1、2019 年山东省青岛市第五十六中学中考数学二模试卷一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1如图，数轴上的点 A 表示的数为 a，则 a 的相反数等于（ ）A2 B2 C D2下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D3根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”预计到 2035 年，副中心的常住人口规模将控制在 130 万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区130 万用科学记数法表示为（ ）A1.310 6 B13010 4 C1310 5 D1.310 54计算（2a 3b2） 2ab2 的结果为（ ）
2、A2a 2 B2a 5b2 C4a 4b2 D4a 5b25如图，在平面直角坐标系中，ABC 位于第二象限，点 A 的坐标是（2，3），先把ABC 向右平移 4 个单位长度得到A 1B1C1，再把A 1B1C1 绕点 C1 顺时针旋转 90得到A 2B2C1，则点 A 的对应点 A2 的坐标是（ ）A（5，2） B（1，0） C（3，1） D（5，2）6如图，若 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD50，则BCD 的度数为（ ）A35 B40 C55 D757函数 y 与 ykx 2+k（k 0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A BC D8我们知道，一元二次方程 x21 没有实数
3、根，即不存在一个实数平方等于1若我们规定一个新数 i，使其满足 i2 1（即 x21 方程有一个根为 i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 i1i ，i 21，i 3i 2i（1）ii，i 4（i 2） 2（1） 21，从而对任意正整数 n，我们可以得到 i4n+1i 4ni（i 4）ni，同理可得 i4n+21，i 4n+3i，i 4n1，那么 i+i2+i3+i4+i2018+i2019 的值为（ ）A0 B1 Ci D1二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）9计算： 10两组数据 m，n，6 与 1， m，2n，7 的平
4、均数都是 6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的方差是 11已知一元二次方程 x28x+150 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，则ABC的周长为 12某内陆国家为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口 420km 的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了 2h求汽车原来的平均速度设汽车原来的平均速度为 xkm/h，则可列方程为 13如图，将半径为 6 的半圆，绕点 A 逆时针旋转 75，使点 B 落到点 B处，则图中阴影部分的面积是 14如图，在ABC 中，B90，AB6，BC 8
5、，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，把B 沿AD 折叠，使点 B 落在点 E 处，连接 CE，当CDE 为直角三角形时，BD 的长为 三解答题（共 1 小题，满分 4 分，每小题 4 分）15已知：如图，四边形 ABCD求作：点 P，使 PCAB ，且点 P 到点 A 和点 B 的距离相等结论：四解答题（共 9 小题，满分 74 分）16（8 分）（1）化简：（2 ）（2）解不等式组：3 517（6 分）小颖为班级联欢会设计了“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了面积相等的三个扇形游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出了蓝色，那么就配成紫色（
6、1）请你利用画树状图或者列表的方法计算配成紫色的概率（2）小红和小亮参加这个游戏，并约定配成紫色小红赢，两个转盘转出同种颜色，小亮赢这个约定对双方公平吗？请说明理由18（6 分）某校有 3000 名学生为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式（参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图种类 A B C D E F上学方式 电动车 私家车 公共交通 自行车 步行 其他某校部分学生主要上学方式扇形统计图某校部分学生主要上学方式条形统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的学生共有 人
7、，其中选择 B 类的人数有 人（2）在扇形统计图中，求 E 类对应的扇形圆心角 的度数，并补全条形统计图（3）若将 A、C、D、E 这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校每天“绿色出行”的学生人数19（6 分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对 A、B 两地间的公路进行改建如图，A、B 两地之间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶已知 BC100 千米，A45，B30（1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走多少千米？（结果保留根号）20（8 分
