1、12019 年全国普通高等学校招生统一考试预测卷（江苏卷）数学参考公式：1. 棱锥的体积 ，其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高ShV31h2. 样本数据 的方差 ，其中 12,nx 221()niisx1nix一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在答 题 卡 的 指 定 位 置 上 1已知集合 ， ， ，则 ,235U,2A1,4B()UAB2已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 iz(i)zz3用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 的样本，其中高一年级抽 人，高3012
2、三年级抽 人，若该校高二年级共有学生 人，则该校学生总数为 854已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出 的值为 S5在四面体的所有棱中任取两条棱，则这两条棱所在直线是异面直线的概率是 6正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 1，则此三棱锥2的体积为 7在 中， ， ，且 的面积为ABC3o0ABC，则 边长为 15348设等比数列 的前 项和为 ，且 ，nanS201a开始结束输出 S10n2YN0,1Sn（第 4 题图）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题） 。本卷满分为 160 分，考试时间为 12
3、0 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。2则 2013Sa9在矩形 中， ，垂足为 ，ABCDPBP若 ，则 3P10已知 ，则满足不等式 的 的取值范围为 ()2fx(2)(1fxfx11已知实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为 y54xy4y12已知圆 ，过点 的直线与圆 相交于 、 两点，若22:(1)(3)Cr(2
4、,0)PCAB点恰是线段 的中点，则圆 的半径的取值范围是 APBC13在平面直角坐标系中，动点 到两直线 和 的距离之和为(,)abxyl:12:2xyl，则 的最大值为 22ab14已知函数 ，且 的四个零点构成edxcxxf 234)( (,abcdR0)a一个公差为正数的等差数列， 的导数为 ，若 的所有零点中最大值与最小()f)f)(xf值之差为 且 ，且则该等差数列的公差的取值范围是 M5,二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内15已知向量 ， (cos,in)a(2,1)b（1）若 ，求 的值；bs
5、i（2）若 ， ，求 的值2a),0()4in(16如图，在三棱锥 中，点 、 分别是棱 、 的中点PABCEFPCA（1）求证： 平面 ；/（2）若平面 平面 ， ， PB求证： PA BCFE（第 16 题图）DAB CP（第 9 题图）317如图所示， 是一块直角梯形铁皮，其中 ， ， ， OABC/OABCA3ON米， 是一半径为 6 米的扇形， ，扇形 及 已7MNNMC经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用工人师傅想在未被腐蚀部分截下一块矩形铁皮 ，其中点 、 、 分别落在 、 和弧PDBEEPAB上设 ，矩形 的面积为 平方NODS米（1）求 关于 的函数解析式；S（2）求 的最大
6、值及此时 的值18已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过 作直线 与椭圆2:1(0)xyCab1F2l交于点 、 MN（1）若椭圆 的离心率为 ，右准线的方程为 ， 为椭圆 上顶点，直线 交24xMCl右准线于点 ，求 的值；P1N（2）当 时，设 为椭圆 上第一象限内的点，直线 交 轴于点 ，24abClyQ，证明：点 在定直线上1FMQDABCPEO MMNM（第 17 题图）419已知数列 、 的前 项和分别为 、 ，且 （ ） nabnnST12na*N（1）若 ，求证： ；12n1na（2）若 是公差不为 的正项等差数列，且 、 、 成等比数列，a01a3k（i）若 ， ，求数列 的
