1、第 1 页，共 16 页天津市河北区 2019 届高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1. 已知集合 M=x|1x3，N =x|x2 ，则集合 M（ RN）=（ ）A. B. C. D. |12 |1 |12 |232. i 为虚数单位，则复数 =（ ）4+32+A. B. C. D. 11525 115+25 115+25 115253. 设 xR，则“（x+1）（x-2）0”是“|x|1 ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x ）在
2、（0，+）内单调递减，则（ ）A. B. (0)(32)(23) (32)(0)(23)C. D. (23)(32)(0) (32)(23)(0)5. 将函数 f（x ）=cos（x+ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）3，再向左平移 个单位长度，则所得函数的最小正周期为（ ）6A. B. C. D. 2 4 86. 在平面直角坐标系中，经过点 P（2 ，- ），渐近线方程为 y= x 的双曲线2 2 2的标准方程为（ ）A. B. C. D. 2422=1 27214=1 2326=1 21427=17. 已知边长为 2 的等边三角形 ABC，D 为 BC 的中点，以
3、AD 为折痕，将ABC 折成直二面角 B-AD-C，则过 A， B，C，D 四点的球的表面积为（ ）A. B. C. D. 3 4 5 68. 设函数 f（x ）= 当 x- ， 时，恒有 f（x+a）f（x），则实数 a2+,02+,0 12 12的取值范围是（ ）A. B. (152,1+52) (1,1+52)C. D. (152,0) (152,12二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）9. 执行如图所示的程序框图，则输出 k 的值是_第 2 页，共 16 页10. 曲线 f（x） =x3+ x2-3x 在点（1，f （1）处的切线斜率为_9211. 设实数 x，y 满足约
4、束条件 ，则 z=3x+4y 的最大值为_3+212+2800 12. 圆 C：x 2+y2-6x-6y+10=0 上的点到直线 x+y=0 的最短距离为 _13. 若 lga+lgb=0，则 的最小值是_2+114. 在ABC 中，AB=4，BC =6，ABC= ，D 是 AC 的中点，E 在 BC 上，且2AEBD，则 =_三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15. 为增强市民的环境保护意识，某市面向全市学校征召 100 名教师做义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组，现把该组的成员按年龄分成 5 组，如表所示：组别 年龄 人数1 20，25） 52 25，30） 353 30，
5、35） 204 35，40） 305 40，45） 10（）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法选出 6 名志愿者参加某社区宣传活动，应从第 3，4，5 组各选出多少名志愿者？（）在（）的条件下，宣传组决定在这 6 名志愿者中随机选 2 名志愿者介绍宣传经验（i）列出所有可能结果；（i）求第 4 组至少有 1 名志愿者被选中的概率第 3 页，共 16 页16. 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 a-c= b，sinB= sinC66 6（）求 cosA 的值；（）求 sin（2A+ ）的值617. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PB底面 ABCD，底面 A
6、BCD 为梯形，ADBC，AD AB，PB=AB=AD =3，BC =1，M 为棱 PD 上的点（）若 PM= PD，求证：MC平面 PAB；13（）求证：平面 PAD平面 PAB；（）求直线 BD 与平面 PAD 所成角的大小18. 已知公比为正数的等比数列a n，首项 a1=3，前 n 项和为 Sn（nN *），且S3+a3，S 5+a5，S 4+a4 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn（n N*）6第 4 页，共 16 页19. 已知椭圆 C： + =1（ab0）过点 M（2，1），且离心率为 2222 32（）求椭圆 C 的方程
