1、2019 年浙江省温州市瑞安市北龙乡中学中考数学模拟试卷（5 月）一选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）1计算 15（3）的结果等于（ ）A5 B5 C D2某班 5 位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：50、45、36、48、50则这组数据的众数是（ ）A36 B45 C48 D503如图所示的某零件左视图是（ ）A B C D4为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表：每天锻炼时间（分钟）20 40 60 90学生数 2 3 4 1则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是（ ）A众数是 60 B平均数是 21C抽查了 10
2、 个同学 D中位数是 505如图，四边形 ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，若BAC20，则ADC 的度数是（ ）A90 B100 C110 D1306对于命题“若 a2b 2，则 ab”，下面四组关于 a，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）Aa3，b2 Ba3，b2 Ca3，b2 Da2，b37如图，这是某市政道路的交通指示牌BD 的距离为 3m，从 D 点测得指示牌顶端 A 点和底端 C点的仰角分别是 60和 45，则指示牌的高度，即 AC 的长度是（ ）A3 B3 C3 3 D3 38如图，四边形 EFGH 是矩形 ABCD 的内接矩形，且 EF：FG3：1，AB：BC
3、2：1，则tan AHE 的值为（ ）A B C D9已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形中，使 OK 边与AB 边重合，如图所示按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第二次旋转；在这样连续 6 次旋转的过程中，点 B，M 间的距离不可能是（ ）A0.5 B0.6 C0.7 D0.810如图，将边长为 10 的等边三角形 OAB 位于平面直角坐标系第一象限中，OA 落在 x 轴正半轴上，C 是 AB 边上的动点（不与端点 A、
4、B 重合），作 CDOB 于点 D，若点 C、D 都在双曲线y （k 0，x0）上，则 k 的值为（ ）A9 B18 C25 D9二填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）11因式分解：a 39a 12一元二次方程 x25x 60 的解是 13我国古代数学著作増制算法统宗记载“绳索量竿”问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则列出符合题意的方程组是 14如图，在ABC 中，D 为 BC 的中点，以 D 为圆心
5、，BD 长为半径画一弧交 AC 于 E 点，若A60 ，B100，BC2，则扇形 BDE 的面积为 15体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 OA，A 处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图 1）如果曲线 APB 表示的是落点 B 离点 O最远的一条水流（如图 2），水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系式是yx 2+4x+ ，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外16如图，M 是ABC 的 BC 边上的一点，AM 的延长线交ABC 的外接圆于 D，已知：AD12 cm，BDCD6cm，则 DM 的长为 cm三
6、解答题（共 8 小题，满分 80 分）17（10 分）（1）计算（2） 2tan45+（3） 0（ ） 2 ；（2）先化简，再求值：（4ab 38a 2b2）4ab+（2a+b）（2ab），其中 a2，b118（8 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 DC 上的任意一点，BEAG 于点F，DFBE，且交 AG 于点 F（1）求证：ABEDAF；（2）若 EF1，BE 3，求 DF 的长19（8 分）如图，图中出现的角都是直角（1）画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分（给出三种画法）；（2）合（1）中要求的直线有多少条？如果只有三条，请说明理由；如果超过三条，请画出另一种图出
7、来20（8 分）为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为 A，B，C ，D 四个等级，并将结果绘制成图 1 的条形统计图和图 2 扇形统计图，但均不完整请你根据统计图解答下列问题：（1）求参加比赛的学生共有多少名？并补全图 1 的条形统计图（2）在图 2 扇形统计图中，m 的值为 ，表示“D 等级”的扇形的圆心角为 度；（3）组委会决定从本次比赛获得 A 等级的学生中，选出 2 名去参加全市中学生“汉字听写”大赛已知 A 等级学生中男生有 1 名，请用列表法或画树状图法求出所选 2 名学生恰好是一名男生和一名女生的概率21（10 分
8、）如图所示，在ABC 中，B60，O 是ABC 的外接圆，过点 A 作O 的切线，交 CO 的延长线于点 P，CP 交 O 于点 D（1）求证：APAC；（2）若 AC3，求 PC 的长22（10 分）如图，抛物线 y1a（x1） 2+4 与 x 轴交于 A（1，0）（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）一次函数 y2x +1 的图象与抛物线相交于 A，C 两点，过点 C 作 CB 垂直于 x 轴于点 B，求ABC 的面积23（12 分）某商店购进甲、乙两种零件进行销售已知甲种零件的进货单价比乙种零件的进货单价少 2 元，且用 80 元购进甲种零件与用 100 元购进乙种零件的数量相
