1、 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2019 届第一次模拟考试 高三数学（理科）试卷（共 4 页）第 1 页 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2019 届第一次模拟考试 高三数学（理科）试卷（共 4 页）第 2 页 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2019 届第一次模拟考试 高 三数学（理科） 试卷 命题学校： 黄冈中学 命题教师： 夏泊凌 审题教师： 武娟 蔡盛 周建义 考试时间： 2019 年 05 月 10 日 下 午 15:00 17:00 试卷满分： 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
2、合题目要求的 1若复数 满足 (3 4i) = 5( i)， 其中 i为虚数单位， 则 的虚部为 （ ） A B C D 2已知集合 = | 2 +, = *|2 4 5 0,则 =（ ） A *| + B *| 的解集为 （ ） A (,) B (,) (,+) C (,) D (,) (,+) 6 我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字 1，不点火表示数字 0，这蕴含了进位制的思想 . 如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的 “烽火传信 ”. 执行该程序框图，若输入 = , = , = ，则输出 的值为 （ ）
3、A 21 B 3 C 51 D 3 7 设 = (,) | + ，给出下列 两 个命题： ： (,) ， , , | | , )的左右焦点，过点 的直线 与双曲线 的左右两支分别交于 ,两点，若 ， = ， 则双曲线的离心率为 （ ） A B C D 11 如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的 体积为 ，则它的外接球表面积为 （ ） A B 6 C 12 D 12 已知 ，函数 () = ， () = + ， e 为自然 对数的底数 若存在一条直线与曲线 = ()和 = ()均相切，则 的取值范围为 （ ） A (,- B (,- C (, - D (,- 鄂东南省级示范高中教育教学改革联
4、盟学校 2019 届第一次模拟考试 高三数学（理科）试卷（共 4 页）第 1 页 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2019 届第一次模拟考试 高三数学（理科）试卷（共 4 页）第 2 页 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2019 届第一次模拟考试 高 三数学（理科） 试卷 命题学校： 黄冈中学 命题教师： 夏泊凌 审题教师： 武娟 蔡盛 周建义 考试时间： 2019 年 05 月 10 日 下 午 15:00 17:00 试卷满分： 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数 满足 (3
5、 4i) = 5( i)， 其中 i为虚数单位， 则 的虚部为 （ ） A B C D 2已知集合 = | 2 +, = *|2 4 5 0,则 =（ ） A *| + B *| 的解集为 （ ） A (,) B (,) (,+) C (,) D (,) (,+) 6 我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字 1，不点火表示数字 0，这蕴含了进位制的思想 . 如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的 “烽火传信 ”. 执行该程序框图，若输入 = , = , = ，则输出 的值为 （ ） A 21 B 3 C 51 D 3
6、 7 设 = (,) | + ，给出下列 两 个命题： ： (,) ， , , | | , )的左右焦点，过点 的直线 与双曲线 的左右两支分别交于 ,两点，若 ， = ， 则双曲线的离心率为 （ ） A B C D 11 如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的 体积为 ，则它的外接球表面积为 （ ） A B 6 C 12 D 12 已知 ，函数 () = ， () = + ， e 为自然 对数的底数 若存在一条直线与曲线 = ()和 = ()均相切，则 的取值范围为 （ ） A (,- B (,- C (, - D (,- 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2019 届第一次模拟考试
7、 高三数学（理科）试卷（共 4 页）第 3 页 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2019 届第一次模拟考试 高三数学（理科）试卷（共 4 页）第 4 页 二、填空题：本题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 已知向量 、 ，满足 = (,)， | | = ， 且 ( + ) ，则 在 上的投影为 _ 14 在 ( + )( )的展开式中，若 项的系数为 ，则 ( + | ) =_ 15 已知圆 :( + ) + ( ) = ，直线 : = 上有两个动点 ,，且 | = . 若圆 上存在点 ，使 = ，则线段 中点 的横坐标取值范围为 _ 16 如图所示， 在平面四边形 中，