7、；（）若过原点的直线 l1 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且在直线 l2：x -y+2 =0 上存6在点 M，使得MPQ 为等边三角形，求直线 l1 的方程20. 已知函数 f（x ）=alnx -x2+（2a-1）x，其中 aR（）当 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间；（）求函数 f（x ）的极值；（）若函数 f（x ）有两个不同的零点，求 a 的取值范围第 5 页，共 16 页答案和解析1.【答案】A【解析】解：M=x|1x3 ，N=x|x2， RN=x|x2， 则集合 M（RN）=x|1x2 故选：A根据集合补集交集的定义进行计算即可本题主要考查集合的基本运算，根据补集交集的定
8、义是解决本题的关键比较基础2.【答案】B【解析】解： = 故选：B 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3.【答案】A【解析】解：由（x+1 ）（x-2）0 得 x2 或 x-1 ， 由|x|1 得 x1 或 x-1， 则“（x+1）（x-2 ）0”是“|x|1”的充分不必要条件， 故选：A根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键比较基础4.【答案】C【解析】解：根据题意，f （x）是定义在 R 上的偶函数， 则 f（-log23）=f（log23）， 第 6 页，
9、共 16 页又由 f（x）在（0， +）内单调递减，且 0log 321log 23， 则有 f（log23）f （log32）f（0）， 即有 f（-log23）f（log 32）f （0）； 故选：C 根据题意，由偶函数的性质可得 f（-log23）=f（log23），结合函数的单调性可得f（log23）f（ log32）f （0），分析即可得答案本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数大小的比较，属于基础题5.【答案】C【解析】解：y=cos（x+ ） y=cos（ x+ ）y=cos （x+ ）+ =cos（ x+ ），其周期 T= =4故选：C 将函数 y=cos（x+ ）的
10、图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）y=cos（ x+ ），再向左平移 个单位 y=cos （x+ ）+ ，从而可求得其周期本题考查函数 y=Asin（x+）的图象变换及三角函数的周期性及其求法，关键是明确平移的法则（左加右减上加下减）及平移的单位与自变量的系数有关系，属于中档题6.【答案】B【解析】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为 y= x，设双曲线方程为：，双曲线经过点 P（2 ，- ），则有 8-1=a，第 7 页，共 16 页解可得 a=7，则此时双曲线的方程为： ，故选：B 设出双曲线的方程，经过点 P（2 ，- ），求出 a 的值，即可得双曲线的方程本题考查双曲线
11、的几何性质，涉及双曲线的标准方程的求法，注意双曲线离心率公式的应用7.【答案】C【解析】解：如图所示：边长为 2 的等边三角形 ABC，D 为 BC 的中点，以 AD 为折痕，将ABC 折成直二面角 B-AD-C，则： ，BD=CD=1，设求的半径为 r，故：（2r ）2=1+1+3=5，所以： ，所以 S= ，故球体的表面积为 5故选：C 首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球体的半径，最后求出球的表面积本题考查的知识要点：折叠问题的应用，球的表面积公式的应用8.【答案】C【解析】第 8 页，共 16 页解：a=0 时， 显然不符题意；当 x- ， 时，恒有f（x+a）f（x），即为 f（
12、x）的图象恒在f（x+a）的图象之上，则 a0，即 f（x）的图象右移故 A，B 错；画出函数 f（x）= （a0）的图象，当 x=- 时，f （- ）=-a - ；而 f（x+a）= ，则 x=- 时，由-a（- +a）2+a- =-a - ，解得 a= （ 舍去），随着 f（x+a）的图象左移至 f（x）的过程中，均有 f（x）的图象恒在 f（x+a）的图象上，则 a 的范围是（ ，0），故选：C 考虑 a=0，a0 不成立，当 a0 时，画出 f（x）的图象和 f（x+a）的大致图象，考虑 x=- 时两函数值相等，解方程可得 a 的值，随着 y=f（x+a）的图象左移至 f（x）的 过程
