1、 年 莆 田 市 初 中 毕 业 班 质 量 检 查 试 卷 数 学 ( 满 分 : 分 考 试 时 间 : 分 钟 ) 注 意 : 本 试 卷 分 为 “ 试 题 ” 和 “ 答 题 卡 ” 两 部 分 答 题 时 请 按 答 题 卡 中 的 “ 注 意 事 项 ” 要 求 认 真 作 答 答 案 填 涂 或 写 在 答 题 卡 上 的 相 应 位 置 一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 小 题 每 小 题 分 共 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 下 列 四 个 数 中 最 大 的 数 是 下 列 几 何 体 中 俯 视
2、 图 为 三 角 形 的 是 A. B. C. D. 下 列 式 子 中 可 以 表 示 为 的 是 ( ) ( ) ( ) 将 一 把 直 尺 和 一 块 含 的 直 角 三 角 板 按 如 图 所 示 的 位 置 放 置 若 A B C E D F 则 的 大 小 为 若 ) 图 象 上 一 点 过 点 作 轴 、 轴 的 平 行 线 分 别 与 函 数 ( ) 的 图 象 交 于 点 、 则 的 面 积 为 三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 小 题 共 分 解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 、 正 确 作 图 或 演 算 步 骤 ( 本 小 题 满
3、 分 分 ) 计 算 : ( 本 小 题 满 分 分 ) 求 证 : 角 的 平 分 线 上 的 点 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等 . ( 本 小 题 满 分 分 ) 化 简 求 值 : 其 中 ( 本 小 题 满 分 分 ) 如 图 中 点 分 别 在 边 上 A B C E D 且 ( ) 求 作 点 使 得 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ( 要 求 : 尺 规 作 图 保 留 痕 迹 不 写 作 法 ) ( ) 连 接 写 出 图 中 经 过 旋 转 可 完 全 重 合 的 两 个 三 角 形 并 指 出 旋 转 中 心 和 旋 转 角 . ( 本 小 题 满 分 分 )
4、 我 市 “ 木 兰 溪 左 岸 绿 道 ” 工 程 已 全 部 建 成 并 投 入 使 用 公 里 的 河 堤 便 道 铺 满 了 彩 色 的 透 水 沥 青 堤 岸 旁 的 各 类 花 草 争 奇 斗 艳 与 木 兰 溪 河 滩 上 的 特 色 花 草 相 映 成 趣 吸 引 着 众 多 市 民 在 此 休 闲 锻 炼 、 散 步 观 光 . 某 小 区 随 机 调 查 了 部 分 居 民 在 一 周 内 前 往 “ 木 兰 溪 左 岸 绿 道 ” 锻 炼 的 次 数 并 制 成 如 图 不 完 整 的 统 计 图 表 . 4! “#$ 0! 3! 1! 2! b% 26% 居 民 前 往
5、 “ 木 兰 溪 左 岸 绿 道 ” 锻 炼 的 次 数 统 计 表 锻 炼 次 数 次 次 次 次 次 及 以 上 人 数 请 你 根 据 统 计 图 表 中 的 信 息 解 答 下 列 问 题 : ( ) ( ) 请 计 算 扇 形 统 计 图 中 “ 次 ” 所 对 应 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 ( ) 若 该 小 区 共 有 名 居 民 根 据 调 查 结 果 估 计 该 小 区 居 民 在 一 周 内 前 往 “ 木 兰 溪 左 岸 绿 道 ” 锻 炼 “ 次 及 以 上 ” 的 人 数 . 数 学 试 题 第 页 ( 共 页 ) ( 本 小 题 满 分 分 ) 如 图 在
6、 中 弦 于 点 连 接 B A O D E C ( ) 求 证 : ( ) 若 求 的 直 径 ( 本 小 题 满 分 分 ) 直 觉 的 误 差 : 有 一 张 的 正 方 形 纸 片 面 积 是 把 这 些 纸 片 按 图 所 示 剪 开 成 四 小 块 其 中 两 块 是 三 角 形 另 外 两 块 是 梯 形 把 剪 出 的 个 小 块 按 图 所 示 重 新 拼 合 这 样 就 得 到 了 一 个 的 长 方 形 面 积 是 面 积 多 了 . 这 是 为 什 么 ? 小 明 给 出 如 下 证 明 : 如 图 可 知 因 此 、 、 三 点 不 共 线 同 理 、 、 三 点 不
