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江苏省南通市2019届高考模拟测试数学试题(含答案)

1、江苏省南通市 2019 届高三下学期阶段模拟测试数学试题2019.5一 、 填 空 题 : 本 大 题 共 14 小 题 , 每 小 题 5 分 , 计 70 分 不 需 写 出 解 答 过 程 , 请 把 答 案 写 在答 题 卡 的 指 定 位 置 上 1. 已知集合 2|xA 0, Zx,则集合 A 中所有元 素之和为 2. 设复数 ,若 为实数,则 为 .12,()ziiR12zx3. 已知函数 为奇函数,则 ;2,()0xfabab4. 用系统抽样方法从 名学生中抽取容量为 的样本,将 名学生随机地编号为42040,按编号顺序平均分为 个组若第 组中用抽签的方法确定抽出的号码1401

2、为 ,则第 组抽取的号码为 25. 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想收听电台整点报时,则他等待的时间短于分钟的概率为 56. 在锐角 中, 的对边长分别是 ,则 的取值范围是 ABC2,BC,bc 7. 已知 P ABC 是正三棱锥,其外接球 O 的表面积为 16,且APOBPOCPO30 ,则三棱锥的体积为 8. 在平面直角坐标系 中,双曲线 的一条渐近线与准线的交点到另一条渐xy214yx近线的距离为 9. 已知函数 , ,则 的解集是 2()|fxR2()()ffx10. 设 Sn是等比数列a n的前 n 项和,若满足 a4 + 3a11= 0,则 = 214S11. 若函数 是

3、偶函数,则实数 a 的值为 ()si3si6fxx12. 如图,已知正方形 的边长是 2, 是 的中点,ABCDECD是以 为直径的半圆上任意一点,则 的PABP取值范围是 A BCDPE(第 12 题)EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 13. 在平面直角坐标系 中,圆 : ,直线 ,过直线 上一xOy21xy:l30xayl点 作圆 O 的切线,切点为 ,且 ,则正实数 的取值范围是 Q,PN3Q14. 已知函数 f(x)满足 f(x)2f ,当 x1,3时,f(x)ln x若在区间 上,函数 g(x)(1x) 13,3f(x)ax 恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是

4、二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内15(本小题满分 14 分)已知ABC 中, , , , |10AC|5DBA10CDA(1)求 ;B(2)设 ,且已知 , ,求 4cos()x2xsinx16(本小题满分 14 分)如图,在直四棱柱 ABCD-A B C D 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB/CD,AB=4, 11BC=CD=2, AA =2, E、E 分别是棱 AD、AA 的中点 . 1 1(1)设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE /平面 FCC ;(2)证明:平面 D1AC平面 BB1C

5、1C.BAO北东西北京路北京路天津路深圳路南上海路开发区第 17 题图17(本小题满分 14 分)如图,某市市区有一条过市中心 O南北走向的北京路,为了连接开发区,市政府决定修建两条公路:延伸从市中心 出发北偏西 方向的深圳路至 B点;在市中心正南60方向北京路上选取 A点,在 ,B间修建天津路 (1 )如果在 点处看市中心 和 点视角的正弦值为 35,求在 点处看市中心 O和 A点视角的余弦值;(2 )如果 区域作为保护区,已知保护区AOB的面积为 km2, 点距市中心的距离为 3km,1534求天津路的长度;(3 )如果设计要求市中心 到天津路 AB段的距离为 4km,且天津路 最短,请你

6、确定 ,两点的位置18(本小题满分 16 分)设圆 C1: ,动圆 C2: ,206320xyxy2(8)4120xyaxya(1 )求证:圆 C1、圆 C2 相交于两个定点;(2 )设点 P 是椭圆 上的点,过点 P 作圆 C1 的一条切线,切点为 T1,过点14P 作圆 C2 的一条切线,切点为 T2,问:是否存在点 P,使无穷多个圆 C2,满足PT1PT 2?如果存在,求出所有这样的点 P;如果不存在,说明理由19(本小题满分 16 分)从数列 na中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列 na的一个子数列设数列 na是一个首项为 1a、公差为 d(0)的无穷等差数列(

7、即项数有无限项) (1 )若 1a, 2, 5成等比数列,求其公比 q(2 )若 7d,从数列 na中取出第 2 项、第 6 项作为一个等比数列的第 1 项、第 2项,试问该数列是否为 的无穷等比子数列,请说明理由(3 )若 1a,从数列 n中取出第 1 项、第 m(2) 项(设 mat)作为一个等比数列的第 1 项、第 2 项,试问当且仅当 t为何值时,该数列为 n的无穷等比子数列,请说明理 由20(本小题满分 16 分)对于正整数 ,存在唯一一对整数 ,使得 .特别地,当,abqr且,0abqr时,称 能整除 ,记作 ,已知 .0r|ba1,23A(1)存在 ,使得 ,试求 的值;qA20