13、中，均有 f（x）的图象恒在 f（x+a）的图象上，即可得到 a 的范围本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，化为图象之间的关系，由图象平移结合数形结合思想方法，考查运算能力，属于难题9.【答案】5【解析】第 9 页，共 16 页解：S=20， S0 成立，S=20-3=17， k=2 S=17，S0 成立，S=17-6=11， k=3 S=11，S0 成立，S=11-9=2， k=4 S=2，S0 成立，S=2-12=-12， k=5 S=-12，S0 不成立，输出此时 k=5， 故答案为：5根据程序框图进行模拟运算即可本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关
14、键10.【答案】9【解析】解：f（x ）=x3+ x2-3x 的导数为 f（x）=3x2+9x-3，即有曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为 k=312+9-3=9，故答案为：9求出函数的导数，令 x=2 即可得到切线的斜率本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，属于基础题11.【答案】18【解析】解：作出约束条件 ，所示的平面区域，让如图：作直线 3x+4y=0，然后把直线 L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点 A 时z 最大由 可得 A（2，3），此时 z=18故答案为：18先画出约束条件的可行域，再求出可行
15、域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数 z=3x+4y 的最大值第 10 页，共 16 页本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何意义12.【答案】 2【解析】解：因为圆的方程为 x2+y2-6x-6y+10=0，所以 圆心为（3，3），半径 r=2 圆心到直线的距离为 d= =3 ，所以直线和圆相离，所以圆上的点到直线 x+y=0 的最短距离为 d-r= ，故填： 找到圆心和半径，代入点到直线的距离公式即可本题考查了直线和圆的位置关系，圆的一般方程求圆心和半径，点到直线的距离公式，属基础题13.【答案】2 2【解析】解：依题意 lga+
16、lgb=0，所以 a0，b0，且 lgab=0，即 ab=1，所以 2= =2 当且仅当 = ，即 a= ，b= 时，取得等号故填：2 因为 lga+lgb=0，所以 ab=1，利用基本不等式即可得到 的最小值本题考查了基本不等式，在使用基本不等式时，注意使用条件为“ 一正，二定，三相等”，本题属于基础题14.【答案】16【解析】解：以 B 为原点，BA、BC 所在直线分别为 x、y 轴，建立直角坐标系；则A（4，0），B（0，0），C（0，6），因为 D 是 AC 的中点，则 D（2，3）；所以 ，设 E（0，b），则 ，根据 AEBD，所以 ，解之得 ，又 ，所以 第 11 页，共 16
17、页故答案为：16建立直角坐标系，找出 A、B、C、D 的坐标，然后根据 AEBD，求出 E 的坐标，从而利用数量积的坐标运算计算出 本题主要考查平面向量的数量积坐标运算，属于中档题目15.【答案】解：（）由已知得第 3，4，5 组共有 60 名志愿者，从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法选出 6 名志愿者参加某社区的宣传活动，各组应选出的人数分别为：6 =2，6 =3，6 =12060 3060 1060（）（i）记第 3 组 2 名志愿者分别为 A，B，第 4 组 3 名志愿者分别为 a，b，c，第 5 组 1 名志愿者为 d，则从这 6 人中随机选 2 人，所有可能结果为：A，B，A ，
18、a，A，b， A，c ，A，d ，B，a，B，b， B，c，B，d ，a，b ， a，c，a，d，b，c，b，d ，c，d ，共 15 种（ii）设“从 6 名志原者中随机选 2 名，第 4 组至少一名志愿者被选中 ”为事件 A，则事件 A 所含基本事件有：A，a，A，b，A，c ， B，a ，B，b ，B，c，a，b， a，c，a，d ，b，c ， b，d，c ，d，共 12 种第 4 组至少有 1 名志愿者被选中的概率：P（A）= = 121545【解析】（）由已知得第 3，4，5 组共有 60 名志愿者，由从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法选出 6 名志愿者参加某社区的宣传活动，能求