7、前 项和 ；13k21nbnR（ii）若存在整数 ，使得 、 、 、 成等比数列，求证： 是奇数mk3kmk20已知函数 ， ()lnfx21()0gxabx（1）当 ， 时，求函数 的单调区间；2ab()yfg（2）当 时，若对任意的 、 ，都有 成立，求实数 的取值范1s1,te()fstb围；（3）设函数 的图象 与函数 的图象 交于点 、 ，过线段 的中点()fx1C()gx2CPQP作 轴的垂线，分别交 、 于点 、 问是否存在点 ，使 在 处的T2MNT1CM切线与 在 处的切线平行？若存在，求出点 的横坐标；若不存在，请说明理2NT由52019 年全国普通高等学校招生统一考试预测
8、卷（江苏卷）数学（附加题）21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知矩阵 ， 1234M013N（1）求矩阵 ；（2）若点 在矩阵 对应的变换作用下得到 ，求点 的坐标P(0,1)QPB选修 4-4:坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）已知极坐标系的极点 与直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的正半轴重合，曲线 ：Ox1C与曲线 ： （ ）交于 、 两点求弦 的长cos()242C24,xtyRABAC选修 4-5：不等
9、式选讲（本小题满分 10 分）设 ， ， ， ，且 ，求 的值xyzR221xyz4329xyzxyz6【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分 10 分）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 为棱1ABCABC2A12D的中点BC（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；1D1（2）求平面 与平面 所成角的余弦值AB23.（本小题满分 10 分）已知 ， 1nnfx*N（1）求出 展开式中的所有有理项；4（2）记 展开式中所有无理项的系数和为 ，数列 满足 ， nfx nPna01n
10、*N用数学归纳法证明： 12 121nna （第 22 题图）A BCDA1 B1C172019 年全国普通高等学校招生统一考试预测卷（江苏卷）答案1 2 3 4 5677 81 9 103,451502118,111213 1423,218,315 （1）由 可知， ，所以 ， 2 分abcosin0tan所以 6 分sinta213（2）由 可得，(co2,si)，2(n1ab64cos2in即 ， 10 分12cosi0又 ，且 ，由可解得， ， 12 分22in1)2,(3si54co所以 14 分3472si()(sico)()4251016 （1）在 中， 、 分别是 、 的中点，
11、所以 ，PACEFPCA/PAEF又 平面 ， 平面 ，BBEF所以 平面 6 分/（2）取 中点 ，连结 ，由 可知， ，DD又平面 平面 ，平面 平面 ，PABCPABCAB平面 ，所以 平面 ， 8 分又 平面 ，所以 ， 10 分C又 ， ， 平面 ，PBDPBPAB平面 ，所以 平面 ， 12 分AC又 平面 ，所以 14 分17 （1）延长 交 于 ，在直角梯形 中，可知 EPOMFOABC，在直角 中， ， ，F6PFDABCPEO MMNM（第 17 题图）FM（第 16 题图）PA BCFED8 ， ，6cosOF6sinP ， ，从而7iE7coD(76sin)(cos)S
12、PED，故 S 关于 的函数解析式为492(snc)3si，4 分io6ncS(0)3（2）由 ，可得 ，snct22siot1sinco可得 ， 8 分21io2498()431Stt又由 ，可得 ，故 ，03712 sincosin(),2 （ ） 12 分21841St,t又由 ， ，可知当 ，即 时， 取最大值，27()6,2t4S故 的最大值为 S4答：（1）S 关于 的函数解析式为 ，492(sinco)36sincoS(0)3（2）当 时， 取最大值 平方米 14 分4S(67)18 （1）设 ，则 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ，2 分2(,0)Fc214a21acC2143x
13、y可得 ， ， 则直线 的方程为 ，令 ，可得(,3)M2(1,)l3(1)yx，4P联立 ，得 ，所以 ， ， 4 分2()13yx2504x(,)M83(,)5N所以 622221 11843(04)(3)83(4)()55PMN分（2）设 ， ，则直线 的方程为 ，00(,),)xy2(,0)Fcl0()yxc令 ，可得 ， 8 分0(,yQx9由 可知， ，整理得 ，1FMQ1001FMQcyxk220yxc又 ，所以 ，24ab224cab联立 ，解得 ，又 在第一象限内，所022()14yxa 20()xayM以 14 分02xay所以点 在定直线 上 16 分M2xy19 （1）
