1、江苏省南通市 2019 届高三下学期阶段模拟测试数学试题2019.5一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在答 题 卡 的 指 定 位 置 上 1. 已知集合 2|xA 0， Zx，则集合 A 中所有元 素之和为 2. 设复数 ，若 为实数，则 为 .12,()ziiR12zx3. 已知函数 为奇函数，则 ；2,()0xfabab4. 用系统抽样方法从 名学生中抽取容量为 的样本，将 名学生随机地编号为42040，按编号顺序平均分为 个组若第 组中用抽签的方法确定抽出的号码1401
2、为 ，则第 组抽取的号码为 25. 某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则他等待的时间短于分钟的概率为 56. 在锐角 中， 的对边长分别是 ，则 的取值范围是 ABC2,BC,bc 7. 已知 P ABC 是正三棱锥，其外接球 O 的表面积为 16，且APOBPOCPO30 ，则三棱锥的体积为 8. 在平面直角坐标系 中，双曲线 的一条渐近线与准线的交点到另一条渐xy214yx近线的距离为 9. 已知函数 ， ，则 的解集是 2()|fxR2()()ffx10. 设 Sn是等比数列a n的前 n 项和，若满足 a4 + 3a11= 0，则 = 214S11. 若函数 是
3、偶函数，则实数 a 的值为 ()si3si6fxx12. 如图，已知正方形 的边长是 2， 是 的中点，ABCDECD是以 为直径的半圆上任意一点，则 的PABP取值范围是 A BCDPE（第 12 题）EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 13. 在平面直角坐标系 中，圆 ： ，直线 ，过直线 上一xOy21xy:l30xayl点 作圆 O 的切线，切点为 ，且 ，则正实数 的取值范围是 Q,PN3Q14. 已知函数 f(x)满足 f(x)2f ，当 x1,3时，f(x)ln x若在区间 上，函数 g(x)(1x) 13，3f(x)ax 恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是
4、二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内15(本小题满分 14 分)已知ABC 中， , , , |10AC|5DBA10CDA（1）求 ；B（2）设 ，且已知 ， ，求 4cos()x2xsinx16(本小题满分 14 分)如图，在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4, 11BC=CD=2, AA =2, E、E 分别是棱 AD、AA 的中点 . 1 1（1）设 F 是棱 AB 的中点,证明：直线 EE /平面 FCC ；（2）证明:平面 D1AC平面 BB1C
5、1C.BAO北东西北京路北京路天津路深圳路南上海路开发区第 17 题图17(本小题满分 14 分)如图，某市市区有一条过市中心 O南北走向的北京路，为了连接开发区，市政府决定修建两条公路：延伸从市中心 出发北偏西 方向的深圳路至 B点；在市中心正南60方向北京路上选取 A点，在 ,B间修建天津路 （1 ）如果在 点处看市中心 和 点视角的正弦值为 35，求在 点处看市中心 O和 A点视角的余弦值；（2 ）如果 区域作为保护区，已知保护区AOB的面积为 km2， 点距市中心的距离为 3km，1534求天津路的长度；（3 ）如果设计要求市中心 到天津路 AB段的距离为 4km，且天津路 最短，请你
6、确定 ,两点的位置18(本小题满分 16 分)设圆 C1： ，动圆 C2： ，206320xyxy2(8)4120xyaxya（1 ）求证：圆 C1、圆 C2 相交于两个定点；（2 ）设点 P 是椭圆 上的点，过点 P 作圆 C1 的一条切线，切点为 T1，过点14P 作圆 C2 的一条切线，切点为 T2，问：是否存在点 P，使无穷多个圆 C2，满足PT1PT 2？如果存在，求出所有这样的点 P；如果不存在，说明理由19(本小题满分 16 分)从数列 na中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列 na的一个子数列设数列 na是一个首项为 1a、公差为 d(0)的无穷等差数列（
7、即项数有无限项） （1 ）若 1a， 2， 5成等比数列，求其公比 q（2 ）若 7d，从数列 na中取出第 2 项、第 6 项作为一个等比数列的第 1 项、第 2项，试问该数列是否为 的无穷等比子数列，请说明理由（3 ）若 1a，从数列 n中取出第 1 项、第 m(2) 项（设 mat）作为一个等比数列的第 1 项、第 2 项，试问当且仅当 t为何值时，该数列为 n的无穷等比子数列，请说明理 由20(本小题满分 16 分)对于正整数 ，存在唯一一对整数 ，使得 .特别地，当,abqr且,0abqr时，称 能整除 ，记作 ，已知 .0r|ba1,23A（1）存在 ，使得 ，试求 的值；qA20
8、19(09)r,r（2）求证：不存在这样的函数 ，使得对任意的整数 ，若:,f12,xA，则 ；12|,3x12()x（3）若 指集合 中元素的个数） ，且存在()2BAcardcrB，则称 为“和谐集”.求最大的 ，使含 的集合 的有,|bmAA12 个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.江苏省南通市 2019 届高三下学期阶段模拟测试数学（附加题）2019.521选做题 本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤每小题 10 分，计 20分请把答案写在答题卡的指定区域内A(选修 42：矩阵与变换)在平面直角坐