7、 共 线 所 以 拼 合 的 长 方 形 内 部 有 空 隙 故 面 积 多 了 ( ) 小 红 给 出 的 证 明 思 路 为 : 以 为 原 点 所 在 的 直 线 为 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 证 明 三 点 不 共 线 请 你 帮 小 红 完 成 她 的 证 明 ( ) 将 的 正 方 形 按 上 述 方 法 剪 开 拼 合 是 否 可 以 拼 合 成 一 个 长 方 形 但 面 积 少 了 ? 如 果 能 求 出 剪 开 的 三 角 形 的 短 边 长 如 果 不 能 说 明 理 由 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 8 8 8 A H D E B F C
8、 G !1 !2 5 5 数 学 试 题 第 页 ( 共 页 ) ( 本 小 题 满 分 分 ) 如 图 在 中 将 绕 点 逆 时 针 旋 转 得 到 旋 转 角 为 ( ) 连 接 交 于 点 ( ) 如 图 当 时 求 证 : ( ) 在 旋 转 过 程 中 问 ( ) 中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立 ? 证 明 你 的 结 论 连 接 当 为 等 腰 直 角 三 角 形 时 求 的 值 . A B C F E D A B C F E D ! 1 2 . ( 本 小 题 满 分 分 ) 函 数 的 图 象 与 轴 交 于 点 ( 点 在 点 的 左 侧 ) 函 数 的 图 象 与
9、 轴 交 于 点 ( 点 在 点 的 左 侧 ) 其 中 . ( ) 求 证 : 函 数 与 的 图 象 交 点 落 在 一 条 定 直 线 上 ( ) 若 求 和 应 满 足 的 关 系 式 ( ) 是 否 存 在 函 数 和 使 得 为 线 段 的 三 等 分 点 ? 若 存 在 求 的 值 若 不 存 在 说 明 理 由 . 数 学 试 题 第 页 ( 共 页 )本 页 无 试 题 可 当 草 稿 用数学参考答案第 页 ( 共 6 页 ) 1 2019 年 莆 田 市 初 中 毕 业 班 质 量 检 查 试 卷 数 学 参 考 答 案 及 评 分 标 准 说明： ( 一 ) 考生的解法与
10、 “ 参考答案 ” 不同时，可参考 “ 答案的评分标准 ” 的精神进行评分 ( 二 ) 如果解答的某一步计算出现错误，这一错误没有改变后续部分的考察目的，可酌情 给分，但原则上不超过后面应得分数的二分之一，如果属严重的概念性错误，就不给分 ( 三 ) 以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步骤应得的累计分数 ( 四 ) 评分的最小单位 1 分，得分和扣分都不能出现小数点 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 1 0 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 4 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1 D 2 C 3 A 4
11、 A 5 D 6 C 7 A 8 B 9 B 1 0 C 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 2 4 分 1 1 3 . 1 1 0 4 1 2 0 2 y x 1 3 6 1 4 3 2 1 5 2 r 1 6 2 4 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 9 小 题 ， 共 8 6 分 解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 、 正 确 作 图 或 演 算 步 骤 1 7 解 ： 原 式 =1 2 + 2 1 6 分 = 2 1 8 分 1 8 已 知 ： 如 图 ， O C 是 A O B 的 平 分 线 ，
12、P 是 O C 上 一 点 ， P E O A ， P F O B ， 垂 足 分 别 为 E 、 F 求 证 ： P E P F 2 分 4 分 证 明 ： O C 是 A O B 的 平 分 线 ， P O E P O F ， P E O A ， P F O B ， P E O P F O ， 6 分 又 O P O P ， P O E P O F ， P E P F 8 分 1 9 解 ： 原 式 = ) 1 )( 1 ( 1 m m m m m 4 分数学参考答案第 页 ( 共 6 页 ) 2 = 1 1 m ， 6 分 当 m =2 时 ， 1 1 m = 3 1 8 分 2 0 (
13、1 ) 4 分 如 图 ， 点 F 为 所 求 作 的 点 5 分 (2 ) A D E 和 F CE ； 旋 转 中 心 为 点 E ， 旋 转 角 为 1 0 0 8 分 2 1 解 ： (1 )1 7 ， 2 0 ； 4 分 (2 ) 扇 形 统 计 图 中 “ 3 次 ” 所 对 应 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 为 3 6 0 2 0 % =7 2 ； 6 分 (3 ) 估 计 该 小 区 居 民 在 一 周 内 前 往 “ 木 兰 溪 左 岸 绿 道 ” 锻 炼 “ 4 次 及 以 上 ” 的 人 数 为 2 0 0 0 50 3 =1 2 0 人 8 分 2 2 (1 )