8、）如图，一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y （k 为常数且 k0）的图象交于A（1 ，a），B 两点，与 x 轴交于点 C（1）求 a，k 的值及点 B 的坐标；（2）若点 P 在 x 轴上，且 SACP SBOC ，直接写出点 P 的坐标21（8 分）如图，在ABC 中，点 O 是边 AC 上一个点，过点 O 作直线 MNBC 分别交ACB、外角ACD 的平分线于点 E、F（1）若 CE8，CF6，求 OC 的长；（2）连接 AE、AF 问：当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？证明你的结论22（10 分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各
9、50 盆售后统计，盆景的平均每盆利润是 160 元，花卉的平均每盆利润是 19 元调研发现：盆景每增加 1 盆，盆景的平均每盆利润减少 2 元；每减少 1 盆，盆景的平均每盆利润增加 2元；花卉的平均每盆利润始终不变小明计划第二期培植盆景与花卉共 100 盆，设培植的盆景比第一期增加 x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为 W1， W2（单位：元）（1）用含 x 的代数式分别表示 W1，W 2；（2）当 x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 W 最大，最大总利润是多少？23（10 分）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题1+23+4+ 2017+2018 的计算思路
10、为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为 1，共有 1009 组，所以结果为+1009根据这个思路学生改编了下列几题：（1）计算：12+3 4+ +20172018 13+57+20172019 （2）蚂蚁在数轴的原点 O 处，第一次向右爬行 1 个单位，第二次向右爬行 2 个单位，第三次向左爬行 3 个单位，第四次向左爬行 4 个单位，第五次向右爬行 5 个单位，第六次向右爬行 6 个单位，第七次向左爬行 7 个单位按照这个规律，第 1024 次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？24（12 分）已知：正方形 ABCD，EAF45（1）如图 1，当点 E、F 分别在边 BC、CD 上，连接 EF，求证
11、：EFBE+DF；童威同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答：证明：将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABG，所以ADF ABG（2）如图 2，点 M、N 分别在边 AB、CD 上，且 BNDM当点 E、F 分别在 BM、DN 上，连接 EF，探究三条线段 EF、BE、DF 之间满足的数量关系，并证明你的结论（3）如图 3，当点 E、F 分别在对角线 BD、边 CD 上若 FC2，则 BE 的长为 2019 年山东省青岛市第五十六中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1【分析】根据数轴找出 a2，再由相反数的定义可得出结论【解答
12、】解：a2，a（2）2故选：B【点评】本题考查了相反数和数轴，解题的关键是能读出数轴上的数，并知道什么是相反数2【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断，得到答案【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故选：A【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合是解题的关键3【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n
13、的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 130 万用科学记数法表示为 1.3106故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4【分析】根据整式的除法即可求出答案【解答】解：原式4a 6b4ab24a 5b2故选：D【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型5【分析】根据平移变换，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；
14、【解答】解：如图，A 2B2C1 即为所求观察图象可知：A 2（5，2）故选：A【点评】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键6【分析】连接 AC，由圆周角定理可求得 ACB90，ACDABD，则可求得答案【解答】解：如图，连接 AC，AB 为直径，ACB90，ABD50，ACDABD50，BCDACBACD905040，故选：B【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角、同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等是解题的关键7【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致【解答】解：由解析式
