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2019高考数学(理)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做12 函数与导数:存在、恒成立与最值问题

1、精选大题2019广州一模已知函数 elnxfa(1)若 ,求 的单调区间;eax(2)当 时,记 的最小值为 ,求证 0fm1【答案】 (1)函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ;(2)见解析fx0, 1,【解析】 (1)当 时, , 的定义域是 ,eaelnxffx0,,1x xfx当 时, ;当 时, 00f10f所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 fx, 1,(2)证明:由(1)得 的定义域是 , ,fx0,exfxa令 ,则 , 在 上单调递增,exga1exgg,因为 ,所以 , ,000a故存在 ,使得 0,xa00exg当 时, , , 单调递减;,x10xfaf

2、x当 时, , , 单调递增;0,x0gexff故 时, 取得最小值,即 ,fx000lnxmfax由 ,得 ,0exa00enllxxa令 , ,则 ,lh1lnlhx函数与导数:存在、恒成立与最值问题大题精做十二当 时, , 单调递增,0,1xln0hxlnhx当 时, , 单调递减,,llx故 ,即 时, 取最大值 1, 1xalnhxm模拟精做12019青海联考已知函数 e1xfa(1)讨论函数 的单调性;fx(2)当 有最小值,且最小值不小于 时,求 的取值范围f 21aa22019咸阳模拟设函数 , 1exfxmR(1)当 时,求 的单调区间;1m(2)求证:当 时, 0,x1le

3、n2x32019东莞期末已知函数 ,函数 lnxfb2gxfx(1)求函数 的单调区间;fx(2)设 , 是函数 的两个极值点,若 ,求 的最小值1212gx13b12gx答案与解析1 【答案】 (1)见解析;(2) 0,1【解析】 (1) ,exfa当 时, ,所以函数 在 上单调递增;0a0xffxR当 时,令 ,解得 ,lna当 时, ,故函数 在 上单调递减;,lnxa0fxfx,lna当 时, ,故函数 在 上单调递增l,ffl,(2)由(1)知,当 时,函数 在 上单调递增,没有最小值,故 0afxR0a,2minlln1fxf a整理得 ,即 2l0aal0令 ,易知 在 上单调

4、递增,且 ;n()gga,10g所以 的解集为 ,所以 l20a0,10,12 【答案】 (1)见解析;(2)见解析【解析】 (1)当 时, , ,令 ,则 m1exfx1exf1e0xf 当 时, ;当 时, ,0x0fx0f函数 的单调递增区间是 ;单调递减区间是 f ,0,(2)由(1)知,当 时, ,1mmax0ff当 时, ,即 ,0,xe0xe1当 时,要证 ,只需证 ,, 1ln22exx令 ,2eexxxF,2eln1e1eexxxxxxF 由 ,可得 ,1x21x则 时, 恒成立,即 在 上单调递增, 0,0F Fx0,0Fx即 , 2e1xxln2x3 【答案】 (1)函数

5、 的增区间为 ; 的减区间为 ;(2) f0,efxe,143ln2【解析】 (1)由题意知, 的定义域为 fx,,当 时,解得 ;当 时, 2lnxf0fe0fxex所以函数 的增区间为 ; 的减区间为 f,efxe,(2)因为 ,从而 ,22lngxfxb2141xbgx令 ,得 ,由于 ,02410b69103设方程两根分别为 , ,由韦达定理可知, , ,1x2 124bx12x2121lnlngxbx122lnbx,211212ln4x11122122llxx设 ,则 ,12tx12lnghtt因为 ,所以 ,又 ,所以 ,120120,xt13b12134bx所以 ,211269448xtx整理得 ,解得 或 所以 ,250tt12tt10,2t,所以 在 单调递减,22110thtt ht10,2,故 的最小值是 43ln1t12gx43ln