9、同（1）求甲、乙两种零件的进货单价；（2）如果该商店购进甲种零件的数量比乙种零件的数量的 3 倍少 5 个，且购进乙种零件的数不超过 25 个，已知甲、乙两种零件的销售单价分别为 12 元和 15 元设购进乙种零件的数量为a（a 为正整数）个，求购进的零件全部售出后所得总利润 P 的最大值（利润售价进价）24（14 分）如图 1，在四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E，在直线 BC 的同侧作一个以CE 为底的等腰CEF，且满足 B+F180，则称三角形 CEF 为四边形 ABCD 的“伴随三角形”（1）如图 1，若CEF 是正方形 ABCD 的“伴随三角形”：连接 AC，则ACF
10、 ；若 CE2BC ，连接 AE 交 CF 于 H，求证：H 是 CF 的中点；（2）如图 2，若CEF 是菱形 ABCD 的“伴随三角形”，B60，M 是线段 AE 的中点，连接 DM、FM，猜想并证明 DM 与 FM 的位置与数量关系2019 年浙江省温州市瑞安市北龙乡中学中考数学模拟试卷（5 月）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1【分析】根据有理数的除法法则计算可得【解答】解：15（3）（153）5，故选：A【点评】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除2【分析】根据众数的定义，
11、找出这组数据中出现次数最多的数，即可求出答案【解答】解：在这组数据 50、45、36、48、50 中，50 出现了 2 次，出现的次数最多，则这组数据的众数是 50，故选：D【点评】此题考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数3【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看是一个矩形，其中间含一个圆，如图所示：故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看到的线画实线4【分析】根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可【解答】解：A、60 出现了 4 次，出现的次数最多，则众数是 60，故 A
12、选项说法正确；B、这组数据的平均数是：（202+403+604+901）1049，故 B 选项说法错误；C、调查的户数是 2+3+4+110，故 C 选项说法正确；D、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（40+60）250，则中位数是50，故 D 选项说法正确；故选：B【点评】此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数5【分析】根据三角形内角和定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题；【解答】解：AB 是直径，ACB90，BAC20，B902070
13、，ADC+B180，ADC110，故选：C【点评】本题考查圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6【分析】说明命题为假命题，即 a、b 的值满足 a2b 2，但 ab 不成立，把四个选项中的 a、b的值分别代入验证即可【解答】解：当 a3，b2 时，a 2b 2，而 ab 成立，故 A 选项不符合题意；当 a3，b2 时，a 2b 2，而 ab 成立，故 B 选项不符合题意；当 a3，b2 时，a 2b 2，但 ab 不成立，故 C 选项符合题意；当 a2，b3 时，a 2b 2 不成立，故 D 选项不符合题意；故选：C【点评】
14、本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立7【分析】直接利用等腰直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出答案【解答】解：由题意可得：CDBDCB45，故 BDBC3m，设 ACx，则 tan60 ，解得：x3 3，故选：D【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键8【分析】先求出AEH 与BFE 相似，再根据其相似比 EF：FG3：1 设出 AE、BF 的长及AB、 BC 的长，求出 的值即可【解答】解：四边形 EFGH 是矩形 ABCD 的内接矩形， EF：FG3：1，AB：BC2：1，H
15、EA+FEB90，FEB +EFB90，HEAEFB，HAEB，RtHAEEBF， ，同理可得，GHDEFB，HGEF，GDHEBF，DHBF，DGEB，设 AB2x，BCx，AE a，BF 3a，则 AHx3a，AEa，tanAHEtanBEF，即 ，解得：x8a，tanAHE 故选：A【点评】此题比较复杂，解答此题的关键是根据题意求出相似三角形的相似比，根据各边之间的关系列出方程解答9【分析】如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点 B，M 间的距离大于等于 2 小于等于 1，由此即可判断【解答】解：如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M
16、的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点 B，M 间的距离大于等于 2 小于等于 1，故选：A【点评】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点 M 的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度10【分析】根据等边三角形的性质表示出 D，C 点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出答案【解答】解：过点 D 作 DEx 轴于点 E，过 C 作 CFx 轴于点 F，如图所示可得：ODE 30BCD30 ，设 OEa，则 OD2a，DE a，BDOB OD102a，BC2BD 204a，ACABBC4a10，AF AC2a5，CF AF （2a5），OF OAAF 152a，点