15、 ykx 2+k 可得：抛物线对称轴 x0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得 k0，则k0，抛物线开口方向向上、抛物线与 y 轴的交点为 y 轴的负半轴上；本图象与 k 的取值相矛盾，故 A 错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故 B 正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值相矛盾，故 C 错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k0，则 k0，抛物线开口方向向
16、下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值相矛盾，故 D 错误故选：B【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断 k 取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与 y 轴的交点是否符合要求8【分析】利用积的乘方得到原式（i+i 2+i3+i4）+i 2012（i+i 2+i3+i4）+i4504+1+i4504+2+i4504+3，然后利用利用 i4n+1i 4ni（i 4）ni，i 4n+21，i 4n+3i ，i 4n1 进行计算【解答】解：i+i 2+i3+i4+i2018+i2019（i+i 2+i
17、3+i4）+i 2012（i+i 2+i3+i4）+i4504+1+i4504+2+i4504+3（i 1i+1）+i 2012（i1+i+1 ）+i1i1故选：B【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如 x2p 或（nx+m） 2p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程也考查了阅读理解能力二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）9【分析】利用平方差公式计算【解答】解：原式514故答案为 4【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选
18、择恰当的解题途径，往往能事半功倍10【分析】根据题目中的数据可以求得 m、n 的值，然后根据方差的计算公式即可解答本题【解答】解：数据 m，n， 6 与 1，m ，2n，7 的平均数都是 6， ，解得， ，这组新数据的方差是：6，故答案为：6【点评】本题考查方差、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出 m、n 的值11【分析】将已知方程左边的多项式分解因式，再利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到 x 的值，分两种情况考虑，分别求出周长即可【解答】解：x 28x +150，分解因式得：（x3）（x 5）0，可得 x30 或 x50，解得：
19、x 13，x 25，若 3 为底边，5 为腰时，三边长分别为 3，5，5，周长为 3+5+513；若 3 为腰，5 为底边时，三边长分别为 3，3，5，周长为 3+3+511，综上，ABC 的周长为 11 或 13故答案为：11 或 13【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，求出方程的解是解本题的关键12【分析】设汽车原来的平均速度为 xkm/h，则公路升级后汽车的平均速度为（ 1+50%）xkm/h，根据时间路程速度结合提速后行驶时间缩短了 2h，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解【解答】解：设汽车原来的平均速度为 xkm/h，则公路升级后汽
20、车的平均速度为（ 1+50%）xkm/h，依题意，得： +2故答案为： +2【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键13【分析】根据整体思想，可知 S 阴影 S 半圆 AB +S 扇形 ABB S 半圆 ABS 扇形 ABB ，再利用扇形面积公式计算即可【解答】解：S 阴影 S 半圆 AB +S 扇形 ABB S 半圆 AB而根据旋转的性质可知 S 半圆 AB S 半圆 ABS 阴影 S 半圆 AB +S 扇形 ABB S 半圆 ABS 扇形 ABB而由题意可知 AB12，BAB75即：S 阴影 30故答案为 30【点评】本题考查的是扇形面积的相关
21、计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算扇形的面积即可14【分析】在 RtABC 中，ABC90，AB6，BC8，根据勾股定理求得 AC10，根据翻折的性质得 AEAB 6，DEBD，AEDB90如图 1，当DEC90时，推出点 E 在线段 AC 上，设 BDDEx，则 CD8x，根据勾股定理即可得到结果； 如图 2，当EDC90，于是得到BDE90，求得BDAADE45，于是得到ABD 是等腰直角三角形于是得到结果【解答】解：在 RtABC 中，ABC90，AB6，BC8，AC 10，AED 是ABD 以 AD 为折痕翻折得到的，AEAB6，DEBD，AEDB90当DEC
22、为直角三角形，如图 1，当 DEC90时，AED+DEC180，点 E 在线段 AC 上，设 BDDE x，则 CD8 x，CEABAE4，DE 2+CE2CD 2，即 x2+42（8x ） 2，解得：x3，即 BD3；如图 2，当 EDC90，BDE90，BDAADE，BDAADE45，BAD45，ABBD 6综上所述：当DEC 为直角三角形时，BD 的长为 3 或 6故答案为：3 或 6【点评】本题考查了折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想的应用是解题的关键解题时设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角