19、出各组应选出的人数 （）（i）记第 3 组 2 名志愿者分别为 A，B，第 4 组 3 名志愿者分别为 a，b，c，第 5 组 1 名志愿者为 d，则从这 6 人中随机选 2 人，利用列举法能求出所有可能结果 （ii）设“从 6 名志原者中随机选 2 名，第 4 组至少一名志愿者被选中”为事件A，利用列 举 法能求出第 4 组至少有 1 名志愿者被选中的概率本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、分 层抽样、列 举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.【答案】（本题满分为 13 分）解：（）sinB = sinC，6由正弦定理可得：b= c，2 分6第 12 页，共 16 页又 a-c
20、= b，66a=2c， 3 分由余弦定理可得：cosA= = ，6 分2+222 64（）由（）可得 sinA= = ，7 分12104sin2A=2sinAcosA= ，9 分154cos2A=2cos2A-1=- ，11 分14sin（2A+ ）=sin2Acos +cos2Asin = 13 分6 6 63518【解析】（）由正弦定理化简已知可得 b= c，又 a-c= b，可求 a=2c，由余弦定理可得 cosA 的值（）利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A 的值，根据两角和的正弦函数公式可求 sin（2A+ ）的值本题主要考查了正弦定理，
21、余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17.【答案】（I）证明：过 M 作 MNAD，交 PA于 N，连接 BN，MN = ，即 MN= AD，=13 13又 BCAD，BC = AD，13MNBC，MN=BC ，四边形 BCMN 是平行四边形，CMBN ，又 BN平面 PAB，CM平面 PAB，CM平面 PAB（II）证明：PB 平面 ABCD，AD 平面 ABCD，PBAD，又 ADAB，PB 平面 PAB，AB平面 PAB，PB AB=B，AD平面 PAB，又 AD平面 PAD，平面 PAD平面 PA
22、B（III）取 PA 的中点 F，连接 BF，DF ，PB=AB，BFPA，由（II）知平面 PAB平面 PAD，又平面 PAB平面 PAD=PA，BF平面 PAD，BDF 为直线 BD 与平面 PAD 所成的角PB=AB=AD=3，PA=3 ，2第 13 页，共 16 页BF= PA= ，BD=3 ，12 322 2sinBDF= = ，BDF= 12 6直线 BD 与平面 PAD 所成角为 6【解析】（I）过 M 作 MNAD 交 PA 于 N，证明四边形 BCMN 为平行四边形可得CMBN，故 CM平面 PAB； （II）根据 PB平面 ABCD 得 PBAD，结合 ADAB 可得 AD
23、平面 PAB，故而平面 PAD平面 PAB； （III）取 PA 中点 F，可证 BF平面 PAD，在 RtBDF 中计算 sinBDF本题考查了线面平行，面面垂直的判定，考查线面角的计算，属于中档 题18.【答案】解：（1）依题意公比为正数的等比数列a n（n N*），首项 a1=3，设 an=3qn-1，因为 S3+a3、S 5+a5、S 4+a4 成等差数列，所以 2（S 5+a5）= S3+a3+S4+a4，即 2（a 1+a2+a3+a4+2a5）=（a 1+a2+2a3+（a 1+a2+a3+2a4），化简得 4a5=a3，从而 4q2=1，解得 q= ，12因为a n（nN *）
24、公比为正数，所以 q= ，a n=6（ ） n，nN*；12 12（2）b n= =n（ ） n，6 12则 Tn=1（ ）+2（ ） 2+3（ ） 3+（n-1）（ ） n-1+n（ ） n，12 12 12 12 12Tn=1（ ） 2+2（ ） 3+3（ ） 4+（n-1 ）（ ） n+n（ ） n+1，12 12 12 12 12 12两式相减可得 Tn= +（ ） 2+（ ） 3+（ ） 4+（ ） n-n（ ） n+112 12 12 12 12 12 12= -n（ ） n+1，12(112)112 12化简可得 Tn=2-（n+2）（ ） n12【解析】（1）设公比为 q0，由
25、等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得 q，即可得到所求通项公式；第 14 页，共 16 页（2）求得 bn= =n（ ）n，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列中项的性质，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题19.【答案】解：（）由题意可知：椭圆的离心率为 e = = 即 a2=4b2， 12232由椭圆 C： + =1（ab0）过点 M（2，1），代入可知： ，2222 442+12=1解得：b 2=2，则 a2=8，椭圆 C 的方程 ；28+22=1（）显然，直线