8、19(09)r,r(2)求证:不存在这样的函数 ,使得对任意的整数 ,若:,f12,xA,则 ;12|,3x12()x(3)若 指集合 中元素的个数) ,且存在()2BAcardcrB,则称 为“和谐集”.求最大的 ,使含 的集合 的有,|bmAA12 个元素的任意子集为“和谐集”,并说明理由.江苏省南通市 2019 届高三下学期阶段模拟测试数学(附加题)2019.521选做题 本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题作答若多做,则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤每小题 10 分,计 20分请把答案写在答题卡的指定区域内A(选修 42:矩阵与变换)在平面直角坐

9、标系 中,直线 在矩阵 对应的变换作用下得到xOy20xy14aMb直线 ,求实数 的值.:40m,abB(选修 44:坐标系与参数方程)已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C1:与曲线 C2: (tR )交于 A、B 两点求证:OAOB cos()224,xyC(选修 45:不等式证明选讲)设 , , , ,且 ,求 的值xyzR221xyz4329xyzxyz必做题 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内22(本小题满分 10 分) 如图,在长方体 1ABCD中,已知 4AB, 3D, 12A,E,F

10、分别是棱AB,BC 上的点,且 EF(1)求异面直线 1与 所成角的余弦值;(2)试在面 ABC上确定一点 G,使 平面 123 (本小题满分 10 分)如图,过抛物线 2:4Cyx上一点 P(1,-2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于点 12(,)(,)AxB() 求 y的值;() 若 120,,求 PAB面积的最大值。ADECBD1 C1B1A1FG(第 22 题图)yABPO xEA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1江苏省南通市 2019 届高三下学期阶段模拟测试参考答案2019.5一 、 填 空 题 : 本 大 题 共 14 小 题 , 每 小 题 5 分 ,

11、 计 70 分 不 需 写 出 解 答 过 程 , 请 把 答 案 写 在答 题 卡 的 指 定 位 置 上 1. 2 2. 3. 4. 391 5. 6. 7. 8. 012(,)393459. 10. 11. 12. 13. 14. 0(0), 765,2,)(1e,6ln 3二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内15(本小题满分 14 分)解(1)由已知 ,即 ,DBA1515AD ,2 分|,且| , , 3 分0CC在 Rt BCD 中, ,22又 , , 5 分22196C 6 分|14AB(2)在A

12、BC 中, , 7 分2cosA3即 , , 9 分s()()35xxsin()5x而 , 10 分 0,26则 , 12 分13sin()i()si2x , 14 分3i(5x4n1016(本小题满分 14 分)解:(1)在直四棱柱 ABCD-A B C D 中,取 A1B1 的中点 F1,11连接 A1D,C 1F1,CF 1,因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD,所以 CD A1F1,A 1F1CD 为平行四边形,所以 CF1/A1D,=/ 又因为 E、E 分别是棱 AD、AA 的中点,所以 EE1/A1D,1EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 所以 CF1/EE1

13、,又因为 平面 FCC , 平面 FCC ,1E1CF1所以直线 EE /平面 FCC .(2)连接 AC,在直棱柱中,CC 1平面 ABCD,AC 平面 ABCD,所以 CC1AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2,F 是棱 AB 的中点 ,所以 CF=CB=BF, BCF 为正三角形,,ACF 为等腰三角形,且60BC 30ACF所以 ACBC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C,所以 AC平面 BB1C1C,而 平面 D1AC,所以平面 D1AC平面 BB1C1C.17(本小题满分 14 分)解:(1)因为 , ,3OA2B所以 1si

14、n2S3 分53i34解得 OB由余弦定理可得 ,222cos3AOBA925149所以 (km) 6 分7B(2 )因为 ,所以 8 分sin2ABA83OBA2 2cos3OB12 分 83AB所以 ,所以 (等号成立 =8)28 3 OAB答:当 最短时, 14 分,8距 离 市 中 心 为 公 里 .18(本小题满分 16 分)解(1)将方程 化为22()4120 xyaya,令 得 或261xy 61204xy4xy,所以圆 过定点 和 ,4 分42C(4,)6,BAO北东西北京路北京路天津路深圳路南上海路开发区将 代入 ,左边 右边42xy2106320yx164023故点 在圆

15、上,同理可得点 也在圆 上,(,)C(,4)C所以圆 、圆 相交于两个定点 和 ;6 分12 ,(2 )设 ,则 ,8 分0,Pxy21001632Txyxy, 10 分(8)Taa即 ,整理得1200063()41(*)12 分0()(5xy存在无穷多个圆 ,满足 的充要条件为 有解,解此方程组得2C12PT204xy,14 分0xy0654故存在点 P,使无穷多个圆 ,满足 ,点 P 的坐标 16 分2C12T64(2,0),)5或 19(本小题满分 16 分)解:(1)由题设,得 215a,即 211()(4)add,得 21ad,又 0,于是2da,故其公比 3q (4 分)(2 )设