23、形，运用勾股定理列出方程求出答案三解答题（共 1 小题，满分 4 分，每小题 4 分）15【分析】利用内错角相等两直线平行，过点 C 作 AB 的平行线，再作 AB 的垂直平分线，它们的交点满足条件【解答】解：过 C 点作 AB 的平行线，再作 AB 的垂直平分线，它们相交于点 P，则点 P 为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作四解答题（共 9 小题，满分 74 分）16【分析】（1）先计算括号内的、将除法转化为
24、乘法，再计算乘法即可得；（2）将原不等式组转化为一般形式，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：（1）原式 ；（2）由题意知 ，解不等式 ，得： x4，解不等式 ，得： x8，所以不等式组的解集为4x8【点评】本题考查的是分式的混合运算、解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集及熟练掌握分式混合运算顺序和法则是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键17【分析】（1）用表格列出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得；（2）分别计算出小红、小亮获胜的概率，比较大小即
25、可得出结论【解答】解：（1）如下表所示：红 蓝 1 蓝 2红 （红，红） （红，蓝 1） （红，蓝 2）黄 （黄，红） （黄，蓝 1） （黄，蓝 2）蓝 （蓝，红） （蓝，蓝 1） （蓝，蓝 2）由表可知，共有 9 种等可能结果，其中配成紫色的有 3 种结果，所以 P（能配成紫色） ；（2）P （小红赢） ，P （小亮赢） P （小红赢） P （小亮赢） ，因此，这个游戏对双方是公平的【点评】本题考查的是游戏公平性的判断实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，要求学生根据题意，结合实际情况，计算并比较游戏者的胜利的概率，进而得到结论用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比18【分析】（1）由
26、 A 方式人数及其所占百分比求得总人数，总人数乘以 B 方式的百分比求得其人数即可得；（2）用 360乘以 E 方式对应的百分比可得；（3）总人数乘以 A、C、D、E 这四类上学方式的百分比之和可得【解答】解：（1）参与本次问卷调查的学生共有 16236%450 人，其中选择 B 类的人数有45014%63 人，故答案为：450、63；（2）E 类对应的扇形圆心角 的度数 360（136%14%20% 16%4%）36，C 方式的人数为 45020%90 人、D 方式人数为 45016%72 人、E 方式的人数为45010%45 人，F 方式的人数为 4504%18 人，补全条形图如下：（3）
27、估计该校每天“绿色出行”的学生人数为 3000（114%4% ）2460 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小19【分析】（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角ACD 中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角CBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD，进而求出答案【解答】解：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，ABCD，sin30 ，BC100 千米，CDBCsin30100 50（千
28、米），AC 50 （千米），AC+BC（100+50 ）千米，答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走（100+50 ）千米；（2）cos30 ，BC100（千米），BDBCcos30100 50 （千米），CD BC50（千米），tan45 ，AD 50（千米），ABAD +BD（50+50 ）千米，AC+BCAB100+50 （50+50 ）（50+50 50 ）千米答：开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走（50+50 50 ）千米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线20【分析】（1）利用点 A 在
29、yx +4 上求 a，进而代入反比例函数 y 求 k，然后联立方程求出交点，（2）设出点 P 坐标表示三角形面积，求出 P 点坐标【解答】解：（1）把点 A（1，a）代入 yx +4，得 a3，A（1，3）把 A（1，3）代入反比例函数 yk3；反比例函数的表达式为 y联立两个函数的表达式得解得 或点 B 的坐标为 B（3，1）；（2）当 yx+40 时，得 x 4点 C（4，0）设点 P 的坐标为（x ，0）S ACP SBOC ， 3|x+4| 41解得 x16，x 22点 P（6，0）或（2，0）【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐
30、标以及在数形结合基础上的面积表达21【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出OECOCE，OFCOCF，证出 OEOCOF ， ECF 90，由勾股定理求出 EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可【解答】（1）证明：EF 交ACB 的平分线于点 E，交ACB 的外角平分线于点 F，OCEBCE，OCFDCF，EFBC，OECBCE，OFCDCF，OECOCE，OFCOCF，OEOC，OFOC，OEOF ；OCE+BCE+ OCF+DCF180，ECF90，在 Rt CEF 中，由勾股定理得：EF 10，OCOE EF5；（2）当点 O 在边 AC 上运