8、 = ， = ， = ， = ， 则 面积的最大值为 _ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 21 题为必做考题，每个试题考生都必须做答第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17（本小题满分 12 分） 已知数列 *+的前 项和为 ，且 = + ，（其中 、 为常数），又 = ， = . （ ） 求数列 *+的通项公式； （ ） 设 = + 2 3，求数列 * +的前 项和 18（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中， /， = ， = ， = ， = ， = ， 平面 ，点 在棱 上 . （ ） 求证：平面 平面
9、 ； （ ） 若直线 /平面 ，求此时锐二面角 的余弦值 . 19（本小题满分 12 分） 今年，我们将迎来中华人民共和国 70 周年华诞 70 年披荆斩棘， 70 年砥砺奋进， 70 年风雨兼程， 70 年沧桑巨变 勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了令人瞩目的成就 某媒体平台开设了 “壮丽 70 年 奋斗新时代 ”专栏，收到了来自全国各地的纪念建国 年变化的老照片，并从众多作品中抽取了 张照片参加建国 年图片展，其作者年龄集中在 ,， -之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图， 已知第二组 ,)与第三组 ,)的频数之和等于第四组 ,)的频数，观察图形的信息，回答下
10、列问题： （ ）求这位 作者年龄的样本平均数 （同一组数据用 该区间的中点值作代表）； （ ）该媒体平台从年龄在 ,， )和 ,， )的作者中， 按照分层抽样的方法，抽出来 人参加 “ 纪念建国 年 图片展 ”表彰大会，现要从中选出 人作为代表发言， 设这 位发言者的年龄落在区间 35， 45)的人数是 ，求 变量 的分布列和数学期望 . 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 : + = ( )的一个焦点与抛物线 = 的焦点相同，且椭圆 过点 .,/ （ ） 求椭圆 的标准方程； （ ） 若椭圆 的右顶点为 ，与 x 轴不垂直的 直线 交椭圆 于 ,两点（ ,与 点不重合 ， ），且满足 ，
11、若点 为 中点， 求直线 与 的 斜率之积的取值范围 21（本小题满分 12 分） 已知函数 () = ( ) + ( + ) + + . （ ） 若 k= ， 求 ()的 最 大值； （ ） 若 ()在 (,)内存在唯一的极值点，求 k 的取值范围 . （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、 23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 【 选修 4-4：坐标系与参数方程 】 （ 10 分） 已知直线 l的参数方程为 = + = + (为参数 )，曲线 C的极坐标方程为 = ，直线 l 与曲线 C 交于 A， B两点，点 (,). （ ） 求直线 l 的普通方程与曲线 C
12、 的直角坐标方程； （ ） 求 | | + | |的值 23 【 选修 4-5：不等式选讲 】 （ 10 分） 已知函数 () = | + | + | | （ ） 当 = 时 ,求不等式 () 的解集 ； （ ） 设关于 的不等式 () | |的解集为 ， 且 0,1 ， 求实数 的取值范围 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2019 届第一次模拟考试 高三数学（理科）试卷（共 4 页）第 3 页 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2019 届第一次模拟考试 高三数学（理科）试卷（共 4 页）第 4 页 二、填空题：本题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 已知向量 、
13、 ，满足 = (,)， | | = ， 且 ( + ) ，则 在 上的投影为 _ 14 在 ( + )( )的展开式中，若 项的系数为 ，则 ( + | ) =_ 15 已知圆 :( + ) + ( ) = ，直线 : = 上有两个动点 ,，且 | = . 若圆 上存在点 ，使 = ，则线段 中点 的横坐标取值范围为 _ 16 如图所示， 在平面四边形 中， = ， = ， = ， = ， 则 面积的最大值为 _ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 21 题为必做考题，每个试题考生都必须做答第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 6
14、0 分 17（本小题满分 12 分） 已知数列 *+的前 项和为 ，且 = + ，（其中 、 为常数），又 = ， = . （ ） 求数列 *+的通项公式； （ ） 设 = + 2 3，求数列 * +的前 项和 18（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中， /， = ， = ， = ， = ， = ， 平面 ，点 在棱 上 . （ ） 求证：平面 平面 ； （ ） 若直线 /平面 ，求此时锐二面角 的余弦值 . 19（本小题满分 12 分） 今年，我们将迎来中华人民共和国 70 周年华诞 70 年披荆斩棘， 70 年砥砺奋进， 70 年风雨兼程， 70 年沧桑巨变 勤劳勇敢的中国人用自己