26、 l 的斜率 k 存在，设 P（x 0，y 0），则 Q（- x0，-y 0），（1）当 k=0，直线 PQ 的垂直平分线为 y 轴，y 轴与直线 m 的交点为 M（0，2 ），6由丨 PO 丨=2 ，丨 MO 丨=2 ，2 6MPO=60，则MPQ 为等边三角形，此时直线 l1 的方程为 y=0，当 k0 时，设直线 l1 的方程为 y=kx，则 ，整理得：（1+4k 2）x 2=8，解得：丨 x0 丨= ，则丨 PO 丨= =28+22=1 81+42 1+2，81+42则 PQ 的垂直平分线为 y=- x，1则 ，解得： ，则 M（- ， ），+26=0=1 =26+1=26+1 26+
27、1 26+1丨 MO 丨= ，24(2+1)(+1)2MPQ 为等边三角形，则丨 MO 丨= 丨 PO 丨，3 = ，解得：k=0（舍去），k= ，24(2+1)(+1)2 3 1+2 81+42 23直线 l1 的方程为 y= x，23综上可知：直线 l1 的方程为 y=0 或 y= x23【解析】（）椭圆的离心率为 e = = 即 a2=4b2，将点 M（2，1），代入椭圆方程即可求得 a 和 b 的 值，求得椭圆 C 的方程；第 15 页，共 16 页（）当 k=0，直线 PQ 的垂直平分线为 y 轴， y 轴与直 线 m 的交点为 M（0，2），满足MPQ 为等边三角形，求直 线 l1
28、 的方程 y=0，当 k0 时，设直线 l1的方程为 y=kx，代入椭圆方程，求得丨 PO 丨，则垂直平分线的方程 y=- x，与直线 l2：x-y+2 =0 上存在点 M 坐标，由等 边三角形的性质可知：丨 MO丨= 丨 PO 丨，代入即可求得 k 的值，求得直 线 l1 的方程本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查等边三角形的性质，考查计算能力，属于中档题20.【答案】解：（）当 a=1 时，f（x ）=lnx-x 2+x，函数的定义域为（0，+）f（x）= 12+1=(2+1)(1)当 f（x）0 ，即 0x1 时，函数 f（x ）单调递增；当 f（x）0 ，即 x1 时，函
29、数 f（x ）单调递减函数 f（x）的单调增区间为（ 0，1）；单调递减区间为（1，+ ）；（）f（x）= 2+21=(2+1)()当 a0 时，f （x ）0 恒成立， 函数 f（x）在（0，+）内单调递减，无极值；当 a0 时，令 f（x ）=0，得 x=a当 x（0，a）时， f（x ） 0，当 x（a，+）时，f （x）0，当 x=a 时，函数 f（x ）取得极大值 f（a）=a（ln a+a-1）；（）由（）知，当 a0 时，函数 f（x）在（0，+）内单调递减，则 f（x）至多有一个零点，不符题意，舍去；当 a0 时，函数 f（x ）取得极大值 f（a）=a（ln a+a-1），令
30、 g（x）=lnx+x-1（x 0），g（x）= 0，g（x ）在（0，+ ）内单调递增，1+1又 g（1）=0， 0x1 时，g（x）0，x1 时，g（x ）0当 0a1 时，f（a）=ag（ a）0，则 f（x）至多有一个零点，不合题意；当 a1 时，f（a）=ag（a ）0f（ ）=a（ ） 01 21 121函数 f（x）在（ ，a）内有一个零点；1f（3a-1）=aln（3a-1 ）-（3 a-1） 2+（2a-1 ）（3a-1）=aln （3a-1 ）-（3a-1） ，设 h（x）=lnx-x （x2），h （ x）= 0，11h（ x）在（2，+）内单调递减，则 h（3a-1）h
31、（2）=ln2-20f（3a-1）=a h（3a-1 ）0函数 f（x）在（a，3a-1）内有一个零点当 a 1 时，函数 f（x ）恰有两个不同零点第 16 页，共 16 页综上，当函数 f（x ）有两个不同的零点时，a 的取值范围是（1，+）【解析】（）当 a=1 时，f （x）=lnx-x2+x，求其导函数，由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性；（）f（ x）= 当 a0 时 ，f（x）0 恒成立，函数f（x）在（ 0，+）内单调递减，无极 值；当 a0 时，令 f（x）=0，得 x=a由单调性可得当 x=a 时，函数 f（x）取得极大值 f（a）=a（lna+a-1）；（）由（）知，当 a0 时，函数 f（x）在（0， +）内单调递减，则 f（x）至多有一个零点，不符题意，舍去；当 a0 时，函数 f（x）取得极大值 f（a）=a（lna+a-1），令 g（x）=lnx+x-1（x0），讨论 g（x）的单调性，再分 0a1 和 a1 分析函数f（x）的零点情况，可得当函数 f（x）有两个不同的零点时，a 的取值范围是（1，+）本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于 难题