31、动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形理由如下：当 O 为 AC 的中点时，AO CO，EOFO ，四边形 AECF 是平行四边形，ECF90，平行四边形 AECF 是矩形【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出ECF90是解题关键22【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加 x 盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50x ）盆，根据 “总利润盆数每盆的利润”可得函数解析式；（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于 x 的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得【解答】解：（1
32、）设培植的盆景比第一期增加 x 盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50x）盆，所以 W1（50+ x）（1602 x）2x 2+60x+8000，W219（50x）19x+950；（2）根据题意，得：WW 1+W22x 2+60x+800019x +9502x 2+41x+89502（x ） 2+ ，20，且 x 为整数，当 x10 时，W 取得最大值，最大值为 9160，答：当 x10 时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 W 最大，最大总利润是 9160元【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质23
33、【分析】（1）由每两个数为一组、其和为1，共 1009 组，据此可得；由每两个数为一组、其和为2，共 505 组，据此求解可得；（2）根据题意列出算式：1+234+5+678+9+101112+1021+102210231024，每四个数为一组、其和为4，共 256 组，据此求解可得【解答】解：（1）12+34+20172018110091009；13+57+2017201925051010；故答案为：1009、1010；（2）根据题意知第 1024 次爬行后蚂蚁在数轴上的1+234+5+678+9+101112+1021+10221023102442561024【点评】本题主要考查数字的变化
34、规律，解题的关键是根据例题思路将加数合理分组，从中找到和为固定常数的规律24【分析】（1）按照题目给的思路，由ADFABG 推出AFAG ，DFBG，DAF BAG，得到EAG EAF注意要证明 G、B、E 三点共线，才能证得EAGEAF把 EF 转化到 EGBG +BEDF+BE，得证（2）把ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得ABH ，证明过程跟（1）类似，证得EAHEAF，把 EF 转化到 EH，然后利用 BNDM 证明四边形 BMDN 为平行四边形得ABE FDM，得EBHABH+ABEADF+MDN 90，由 EH2BE 2+BH2 得EF2BE 2+DF2（3）作为填空题，可把点
35、E、F 移动到特殊位置思考，如 F 与 D 重合时，则 E 为 BD 中点，易得 BE BD，又 BD CD（即 CF），得答案为 由EAFEDF45联想到点A、D、F 、E 四点共圆，且 AF 为直径，所以AEF90 ，AEF 为等腰直角三角形，故有AEEFEC ，过点 E 作 EMCF 于 M 即有 M 为 CF 中点考虑到 BE 为正方形对角线上的一段，过点 E 作 ENBC 构造等腰直角BEN，且 ENCM，则 BE 【解答】解：（1）证明：将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABG，ADFABGAFAG ，DFBG，DAFBAG正方形 ABCDDBADABE 90 ，ABADAB
36、GD90，即 G、B、C 在同一直线上EAF 45DAF+BAE904545EAGBAG+BAE DAF+BAE45即EAGEAF在EAG 与EAF 中，EAGEAF（SAS）EGEFBE+DFBE +BGEGEFBE+DF（2）EF 2BE 2+DF2，证明如下：将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABH ，（如图 2）ADFABHAFAH ，DFBH，DAFBAH，ADF ABHEAF 45DAF+BAE904545EAHBAH+BAE DAF+BAE45即EAHEAF在EAH 与EAF 中，EAHEAF（SAS）EHEFBNDM ，BN DM四边形 BMDN 是平行四边形ABE MD
37、NEBHABH+ABE ADF+MDN ADM 90EH 2BE 2+BH2EF 2BE 2+DF2（3）作ADF 的外接圆O，连接 EF、EC ，过点 E 分别作 EMCD 于 M，ENBC 于 N（如图 3）ADF90AF 为O 直径BD 为正方形 ABCD 对角线EDFEAF45点 E 在 O 上AEF 90AEF 为等腰直角三角形AEEF在ABE 与CBE 中ABE CBE（SAS）AECECEEFEMCF，CF2CM CF 1ENBC，NCM90四边形 CMEN 是矩形ENCM1EBN45BE EN故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，旋转，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形性质，其中（1）（2）里运用转化思想是解题关键，为半角模型的常规题型第（3）问作为填空题可用特殊位置得到答案，证明过程关键条件是正方形对角线，利用两个 45角联想到四点共圆，再利用圆周角定理得到AEF 为等腰直角三角形