1、精选大题2019长沙统测已知三棱锥 （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 为边长PABC ABCD等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥 中：2E F PABC（1）证明：平面 平面 ；（2）若点 在棱 上运动，当直线 与平面 所成的角最大时，求二面角 的MPABMACPBCM余弦值图一 图二【答案】 （1）见解析；（2） 53【解析】 （1）设 的中点为 ，连接 ， ACOBPO由题意，得 ， ， 2PABC1PO1ABCO在 中， ， 为 的中点， ， P在 中， ， ， ， ， O 122POB ， ， 平面， 平面 ，ACBABOABC立体几何：建系困难问题大题精做二 数列
2、大题精做七 平面 ，平面 平面 POACPABC（2）由（1）知， ， ， 平面 ，BOOPA 是直线 与平面 所成的角，且 ，M 1tanBOM当 最短时，即 是 的中点时， 最大PAB由 平面 ， ， ， ，POBCPC于是以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图示空间直角坐标系，Dxyz则 ， ， ， ， ， ，0,O1,0C,10B,0A,1P1,02M， ， ,B,P3,2MC设平面 的法向量为 ，MC1,xyzm则由 得： 令 ，得 ， ，即 0B103z11y13z1,3m设平面 的法向量为 ，PC2,xyn由 得： ，令 ，得 ， ，即 0Bn20z1y1z,1n由图
3、可知，二面角 的余弦值为 53cos,nmPBCM53模拟精做12019安庆期末矩形 中， ， ，点 为 中点，沿 将 折起至ABCD12ADEABEA，如图所示，点 在面 的射影 落在 上PBE PEOB（1）求证：面 面 ；PCEB（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值D22019南阳期末如图 1，在矩形 中， ， ，点 在线段 上，且ABCD3525BCEDC，现将 沿 折到 的位置，连结 ， ，如图 25DEAED E D（1）若点 在线段 上，且 ，证明： ；PBC52PAEDP（2）记平面 与平面 的交线为 若二面角 为 ，求 与平面 所成角ADElB23lDCE的正弦值320
4、19苏州调研如图，在四棱锥 中，已知底面 是边长为 1 的正方形，侧面PABCDABCD平面 ， ， 与平面 所成角的正弦值为 PADBCA 27（1）求侧棱 的长；PA（2）设 为 中点，若 ，求二面角 的余弦值EBABPCE答案与解析1 【答案】 （1）详见解析；（2） 1【解析】 （1）在四棱锥 中， ， ，从而有 ，PBCDE2BCEB又 面 ，而 面 ， ，而 、 面 ，且 ，POEPOPOE由线面垂直定理可证 面 ，又 面 ，由面面垂直判断定定理即证面 面CEPBCCPBE（2）由条件知 面 ，过点 做 的平行线 ，ODEOEZ又由（1）知 面 ，以 、 、 分别为 、 、 轴建立
5、空间直角坐标系，PBxyz如图所示：， ， ， ， ，2,0P0,2C2,0D2,CP2,0DC面 的一个法向量为 ，BE1,n设面 的法向量为 ，则有 ，PCD2,xyz220xyz从而可得面 的一个法向量为 ， ，21,3n121cos,n设平面 与平面 所成锐二面角为 ，与 互补，则 ，PCDBE12,cos故平面 与平面 所成二面角的余弦值为 2 【答案】 （1）详见解析；（2） 15【解析】证明：（1）先在图 1 中连结 ，在 中，由 ， ，DPRtAE 25DBCE得 ，在 中，由 ， ，tan2DAERtC 35B 3P得 ， ，则 ，1PCantaC ，从而有 ， ，即在图 2
6、 中有 ， ，90OAEODAEODP 平面 ，则 ；AE P解：（2）延长 ， 交于点 ，连接 ，根据公理 3 得到直线 即为 ，AEBCQDDQl再根据二面角定义得到 在平面 内过点 作底面垂线，23OPPO以 为原点，分别为 ， ，及所作垂线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，Oxyz则 ， ， ， ，0,13D1,0E1,0Q3,40C， ， ，,Q2,4C,1ED设平面 的一个法向量为 ，由 ，取 ，E ,xyzn2403xyzn1y得 32,1n 与平面 所成角的正弦值为 lDCE15cos,DQn3 【答案】 （1） 或 ；（2） PA1647【解析】 （1）取 中点 ， 中点
7、 ，连结 ， ， ， ，OBCMOPAPDOA又平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，DPADBC 平面 ， ， ，OPAB又 是正方形， ，C以 为原点 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 （如图） ，MOPxyzOxyz则 ， ， ， ，1,02A1,02D1,02B1,02C设 ，则 ， ，0,Pc1,2PBc1,0CB设平面 的一个法向量为 ，则有 ，BC11,xyzn1102xycz取 ，则 ，从而 ，1z1yc10,c设 与平面 所成角为 ， ，PABC1,02PAc ，解得 或 ，112sinco, 714cn234c21 或 PA26（2）由（1）知， ， ， ，1PABPA32c由（1）知，平面 的一个法向量为 ，C10,1n设平面 的一个法向量为 ，而 ， ，PE2xyz， ， ,02CE13,2PC 取 ，则 ， ，即 ，1023xy1xy3z21,3n设二面角 的平面角为 ， ，BPCE12642cos 7,根据图形得 为锐角，二面角 的余弦值为 BPCE47