14、由题意知， 是首项为 ，公比为 的等比数列，nb12所以 ，代入 ，可得 ，所以 31()22nnnT1naT2na1nab分（2）解：设 的公差为 ，由 、 、 成等比数列可得， ，nad(0)1a3k 231ka即 ，解得 或 （舍） 211()dk154d0d（i）当 ， 时， ，所以 ， 5 分3ka22()nan代入 ，可得 ，2nT1nT当 时， ，11b当 时， ，n212nnn所以 ， ， 7 分211, ,34nnb*N当 时， ，12134nnR则 ，23144n n10由-得 222311()312334()4444nn nn nR ，76134n所以当 时， ，当 时，
15、 ，成立，2n16(4)9nnR11bR故数列 的前 项和 10 分21nb 1nn（ii） ，111()5()4mmkadaa由 、 、 、 成等比数列可得 ，13k33311 12()()()8madk又 ，所以 ，即 ，10a(1)5(48k34()5()因为 是偶数，所以 也是偶数，即 是偶数，24m3)kk故 是奇数 16 分k20 （1）当 ， 时，函数 ，定义域为 ，a1b2()lnyfxgx(0,)则 ，令 ，得 ；令 ，得 ，2 xyx01y1x所以函数 的单调增区间为 ，减区间为 3 分()fg(,)(,)（2）由题意知， 在 上恒成立，而 在 上的最大值为 ，max1,e
16、fx1,e1所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，21()gxb, 2b,令 ，则 ，h2()hx当 时， ， 在 上单调减；12x01,当 时， ， 在 上单调增，e()hx(),e而 ，所以 ，1(2)()102hmax1()()2eh所以实数 的取值范围为 8 分b,e（3）设 ， ， ，且 ，则 ，1(,)Pxy2(,)Qxy0(,)Txy12x120x11由 ， 可得， 在点 处的切线斜率为 ，1()fx()gxab1CM12kx在点 处的切线斜率为 2CN22()xkb假设存在点 ，使 在点 处的切线与 在点 处的切线平行，则 ，T12N12k即 ， 10 分212()axb所以
17、，2 2211 2211212()()()()()lnlnxaaxxbxbxx所以 13 分221112()()lnxx令 ，考虑函数 ，则 ，21xu2(1)()lnu2214(1)() 0()uu所以 在 上单调递增，(),)所以 ，即 ，即 ，()10u2(1)lnu21()lnx故不存在点 ，使 在 处的切线与 在 处的切线平行 16 分T1CM2CN数学（附加题）21.A （1） ； 5 分120253449N（2）设 ，则 ，即 ，解得 ，(,)Pxy1xy01xy21xy即 10 分5(,1)B曲线 的直角坐标方程 ，曲线 的普通方程是 ，1C4xy2C24yx12联立 ，消去
18、，得 ，设 ， ，24yx24160y1(,)Axy2(,)By则 ， ，所以 ，12612121212()40ABy即弦 的长为 10 分AB40C由柯西不等式可得， ，2222()(43)(43)9xyzxyz则 ，又 ，29(3)xyz9所以 ，代入 ，解得 ， ， ，4221xyz2x9y2z所以 10 分9xyz22.以 为坐标原点， 、 所在的直线分别为 、 轴，AACBxy建立空间直角坐标系 ，xyz则 ， ， ， ，1(0,2)(,0)(,20)(1,)D，B所以 ， ， ， ，(,)AC1(,)A(,0)A1(,2)B（1）设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，1 ,xyzm1C
19、m0xz取 为平面 的一个法向量(0,)m1C所以 ，110cos, 1DB所以直线 与平面 所成角的正弦值为 6 分11A0（2）设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，1DB(,)xyzn1ADBn02xyz取 为平面 的一个法向量所以 ，2(,)n1A 10cos, 5mn所以平面 与平面 所成角的余弦值为 10 分1AC1DB10523.（1） 展开式中的通项为 ， ，44fx14()rrTCx,234（第 22 题图）A BC DA1 B1C1xyz13有理项为 ， ， 3 分1T234()6Cx25Tx（2）由题意知， ， 5 分1nP当 时， ，成立；0112a假设当 时，不等式成立，即nk，112 2kkaaa 那么，当 时，1211211k kkaa 121kkk12121kkkaa 1212121kkkkka 1121121kkkk kaa 由 可知， ， ，01na10ka0所以 ，121121kkk kaa 所以当 时，不等式仍然成立，nk综合可知， 对任意 都成12 12nnPaaa *N立10 分