17、D（a， a），点 C152a， （2a5）点 C、D 都在双曲线 y （k0，x0）上，a a（152a） （2a5），解得：a3 或 a5当 a5 时，DOOB，ACAB，点 C、D 与点 B 重合，不符合题意，a5 舍去点 D（3，3 ），k33 9 故选：A【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点 D、C 的坐标二填空题（共 6 小题，满分 30 分，每小题 5 分）11【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式a（a 29）a（a+3）（a3），故答案为：a（a+3）（a3）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运
18、用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12【分析】方程利用因式分解法求出解即可【解答】解：方程 x25x 60，分解因式得：（x6）（x +1）0，可得 x60 或 x+10，解得：x 16，x 21，故答案为：x 16，x 21【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键13【分析】设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解【解答】解：设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，根据题意得： 故答案为： 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元
19、一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键14【分析】根据三角形内角和定理求出C，根据三角形的外角的性质求出BDE，根据扇形面积公式计算【解答】解：A60，B100，C20，BDDC1，DEDB，DEDC1，DECC20，BDE40，扇形 BDE 的面积 ，故答案为： 【点评】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式 S 扇形 R2 是解题的关键15【分析】求出函数解析式中 y0 时 x 的值，结合 x 0 可得最终的 x 的值，从而得出 OB 的长【解答】解：在 yx 2+4x+ 中，当 y0 时， x 2+4x+ 0，解得
20、 x1 ，x 2 ，x0，x ，即 OB ，圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外，故答案为： 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确函数解析式中两个变量的实际意义16【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系，求出DCBDAC，推出DCMDAC，得出比例式，代入 AD、DC 的值，求出即可【解答】解：BDDC，弧 BD弧 DC，DCBDAC，ADCADC，DMCDCA， ， ，DM 3，故答案为：3【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，解此题的关键是证DCM DAC，难点是求出关于 DM、AD、DC 之间的关系式，题目比
21、较典型，具有代表性三解答题（共 8 小题，满分 80 分）17【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂可以解答本题；（2）根据多项式除以单项式、平方差公式可以解答本题【解答】解：（1）（2） 2tan45+（3） 0（ ） 241+195；（2）（4ab 38a 2b2）4ab+（2a+b）（2ab）b 22ab+4a 2b 24a 22ab，当 a2，b1 时，原式42 222112【点评】本题考查整式的混合运算化简求值、实数的运算、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法18【分析】（1）由正方形的性质可得 ABAD，DABAD
22、C90，由余角的性质可得DAFABE ，由“AAS”可证ABEDAF；（2）由全等三角形的性质可得 AEDF，AFBE3，即可求 DF 的长【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是正方形ABAD ，DABADC90，BEAG ，DFBE，DFGA ，BAE +ABE90， DAF+EAB 90DAFABE，且 ABAD，AFDAEB90ABE DAF（AAS ）（2）ABEDAFAEDF ，AFBE3AEAFEF312DF2【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键19【分析】（1）作矩形的对角线找出中心，然后作出直线即可得解；（2）取
23、AB 的中点 O，过 O 作直线 l2 也能将这个图形分成面积相等的两个部分，并且这样的直线由无数条【解答】解：（1）如图，过 O1O2 的直线将这个图形分成面积相等的两个部分；（2）这样的直线由无数条，可以利用图 1 来画出第四种图形，如图 4，取 AB 的中点 O，过 O 作直线 l2 也能将这个图形分成面积相等的两个部分【点评】本题考查了作图应用与设计作图，正确的作出图形是解题的关键20【分析】（1）根据等级为 A 的人数除以所占的百分比求出总人数，由各等级人数之和等于总人数求出 B 等级人数可补全条形图；（2）根据 D 级的人数求得 D 等级扇形圆心角的度数，由 C 等级人数及总人数可