15、的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了令人瞩目的成就 某媒体平台开设了 “壮丽 70 年 奋斗新时代 ”专栏，收到了来自全国各地的纪念建国 年变化的老照片，并从众多作品中抽取了 张照片参加建国 年图片展，其作者年龄集中在 ,， -之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图， 已知第二组 ,)与第三组 ,)的频数之和等于第四组 ,)的频数，观察图形的信息，回答下列问题： （ ）求这位 作者年龄的样本平均数 （同一组数据用 该区间的中点值作代表）； （ ）该媒体平台从年龄在 ,， )和 ,， )的作者中， 按照分层抽样的方法，抽出来 人参加 “ 纪念建国 年 图片展 ”表彰大会，现要从中选出 人作为
16、代表发言， 设这 位发言者的年龄落在区间 35， 45)的人数是 ，求 变量 的分布列和数学期望 . 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 : + = ( )的一个焦点与抛物线 = 的焦点相同，且椭圆 过点 .,/ （ ） 求椭圆 的标准方程； （ ） 若椭圆 的右顶点为 ，与 x 轴不垂直的 直线 交椭圆 于 ,两点（ ,与 点不重合 ， ），且满足 ，若点 为 中点， 求直线 与 的 斜率之积的取值范围 21（本小题满分 12 分） 已知函数 () = ( ) + ( + ) + + . （ ） 若 k= ， 求 ()的 最 大值； （ ） 若 ()在 (,)内存在唯一的极值点，求 k
17、的取值范围 . （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、 23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22 【 选修 4-4：坐标系与参数方程 】 （ 10 分） 已知直线 l的参数方程为 = + = + (为参数 )，曲线 C的极坐标方程为 = ，直线 l 与曲线 C 交于 A， B两点，点 (,). （ ） 求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （ ） 求 | | + | |的值 23 【 选修 4-5：不等式选讲 】 （ 10 分） 已知函数 () = | + | + | | （ ） 当 = 时 ,求不等式 () 的解集 ； （ ） 设关于 的不等式 () |
18、 |的解集为 ， 且 0,1 ， 求实数 的取值范围 鄂 东 南 省 级 示 范 高 中 教 育 教 学 改 革 联 盟 学 校 2019 届 第 一 次 模 拟 考 试 高 三 数 学 （ 理 科 ） 参 考 答 案 (共 4 页 )第 1页 鄂 东 南 省 级 示 范 高 中 教 育 教 学 改 革 联 盟 学 校 2019 届 第 一 次 模 拟 考 试 高 三 数 学 （ 理 科 ） 参 考 答 案 (共 4 页 )第 2页鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2 0 1 9届第一次模拟考试高三数学（理科）参考答案一、选择题：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
19、答 案 C A D B A D B C D B B A二、填空题：13. 1； 14. ； 15. 1 ； 16. 三、解答题：17 （ 12 分 ） 【 解 析 】 （ ） 由 1 1， 得 ， 1 ，解 得 1 1， 2 分即 1， - 当 时 ， 1 1 1-1 - 得 1， 即 1 ， 1 1 满 足 上 式 ， 1 6 分（ ） 依 题 意 得 1 log 1 11 1 1 1 1 1 1 1两 式 相 减 得 ： 1 1 1 1 111 1 . 1 1. 12 分18 （ 12 分 ） 【 解 析 】 （ ） 因 为 平 面 ， 所 以 ，又 因 为 ， ， ， 由 sin sin
20、 ， 可 得 sin 1，所 以 ， ， 即 ， 因 为 ， 所 以 平 面 ，因 为 平 面 ， 所 以 平 面 平 面 ； 6分（ ） 以 点 为 坐 标 原 点 ， 所 在 的 直 线 为 轴 ， 所 在 的 直 线 为 轴 ，如 图 所 示 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，其 中 ， 1， 4， 4， 1.从 而 4 1， 1， ，设 ， 从 而 得 1， 1 1，设 平 面 的 法 向 量 为 1 ， 若 直 线 平 面 ，满 足 1 1 1 ， 即 1 1 1 4 ，得 14， 取 1 1.又 平 面 的 的 一 个 法 向 量 为 1， 所 以 cos 1 1 1 11
21、 1 .所 以 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 1 . 12 分19 （ 12 分 ） 【 解 析 】 设 第 三 组 4与 第 四 组 的 频 率 分 别 为 ， 则1 1 1 1 1 1 ， 解 得 1 ， 3 分所 以 年 龄 在 第 三 组 4之 间 的 频 率 为 0.15， 在 第 四 组 之 间 的 频 率 为 0.3.这 1 位 作 者 年 龄 的 样 本 平 均 数 为 1 4 1 0.15+60 0.3+70 0.25+80 0.05=56； 6 分 根 据 分 层 抽 样 的 原 理 ， 可 知 这 8 人 中 年 龄 在 4内 有 3 人 ， 在 7内 有 5 人