16、等比数列为 mb,其公比 623q, 11238()mmbaq, (6 分)由题设 1()()ndn假设数列 m为 na的无穷等比子数列,则对任意自然数 (3) ,都存在 *nN,使nab,即 13(6)8()2d,得 138()62m, (8 分)当 5时, 5*96N,与假设矛盾,故该数列不为 na的无穷等比子数列 (10 分)(3 ) 设 的无穷等比子数列为 rb,其公比 21mabt( 1) ,得 1rbt,由题设,在等差数列 na中, 1mtd, ()n,因为数列 rb为 的无穷等比子数列,所以对任意自然数 r3 ,都存在 *nN,使na,即 11()rtnm,得123()(1)(r

17、 rtnmttm, 由于上式对任意大于等于 3的正整数 都成立,且 n, 均为正整数,可知 231rtt 必为正整数,又 0d,故 t是大于 1 的正整数 (13 分)再证明:若 是大于 1 的正整数,则数列 na存在无穷等比子数列即证明无穷等比数列 rb中的每一项均为数列 中的项在等比数列 r中, 1rt,在等差数列 na中, 1matd, 1()ntam, 若 rb为数列 n中的第 k项,则由 rkb,得 1rttk,整理得123()()(rtkt,来源:由 t, m均为正整数,得 k也为正整数,故无穷等比数列 rb中的每一项均为数列 na中的项,得证综上,当且仅当 t是大于 1 的正整数

18、时,数列 存在无穷等比子数列 (15 分)20(本小题满分 16 分)解:(1)解:因为 ,所以 . 3 分2092,9qr(2 )证明:假设存在这样的函数 ,使得对任意的整数 ,若:1,3fA,xy,则 . 1|,3x12()fx设 ,由已知 .()2,fabab由于 ,所以 . 6 分|(3)1()2ff不妨令 ,这里 且 , 同理, ,(3),1,fc,ca(4),()ffc且因为 只有三个元素,所以 . 即 ,但 ,与已知矛盾.1,2(4)f()f|1|3因此,假设不成立,即不存在这样的函数 ,使得对任意的整数 ,:1,23A12,xA若 ,则 . 9 分12|,3x12()fxf(3

19、 )解:当 时,记 ,记8m7|,6,(7)|,34MiNi,则 ,显然对任意 ,不存在 ,使得MPN()12cardP16ij3n成立.故 是非 “和谐集” ,此时,7(jni.8,910,34,579,3同理,当 时,存在含 的集合 的有 12 个元素的子集为“和谐集”.2mmA因此 . 12 分7下面证明:含 7 的任意集合 的有 12 个元素的子集为“和谐集”.A设 .121,Ba若 1,14,21 都不属于集合 ,构造集合 ,B123,486,15,02B./459,81,23,579,B以上 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑 的情况,也即 中 51234B/B/B个元素全都是 的

20、元素, 中剩下 6 个元素必须从 这 5 个集合中选取 61234,个元素,那么至少有一个集合有两个元素被选,即集合 中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述,含 7 的任意集合 的有 12 个元素的子集 为“和谐集” ,即 的最大值为ABm7.16 分数学(附加题)参考答案21选做题 本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题作答若多做,则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤每小题 10 分,计 20分请把答案写在答题卡的指定区域内A(选修 42:矩阵与变换)解析:B(选修 44:坐标系与参数方程)解:曲线 1C的直角坐标方程 4xy,曲线 2C的直角坐标方程是抛物

21、线 24yx,4 分设 1(,)Axy, 2(,)B,将这两个方程联立,消去 x,得 214606y, 421y -6 分01)()4( 21221 yyx-8 分 , OBA -10 分0OABC(选修 45:不等式证明选讲)由柯西不等式可得, ,2222()(43)(43)9xyzxyz则 ,又 ,29(3)xyz9所以 ,代入 ,解得 , , ,4221xyz2x9y2z所以 10 分9xyz必做题 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内22(本小题满分 10 分) 解:解:(1)以 D为原点, A, C, 1D分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正

22、向建立空间直角坐标系,则有 (0,), 1(,02), 1(,4), (3,0)E, (2,4)F,于是 13EC, F3 分设 与 D所成角为 ,则1222(3)1(4)1cos 4|EF异面直线 1C与 D所成角的余弦值为 145 分(2)因点 G在平面 1BA上,故可设 )2,(yxG),(yx, 1(2,)F, ,0EF7 分由10,DGEF得 ,04yx解得 .32,yx故当点 在面 1CBA上,且到 1DA, 1C距离均为 时, DG平面 EF110 分23 (本小题满分 10 分)解:因为 1,Axy, 2(,)By在抛物线 :24yx上,所以221(,)(,)4yABy, PAk1221144,同理 PBy,依题有 PABk,因为 12,所以 124y 4 分由知 14ABky,设 的方程为22111, 044yyyx即,P到 的距离为2134yd,211214yAByy,xzyADECBD1 C1B1A1FG所以2113412PABySy= 21142y11()64yy, 8 分令 2t,由 24, 120,y ,可知 2t 3164PABSt,因为 3PABSt为偶函数,只考虑 t 的情况,记 3()16ft, 2()63ft,故 ()ft在 0, 是单调增函数,故的最大值为 (2)4f,故 PABS的最大值为 610 分