9、标系 中，直线 在矩阵 对应的变换作用下得到xOy20xy14aMb直线 ，求实数 的值.:40m,abB(选修 44：坐标系与参数方程)已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，曲线 C1：与曲线 C2： （tR ）交于 A、B 两点求证：OAOB cos()224,xyC(选修 45：不等式证明选讲)设 ， ， ， ，且 ，求 的值xyzR221xyz4329xyzxyz必做题 第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内22(本小题满分 10 分) 如图，在长方体 1ABCD中，已知 4AB， 3D， 12A，E，F
10、分别是棱AB，BC 上的点，且 EF（1）求异面直线 1与 所成角的余弦值；（2）试在面 ABC上确定一点 G，使 平面 123 (本小题满分 10 分)如图，过抛物线 2:4Cyx上一点 P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点 12(,)(,)AxB（） 求 y的值；（） 若 120,，求 PAB面积的最大值。ADECBD1 C1B1A1FG（第 22 题图）yABPO xEA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1江苏省南通市 2019 届高三下学期阶段模拟测试参考答案2019.5一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ，
11、 计 70 分 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在答 题 卡 的 指 定 位 置 上 1. 2 2. 3. 4. 391 5. 6. 7. 8. 012(,)393459. 10. 11. 12. 13. 14. 0(0)， 765,2,)(1e，6ln 3二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内15(本小题满分 14 分)解（1）由已知 ，即 ，DBA1515AD ，2 分|,且| ， ， 3 分0CC在 Rt BCD 中， ,22又 , ， 5 分22196C 6 分|14AB（2）在A
12、BC 中， ， 7 分2cosA3即 ， ， 9 分s()()35xxsin()5x而 ， 10 分 0,26则 ， 12 分13sin()i()si2x ， 14 分3i(5x4n1016(本小题满分 14 分)解：（1）在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，取 A1B1 的中点 F1，11连接 A1D，C 1F1，CF 1，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD，所以 CD A1F1，A 1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D，=/ 又因为 E、E 分别是棱 AD、AA 的中点，所以 EE1/A1D，1EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 所以 CF1/EE1
13、，又因为 平面 FCC ， 平面 FCC ，1E1CF1所以直线 EE /平面 FCC .（2）连接 AC,在直棱柱中，CC 1平面 ABCD,AC 平面 ABCD,所以 CC1AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2,F 是棱 AB 的中点 ,所以 CF=CB=BF， BCF 为正三角形，,ACF 为等腰三角形，且60BC 30ACF所以 ACBC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C,所以 AC平面 BB1C1C,而 平面 D1AC,所以平面 D1AC平面 BB1C1C.17(本小题满分 14 分)解：(1)因为 , ，3OA2B所以 1si
14、n2S3 分53i34解得 OB由余弦定理可得 ，222cos3AOBA925149所以 (km) 6 分7B（2 ）因为 ，所以 8 分sin2ABA83OBA2 2cos3OB12 分 83AB所以 ，所以 （等号成立 =8）28 3 OAB答：当 最短时， 14 分,8距 离 市 中 心 为 公 里 .18(本小题满分 16 分)解（1）将方程 化为22()4120 xyaya，令 得 或261xy 61204xy4xy，所以圆 过定点 和 ，4 分42C(4,)6,BAO北东西北京路北京路天津路深圳路南上海路开发区将 代入 ，左边 右边42xy2106320yx164023故点 在圆
15、上，同理可得点 也在圆 上，(,)C(,4)C所以圆 、圆 相交于两个定点 和 ；6 分12 ,（2 ）设 ，则 ，8 分0,Pxy21001632Txyxy， 10 分(8)Taa即 ，整理得1200063()41（*）12 分0()(5xy存在无穷多个圆 ，满足 的充要条件为 有解，解此方程组得2C12PT204xy，14 分0xy0654故存在点 P，使无穷多个圆 ，满足 ，点 P 的坐标 16 分2C12T64(2,0),)5或 19(本小题满分 16 分)解：（1）由题设，得 215a，即 211()(4)add，得 21ad，又 0，于是2da，故其公比 3q （4 分）（2 ）设