14、证 明 ： A C B D ， B E C =9 0 ， CB D B CA =9 0 ， 2 分 A O B =2 B CA ， CO D =2 CB D ， A O B CO D =2 ( CB D B CA )=1 8 0 ； 4 分 (2 ) 解 ： 如 图 ， 延 长 B O 交 O 于 点 F ， 连 接 A F 5 分 则 A O B A O F =1 8 0 ， 又 由 (1 ) 得 ： A O B CO D =1 8 0 ， A O F = CO D ， A F = CD =6 ， 8 分 B F 为 O 的 直 径 ， B A F =9 0 ， 在 Rt A B F 中 ，
15、 10 8 6 2 2 B F ， O 的 直 径 为 1 0 1 0 分 2 3 解 ： (1 ) 如 图 ， 以 点 B 为 原 点 ， B C 所 在 的 直 线 为 x 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则 点 A (0 ， 5 ) ， E (5 ， 3 ) ， C (1 3 ， 0 ) ， 1 分数学参考答案第 页 ( 共 6 页 ) 3 法 一 ： 可 得 直 线 A C ： 5 13 5 x y ， 4 分 当 x =5 时 ， 3 13 40 5 5 13 5 y ， 故 点 E 不 在 直 线 A C 上 ， 因 此 A 、 E 、 C 三 点 不 共 线 同
16、理 A 、 G 、 C 三 点 不 共 线 ， 所 以 拼 合 的 长 方 形 内 部 有 空 隙 ， 故 面 积 多 了 1 c m 5 分 法 二 ： 可 得 A C = 194 5 13 2 2 ， A E = 29 2 5 2 2 ， CE = 73 3 8 2 2 ， 4 分 由 于 A E + E C A C ， 故 点 E 不 在 A C 上 ， 因 此 A 、 E 、 C 三 点 不 共 线 同 理 A 、 G 、 C 三 点 不 共 线 ， 所 以 拼 合 的 长 方 形 内 部 有 空 隙 ， 故 面 积 多 了 1 c m 5 分 (2 ) 如 图 ， 设 剪 开 的 三
17、 角 形 的 短 边 长 为 x c m ， 依 题 意 得 ： (1 3 x )(1 3 +1 3 x )=1 3 1 3 1 ， 8 分 解 得 x 1 =5 ， x 2 =3 4 ( 舍 去 ) ， 故 能 将 1 3 c m 1 3 c m 的 正 方 形 做 这 样 的 剪 开 拼 合 ， 可 以 拼 合 成 一 个 8 2 1 长 方 形 ， 但 面 积 少 了 1 c m 1 0 分 2 4 证 明 ： (1 ) 由 旋 转 4 5 ， 可 知 ： A D E = A B C =9 0 ， E A D = CA B =4 5 ， A E = A C ， A D = A B ， C
18、A E 中 ， A CE = A E C =6 7 . 5 ， D A B 中 ， A B D = A D B =6 7 . 5 ， 1 分 F D C = A D B =6 7 . 5 ， F D C = D CF ， CF = D F ， 2 分 在 Rt E D C 中 ， CE D = E D F =2 2 . 5 ， E F = D F ， E F = CF ； 3 分 (2 ) 法 一 ： 过 点 E 作 E G CB 交 B F 延 长 线 于 点 G 4 分 A D = A B ， A D B = A B D ， E D G + A D B = CB F + A B D =9
19、0 ， E D G = CB F ， E G CB ， G = CB F ， E D G = G ， E G = E D ， E D = B C ， E G = B C ， 6 分 E F G = CF B ， F E G F CB ， E F = CF ； 7 分数学参考答案第 页 ( 共 6 页 ) 4 法 二 ： 分 别 过 点 A ， C ， E ， 作 A P B F 于 点 P ， CN B F 于 点 N ， E M B F 交 B F 延 长 线 于 点 M 4 分 证 E M D D P A ， 得 E M = P D ， 证 A P B B NC ， 得 CN = B P
20、， 又 等 腰 A B D 中 ， A P B D ， 得 P D = P B ， 故 E M = CN ， 6 分 故 E M F CNF ， 因 此 E F = CF ； 7 分 法 三 ： 过 点 C 作 CP D F 交 E D 延 长 线 于 点 P ， E P 交 B C 于 点 Q 4 分 由 E D F = B D Q ， E D F = D B C ， 得 B D Q = D B Q ， 则 D Q = B Q ， 又 CP B D ， 得 Q CP = Q B D ， Q P C = Q D B ， 则 Q CP = Q P C ， 可 得 CQ = P Q ， 故 CQ
