分别求出 AP，PB ，BQ，QC 等线段的长度，在 RtAPB，RtQPB，Rt DQC 中分别通过勾股定理求出 PD，PQ，DQ 的长度，通过勾股定理的逆定理即可证出DPQ 是直角三角形；（3）用反证法，假设存在这样的时刻，那么过切点的半径 QM 与半径 PQ 相等，通过相似求出QM 的长度，再通过勾股定理构造等式，结果无解，故不存在这样的时刻【解答】解：（1）从图可看出，当点 P 在 AB 上运动时，PAB 面积为 0，对应图中的路程 x 为 0 至 6；点 P 在 BC 上运动时，PAB 面积逐渐增大，对应图中的路程 x 为 6
33、 至 18；点 P 在 CD 上运动时，PAB 面积不变，对应图 中的路程 x 为 18 至 24；当点 P 在 DA 上运动时，PAB 面积逐渐减小至 0，对应图 中的路程 x 为 24 至 36；由此可知矩形的宽和长分别为 6 和 12，S 矩形 ABCD61272；（2）设运动时间为 t，当 t 时，AP ，BP6 ，BQ 3，CQ1239，AD12，DC6，在 RtADP 中，DP2AD 2+AP2 ，在 Rt PBQ 中，PQ2PB 2+BQ2 ，在 Rt PQC 中，DQ2DC 2+CQ2117，在DPQ 中，DQ 2+PQ2DP 2，DPQ 是直角三角形；（3）不存在，理由如下：
34、假设存在，如图，连接 AC，过点 Q 作 QM 垂直于 AC，垂足为点 M，则 QM PQ，在 Rt ABC 中，AC 6 ，QMCABC90，QMC ABC ，QMCABC， ，即 ，QM ，在 Rt BPQ 中，PQ2BP 2+BQ2（6t） 2+（2t） 2，又QM 2（ ） 2，（6t） 2+（ 2t） 2（ ） 2，整理，得 7t24t+120，b 24ac3200，此方程无解，不存在这样的时刻，使以 Q 为圆心，PQ 的长为半径的圆与矩形 ABCD 的对角线 AC 相切，【点评】本题考查了数形结合的思想，勾股定理及其逆定理的运用，反证法的运用等，解题关键是要掌握反证法的解题方法22
35、【分析】（1）根据直角三角形 30 度角的性质可得：ABC 是“半生三角形”；（2）延长 AE 交 BC 于 G，由平行线的性质得出AEDCDF，BFGF ，再由已知得出CDFDCB，证出 DF CF，由平行线得出 CGGF，得出 BFGF CG，因此DFCF2GF2BF ，得出 ，即可得出结论；（3）分四种情况：当 时，当 时，当 时， 当 时，求出BC3，分别求出 AB 的长，由勾股定理求出 AC 即可【解答】（1）解：RtACB 中，ACB60，ABC90，CAB30，BC AC，即 ，ABC 是半生三角形；故答案为：是；（2）证明：延长 AE 交 BC 于 G，如图所示：DFAE，D
36、是 AB 的中点，AEDCDF，BF GF，AEDDCB，CDFDCB，DFCF，DFAE，E 是 CD 的中点，CGGF，BFGF CG，DFCF2GF2BF ， ，又B90，BDF 是“半生三角形”；（3）解：延长 AE 交 BC 于 G，如图所示分四种情况：当 时，BF1，GFCGBF1，BD 2 ，AB2BD 4，BC3，AC 5；当 时，DF2BF2，BD ，AB2BD 2 ，BC3，B90，AC ；当 时，BD BF ，AB2BD 1，BC3，B90，AC ；当 时，设 BDx，则 DF2x ，由勾股定理得：（2x） 2x 21 2，解得：x ，AB2BD ，BC3，B90，AC
37、；综上所述：若BDF 是“半生三角形”，且 BF1，线段 AC 的长为 5 或 或 或 【点评】本题是三角形综合题目，考查了“半生三角形”的性质与判定、勾股定理、三角形中位线定理、平行线的性质、分类讨论思想的应用等知识；本题综合性强，有一定难度六解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分）23【分析】（1）把 A 点坐标代入可得到关于 a 的方程，可求得 a 的值；（2）由OABPAN 可用 m 表示出 PN，且可表示出 PM，由条件可得到关于 m 的方程，则可求得 m 的值；（3）在 y 轴上取一点 Q，使 ，可证得P 2OB QOP2，则可求得 Q 点坐标，则可把AP2+ BP
38、2 化为 AP2+QP2，利用三角形三边关系可知当 A、P 2、Q 三点在一条线上时有最小值，则可求得答案【解答】解：（1）A（4，0）在抛物线上，016a+4（a+2 ）+2，解得 a ；（2）由（1）可知抛物线解析式为 y x2+ x+2，令 x0 可得 y2，OB2，OPm，AP4m，PMx 轴，OABPAN， ，即 ，PN （4 m），M 在抛物线上，PM m2+ m+2，PN：MN1：3，PN：PM1 ：4， m2+ m+24 （4m），解得 m3 或 m4（舍去）；（3）在 y 轴上取一点 Q，使 ，如图，由（2）可知 P1（3，0），且 OB2， ，且P 2OBQOP 2，P 2OB QOP2， ，当 Q（0， ）时 QP2 BP2，AP 2+ BP2AP 2+QP2AQ，当 A、P 2、Q 三点在一条线上时， AP2+QP2 有最小值，A（4，0），Q（0， ），AQ ，即 AP2+ BP2 的最小值为 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形三边关系等知识在（2）中用 m 分别表示出 PN 和 PM 是解题的关键，在（3）确定出取得最小值时的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是（3）中构造三角形相似，难度较大