16、等比数列为 mb，其公比 623q， 11238()mmbaq， （6 分）由题设 1()()ndn假设数列 m为 na的无穷等比子数列，则对任意自然数 (3) ，都存在 *nN，使nab，即 13(6)8()2d，得 138()62m， （8 分）当 5时， 5*96N，与假设矛盾，故该数列不为 na的无穷等比子数列 （10 分）（3 ） 设 的无穷等比子数列为 rb，其公比 21mabt（ 1） ，得 1rbt，由题设，在等差数列 na中， 1mtd， ()n，因为数列 rb为 的无穷等比子数列，所以对任意自然数 r3 ，都存在 *nN，使na，即 11()rtnm，得123()(1)(r
17、 rtnmttm， 由于上式对任意大于等于 3的正整数 都成立，且 n， 均为正整数，可知 231rtt 必为正整数，又 0d，故 t是大于 1 的正整数 （13 分）再证明：若 是大于 1 的正整数，则数列 na存在无穷等比子数列即证明无穷等比数列 rb中的每一项均为数列 中的项在等比数列 r中， 1rt，在等差数列 na中， 1matd， 1()ntam， 若 rb为数列 n中的第 k项，则由 rkb，得 1rttk，整理得123()()(rtkt，来源:由 t， m均为正整数，得 k也为正整数，故无穷等比数列 rb中的每一项均为数列 na中的项，得证综上，当且仅当 t是大于 1 的正整数
18、时，数列 存在无穷等比子数列 （15 分）20(本小题满分 16 分)解：（1）解：因为 ，所以 . 3 分2092,9qr（2 ）证明：假设存在这样的函数 ，使得对任意的整数 ，若:1,3fA,xy，则 . 1|,3x12()fx设 ，由已知 .()2,fabab由于 ，所以 . 6 分|(3)1()2ff不妨令 ，这里 且 ， 同理， ,(3),1,fc,ca(4),()ffc且因为 只有三个元素，所以 . 即 ，但 ，与已知矛盾.1,2(4)f()f|1|3因此，假设不成立，即不存在这样的函数 ，使得对任意的整数 ，:1,23A12,xA若 ，则 . 9 分12|,3x12()fxf（3
19、 ）解：当 时，记 ，记8m7|,6,(7)|,34MiNi，则 ，显然对任意 ，不存在 ，使得MPN()12cardP16ij3n成立.故 是非 “和谐集” ，此时，7(jni.8,910,34,579,3同理，当 时，存在含 的集合 的有 12 个元素的子集为“和谐集”.2mmA因此 . 12 分7下面证明：含 7 的任意集合 的有 12 个元素的子集为“和谐集”.A设 .121,Ba若 1，14，21 都不属于集合 ，构造集合 ，B123,486,15,02B./459,81,23,579,B以上 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑 的情况，也即 中 51234B/B/B个元素全都是 的
20、元素， 中剩下 6 个元素必须从 这 5 个集合中选取 61234,个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合 中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含 7 的任意集合 的有 12 个元素的子集 为“和谐集” ，即 的最大值为ABm7.16 分数学（附加题）参考答案21选做题 本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤每小题 10 分，计 20分请把答案写在答题卡的指定区域内A(选修 42：矩阵与变换)解析：B(选修 44：坐标系与参数方程)解：曲线 1C的直角坐标方程 4xy，曲线 2C的直角坐标方程是抛物
21、线 24yx，4 分设 1(,)Axy， 2(,)B，将这两个方程联立，消去 x，得 214606y， 421y -6 分01)()4( 21221 yyx-8 分 ， OBA -10 分0OABC(选修 45：不等式证明选讲)由柯西不等式可得， ，2222()(43)(43)9xyzxyz则 ，又 ，29(3)xyz9所以 ，代入 ，解得 ， ， ，4221xyz2x9y2z所以 10 分9xyz必做题 第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内22(本小题满分 10 分) 解：解：（1）以 D为原点， A， C， 1D分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正
22、向建立空间直角坐标系，则有 (0,)， 1(,02)， 1(,4)， (3,0)E， (2,4)F，于是 13EC， F3 分设 与 D所成角为 ，则1222(3)1(4)1cos 4|EF异面直线 1C与 D所成角的余弦值为 145 分（2）因点 G在平面 1BA上，故可设 )2,(yxG),(yx， 1(2,)F， ,0EF7 分由10,DGEF得 ,04yx解得 .32,yx故当点 在面 1CBA上，且到 1DA， 1C距离均为 时， DG平面 EF110 分23 (本小题满分 10 分)解：因为 1,Axy， 2(,)By在抛物线 :24yx上，所以221(,)(,)4yABy， PAk1221144，同理 PBy，依题有 PABk，因为 12，所以 124y 4 分由知 14ABky，设 的方程为22111, 044yyyx即，P到 的距离为2134yd，211214yAByy，xzyADECBD1 C1B1A1FG所以2113412PABySy= 21142y11()64yy， 8 分令 2t，由 24， 120,y ，可知 2t 3164PABSt，因为 3PABSt为偶函数，只考虑 t 的情况，记 3()16ft， 2()63ft，故 ()ft在 0， 是单调增函数，故的最大值为 (2)4f，故 PABS的最大值为 610 分