21、+ Q B = P Q + D Q ， P D = B C = D E ， 6 分 因 此 1 D P E D C F E F ， 即 E F = CF ； 7 分 (3 ) 过 点 A 作 A P B D 于 点 P A B = A D ， P A B = 2 1 D A B = 2 ， P A B + P B A = CB D + P B A =9 0 ， CB D = P A B = 2 2 A B A C A D A E ， E A C = D A B ， A E C A D B ， 2 A D A E B D C E ， A CE = A B D ， CF B = CA B =4 5
22、 ， 9 分数学参考答案第 页 ( 共 6 页 ) 5 当 CD F =9 0 时 ， 如 图 ， CD F 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 CF = 2 D F ， E F = CF ， CF = 2 2 B D ， D F = 2 1 B D ， CD = D F ， CD = 2 1 B D ， 2 t an = C B D t a n = B D C D = 2 1 ； 1 1 分 当 F CD =9 0 时 ， 如 图 ， CD F 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 CF = 2 2 D F ， 过 点 C 作 CG D F 于 点 G E F = CF ， CF =
23、2 2 B D ， D F = B D ， CG D F ， CG = 2 1 D F ， CG = 3 1 B G ， 2 t an = C B G t a n = B G C G = 3 1 1 2 分 综 上 所 述 ： 2 t an = 2 1 或 3 1 2 5 (1 ) 联 立 b bx kx y a ax kx y 2 2 ， 1 分 得 b bx kx a ax kx 2 2 整 理 ， 得 ( a b ) x = b a a b ， x = 1 ， k y x 1 2 分 函 数 y 1 与 y 2 的 图 象 交 点 坐 标 为 ( 1 ， k ) 所 以 该 交 点 落
24、在 直 线 x = 1 上 3 分数学参考答案第 页 ( 共 6 页 ) 6 (2 ) 分 别 令 y 1 =0 ， y 2 =0 ， 得 0 , 0 2 2 b bx kx a ax kx 则 k ak a a x B A 2 4 2 , ， k bk b b x D C 2 4 2 , ， 5 分 A B = k ak a 4 2 ， CD = k bk b 4 2 6 分 A B = CD ， k ak a 4 2 = k bk b 4 2 ， a 2 4 a k = b 2 4 b k 0 ， ( a + b )( a b )=4 k ( a b ) a b ， a b =4 k 且
25、a b 0 8 分 (3 ) 当 点 C 在 点 B 左 侧 ， 则 A C = B C = B D ， A B = CD ， x C x A = x B x C ， 2 x C = x A + x B ， 9 分 k ak a a k ak a a k bk b b 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2 ， a b = bk b 4 2 ， bk b b a 4 ) ( 2 2 ， ( a b ) 又 由 (2 ) 得 a b =4 k ， 0 2 2 ab b a 1 0 分 依 题 意 b 0 ， 得 0 1 ) ( 2 b a b a ， =1 4 = 3 0 ， 不 存 在 实 数
26、 a ， b ， 使 得 B ， C 为 线 段 A D 的 三 等 分 点 1 1 分 当 点 C 在 点 B 右 侧 ， 则 A B = B C = CD x B x A = x C x B ， 2 x B = x A + x C ， 1 2 分 k bk b b k ak a a k ak a a 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2 ， 由 (2 )得 bk b ak a 4 4 2 2 ， 则 b a ak a 4 4 2 ， 又 a b =4 k ， 2 2 2 16 b ab a ab ， ( a b ) ， 整 理 ， 得 ： 0 14 2 2 b ab a 1 3 分 依 题 意 b 0 ， 得 ： 0 1 14 ) ( 2 b a b a 解 得 ： 3 4 7 2 4 14 14 2 b a ， ( a b ) 1 4 分 综 上 所 述 ， 存 在 这 样 的 函 数 y 1 ， y 2 ， 使 得 B ， C 为 线 段 A D 的 三 等 分 点 ， 且 3 4 7 b a ， ( a b )