22、，故 可 能 的 取 值 为 0， 1， 2， 3： ， 1 1 1， 1 1， 1，所 以 的 分 布 列 为 ： 0 1 2 3P 1 1 1 10 分所 以 的 数 学 期 望 为 1 1 1 1 12 分20 （ 12 分 ） 【 解 析 】 （ ） 因 为 抛 物 线 4 的 焦 点 为 ， 1分所 以 ， 又 椭 圆 过 点 1 ， 所 以 3 1413 22 22 ba ba ， 解 得 4 1 .则 椭 圆 的 标 准 方 程 为 4 1. 4 分（ ） 设 11， ， 依 题 意 有 直 线 AM 的 斜 率 存 在 .设 直 线 AM 的 方 程 为 ， 因 为 直 线 与
23、 x 轴 不 垂 直 且 ， 则 1 且 .联 立 4 1 ， 得 1 4 1 1 4 ,由 1 1414 ， 可 得 1 14， 1 1 414.由 于 ， 设 直 线 AN 的 方 程 为 ，鄂 东 南 省 级 示 范 高 中 教 育 教 学 改 革 联 盟 学 校 2019 届 第 一 次 模 拟 考 试 高 三 数 学 （ 理 科 ） 参 考 答 案 (共 4 页 )第 1页 鄂 东 南 省 级 示 范 高 中 教 育 教 学 改 革 联 盟 学 校 2019 届 第 一 次 模 拟 考 试 高 三 数 学 （ 理 科 ） 参 考 答 案 (共 4 页 )第 2页鄂东南省级示范高中教育
24、教学改革联盟学校2 0 1 9届第一次模拟考试高三数学（理科）参考答案一、选择题：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案 C A D B A D B C D B B A二、填空题：13. 1； 14. ； 15. 1 ； 16. 三、解答题：17 （ 12 分 ） 【 解 析 】 （ ） 由 1 1， 得 ， 1 ，解 得 1 1， 2 分即 1， - 当 时 ， 1 1 1-1 - 得 1， 即 1 ， 1 1 满 足 上 式 ， 1 6 分（ ） 依 题 意 得 1 log 1 11 1 1 1 1 1 1 1两 式 相 减 得 ： 1 1 1 1 111 1
25、. 1 1. 12 分18 （ 12 分 ） 【 解 析 】 （ ） 因 为 平 面 ， 所 以 ，又 因 为 ， ， ， 由 sin sin ， 可 得 sin 1，所 以 ， ， 即 ， 因 为 ， 所 以 平 面 ，因 为 平 面 ， 所 以 平 面 平 面 ； 6分（ ） 以 点 为 坐 标 原 点 ， 所 在 的 直 线 为 轴 ， 所 在 的 直 线 为 轴 ，如 图 所 示 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，其 中 ， 1， 4， 4， 1.从 而 4 1， 1， ，设 ， 从 而 得 1， 1 1，设 平 面 的 法 向 量 为 1 ， 若 直 线 平 面 ，满 足 1
26、 1 1 ， 即 1 1 1 4 ，得 14， 取 1 1.又 平 面 的 的 一 个 法 向 量 为 1， 所 以 cos 1 1 1 11 1 .所 以 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 1 . 12 分19 （ 12 分 ） 【 解 析 】 设 第 三 组 4与 第 四 组 的 频 率 分 别 为 ， 则1 1 1 1 1 1 ， 解 得 1 ， 3 分所 以 年 龄 在 第 三 组 4之 间 的 频 率 为 0.15， 在 第 四 组 之 间 的 频 率 为 0.3.这 1 位 作 者 年 龄 的 样 本 平 均 数 为 1 4 1 0.15+60 0.3+70 0.25+80 0.
27、05=56； 6 分 根 据 分 层 抽 样 的 原 理 ， 可 知 这 8 人 中 年 龄 在 4内 有 3 人 ， 在 7内 有 5 人 ，故 可 能 的 取 值 为 0， 1， 2， 3： ， 1 1 1， 1 1， 1，所 以 的 分 布 列 为 ： 0 1 2 3P 1 1 1 10 分所 以 的 数 学 期 望 为 1 1 1 1 12 分20 （ 12 分 ） 【 解 析 】 （ ） 因 为 抛 物 线 4 的 焦 点 为 ， 1分所 以 ， 又 椭 圆 过 点 1 ， 所 以 3 1413 22 22 ba ba ， 解 得 4 1 .则 椭 圆 的 标 准 方 程 为 4 1
28、. 4 分（ ） 设 11， ， 依 题 意 有 直 线 AM 的 斜 率 存 在 .设 直 线 AM 的 方 程 为 ， 因 为 直 线 与 x 轴 不 垂 直 且 ， 则 1 且 .联 立 4 1 ， 得 1 4 1 1 4 ,由 1 1414 ， 可 得 1 14， 1 1 414.由 于 ， 设 直 线 AN 的 方 程 为 ，鄂 东 南 省 级 示 范 高 中 教 育 教 学 改 革 联 盟 学 校 2019 届 第 一 次 模 拟 考 试 高 三 数 学 （ 理 科 ） 参 考 答 案 (共 4 页 )第 3页 鄂 东 南 省 级 示 范 高 中 教 育 教 学 改 革 联 盟 学 校 2019 届 第 一 次 模 拟 考 试 高 三 数 学 （ 理 科 ） 参 考 答 案 (共 4 页 )第 4页只 要 将 上 式 的 换 为 1， 可 得 4 ， 44.由 点 为 中 点 ， 得 144 1144 ，则 斜 率 为 1 1144144 14， 9 分 斜 率 为 11 414 44144 41.所 以 直 线 与 的 斜 率 之 积 1 1 4 4 1 1 4 1 1 1 1. 10 分因 为 1 且 ， 所 以 且 1， 1 ， 1 1 1 1 ，即 1 ， 综 上 可 得 直 线 与 的 斜 率 之 积 的 取 值 范