24、求得 m 的值；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：（1）根据题意得：315%20（人），参赛学生共 20 人，则 B 等级人数 20（3+8+4）5 人补全条形图如下：（2）C 等级的百分比为 100%40% ，即 m40，表示“D 等级”的扇形的圆心角为 360 72，故答案为：40，72（3）列表如下：男 女 女男 （男，女） （男，女）女 （女，男） （女，女）女 （女，男） （女，女）所有等可能的结果有 6 种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有 4 种，则 P（恰好是一名男生和一名女生） 【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图以
25、及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键21【分析】（1）连接 OA，由题意可得 OAP90，因为 B60，所以AOC2B120，因为 OAOC，所以OAC OCA30，可得POCA30，所以 APAC；（2）根据 APAC3，OAP90，P30，可得 OAOC ，OP2 ，所以PCOP+ OC3 【解答】解：（1）如图，连接 OA，过点 A 作O 的切线，交 CO 的延长线于点 P，OAP90，B60，AOC2B120，OAOC，OACOCA30，PAOCOAP 1209030，POCA，APAC，（2）AC3，APAC3，OAP90，P 30，OAOC
26、，OP2 ，PCOP+ OC3 【点评】本题考查圆的切线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形的知识解题的关键是掌握圆的切线的性质22【分析】（1）根据抛物线 y1a（x1） 2+4 与 x 轴交于 A（1，0），可以求得该二次函数的解析式；（2）根据一次函数 y2x +1 的图象与抛物线相交于 A，C 两点，过点 C 作 CB 垂直于 x 轴于点B，可以求得点 C 和点 B 的坐标，从而可以求得ABC 的面积【解答】解：（1）抛物线 y1a（x1） 2+4 与 x 轴交于 A（1，0），0a（11） 2+4，得 a1，y 1（x1） 2+4，即该抛物线所表示的二次函数的表达式是 y1（x1）
27、 2+4；（2）由 ，得 或 ，一次函数 y2x +1 的图象与抛物线相交于 A，C 两点，点 A（1，0），点 C 的坐标为（2，3），过点 C 作 CB 垂直于 x 轴于点 B，点 B 的坐标为（2，0），点 A（1，0），点 C（2 ，3），AB2（1）3，BC3，ABC 的面积是 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答23【分析】（1）设甲种零件的进货单价位 x 元，则乙种零件的进货单价位（x+2）元，根据“用 80 元购
28、进甲种零件与用 100 元购进乙种零件的数量相同”，列出关于 x 的分式方程，解之检验后即可，（2）乙种零件的数量为 a（a 为正整数）个，则甲种零件的数量为（3a5）个，根据“甲、乙两种零件的销售单价分别为 12 元和 15 元”，结合（1）求出的甲乙零件的单价，列出总利润 P关于 a 的一次函数，再根据“乙种零件的数不超过 25 个”，根据一次函数的增减性求最值即可【解答】解：（1）设甲种零件的进货单价位 x 元，则乙种零件的进货单价位（x+2）元，根据题意得： ，解得：x8，经检验：x8 是方程的解且符合题意，x+28+210，答：甲种零件的进货单价位 8 元，则乙种零件的进货单价位 1
29、0 元，（2）乙种零件的数量为 a（a 为正整数）个，则甲种零件的数量为（3a5）个，根据题意得：P（128）（3a5）+（1510）a17a20，a25，又P 随着 a 的增大而增大，当 a25 时 P 最大 405，答：购进的零件全部售出后所得利润得最大值为 405 元【点评】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用和一元一次不等式得应用，解题的关键：正确找出等量关系，列出分式方程和一次函数并利用一次函数的增减性求最值24【分析】（1）连接 AC，由正方形的性质和“伴随三角形”的性质可求ACB FCE45，即可求 ACF 的度数；连接 AE，交 CF 于点 H，设 BCa，CE 2a，由等腰
30、直角三角形的性质可求AC a，EFFC a，由相似三角形的性质可得 ，可得结论；（2）延长 DM 交 CE 于点 P，连接 DF，FP，由菱形的性质和“伴随三角形”的性质可求ECF30FEC，CF EF，BDCP60， DAM PEM，通过证明ADMEPM，CDFEPF 可得 DFPF，DFCPFE，DFP120，即可求 DM与 FM 的位置与数量关系【解答】解：（1）连接 AC，四边形 ABCD 是正方形ACB45，B90，CEF 是正方形 ABCD 的“伴随三角形”：B+F180F90又CFE 是等腰三角形FCE45ACF180FCEACB90故答案为：90连接 AE，交 CF 于点 H，
31、CE2BC，设 BCa，CE2a，B90，AB BCa，AC a，F90，CE2a，EFFC a，ACFF90ACEFACHEFHCHHF，点 H 是 CF 的中点，（2）DM FM，FMDM理由如下：如图，延长 DM 交 CE 于点 P，连接 DF，FP，四边形 ABCD 是菱形ABBCCDAD，AB CD，ADBC，BDCP60，DAMPEM，若CEF 是菱形 ABCD 的“伴随三角形”，B60，CFE+ B180，CFE120，且CEF 是等腰三角形，ECF30FEC，CF EFDCF30DAMPEM ，AM ME，AMD PMEADMEPM （ASA ）ADPE，DMMPCDPE ，且 CFEF ，DCFFEC 30CDFEPF（SAS）DFPF，DFCPFE，PFE +CFP CFE 120DFC+CFP120 DFP，且 DFFP，DMPM，FMDM，FDM 30DM FM【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键