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北京市东城区2019年5月高三数学理科综合试卷(二)答案解析

1、 北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习(二)数学 (理科)本试卷共 4 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将答题卡交回。第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1 )已知集合 ,则22,10,0ABxABR(A) (B) (C) (D) , ,11,02答案:A考点:集合的运算,一元二次不等式。解析: , ,12Bx12RCBx或所以, 。AR(2 ) 执行如图所示的程序框图,输入 ,那么输出的 的值分别为

2、,5ab,ab(A) , (B ) , (C) , (D) , 733352答案:D考点:程序框图。解析:a a b7,bab7 52 ,aab725,所以,a 5 ,b2(3 )已知向量 与 不共线,且 , 若 三点共线,则实aABmab(1).ACnab,BC数 满足的条件为,mn(A) (B) 1n(C) (D) 1答案:C考点:平面向量共线的性质。解析:因为 三点共线,所以, ,,ABABC即 ,所以,有 ,解得:()ambn1nm1n(4 ) 鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片,下图是其中一个构件的

3、三视图(单位: ) , 则m此构件的体积为 (A) (B) (C) (D)340m30m320m30m答案:C考点:三视图。解析:V2010020 402010 40000800032000,选 C。(5 )已知 是等差数列 的前 项和,则“ 对 恒成立”是“ ”的nSnanSa234a(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件答案:C考点:充分必要条件,等差数列。解析:由 ,得: ,化简,得: ,nSa1)(2na1na即 ,即, ,因 ,所以,d0,所以, 成立,1()ad()0d234a反过来,若 ,则 d0,上面的推导过来,可得

4、 成立,所以,是充分必要条件。34 nS(6 )教室的图书角摆放了一些阅读书目,其中有 3 本相同的论语、 6 本互不相同的近代文学名著,现从这 9 本书中选出 3 本,则不同的选法种数为(A) 84 (B) 42 (C) (D)4135答案:B考点:排列组合。解析:取出的论语书可能有 3 本、2 本、1 本、0 本,所以,不同的选法有: 16 15204236C(7)已知正方体 的棱长为 , 是底面 上的动点, ,则满1ABD2PABCD1PAC足条件的点 构成的图形的面积等于P(A) (B) (C) (D) 124472答案:A考点:正方体的结构特征,直线方程,空间直角坐标系。解析:以 A

5、 为原点建立空间直角坐标系,A (0,0,0) , P(x,y,0) ,C1 (2,2,2) ,PAPC1, ,222()()4xyy化简,得: ,如下图,当点 P 在EFC 内时满足 PAPC1,410学 科 网E、F 分别为 BC、CD 的中点,所以,S 12(8)在交通工程学中,常作如下定义:交通流量 (辆/小时):单位时间内通过某一道路横断面的车辆数;Q车流速度 (千米/小时):单位时间内车流平均行驶的距离;V车流密度 (辆/千米):单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.K一般的, 和 满足一个线性关系: (其中 是正数) ,则以下说法正确的0=(1)KVvk0,vk是(A) 随着车流

6、密度的增大,车流速度在逐渐增大 (B) 随着车流密度的增大,交通流量在逐渐增大 (C) 随着车流速度的增大,交通流量先减小、后增大 (D) 随着车流速度的增大,交通流量先增大、后减小答案:D考点:二次函数。解析:由 ,得: ,0=(1)KVvk0=kVv由单位关系,得:QVK ,0()20k可以是看成是 Q 与 V 的二次函数,开口向下,图象先增大,再减小,所以,随着车流速度 V 的增大,交通流量 Q 先增大、后减小。第二部分(非选择题 共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。( 9 )已知复数 在复平面内对应的点为 ,则 关于虚轴对称的点位于第 象限.1i2zZ

7、答案:四考点:复数的运算,复数的几何意义。解析: ,对应的点 Z( ) ,Z 在第三象限,关于虚轴对1i2z(i)12zi1,2称点在第四象限。( 10 )已知 , ,若 , ,则满足条件的 可以为2log6a5l1b3logambNm_.答案: (答案不唯一)9考点:对数运算。解析: , ,2log6a2l455log1l2b所以,a2,1b2,由 ,知 取 2 即可,即 2,m93am33log( 11)椭圆 与曲线 关于直线 对称, 与 分别在第一、二、三、四象214:xyCb2Cyx1C2限交于点 若四边形 的面积为 4,则点 的坐标为_, 的离心率为234,.P134PP1C_ 答案

8、: 61,3考点:椭圆的性质。解析:椭圆 与关于直线 对称的曲线 是 ,214:xyCbyx2C241yxb由椭圆的对称性知四边形 是矩形,又点 P2在直线 上,所以,四边形 是正方1234Pyx1234P形,点 P1 的坐标为(1,1) ;点 P1(1,1)在椭圆上,所以 ,解得:b ,21423c ,263ab离心率为: 12ce( 12)将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,sin3cosyx6()ygx则 = .5()6g答案: 3考点:三角恒等变换,三角函数图象的平移变换。解析: ,图象向左平移 个单位长度,得:sin2cosyx2in()3x6 ,()gi()i63

9、 。5()652sin()2sinsi(2)3(13 )设关于 的不等式组 表示的平面区域为钝角三角形及其内部,则 的取,xy0,21xym m值范围是 . 答案: 12,0(,)考点:线性规划。解析:直线 2xy0 化为:y2x,直线 mxy10 过定点 A(0,1) ,如上左图,当直线 mxy1 0 的斜率在(2,0)变化时,可得ABO 为钝角三角形,即 m(2,0) ;上右图中,过 A 的直线垂直 2xy0 时,斜率为 ,12直线绕 A 逆时针旋转到与 y 轴接近重合时,都满足三角形 ABO 为钝角三角形,所以,有 m ,12综上,可得: 的取值范围是 12,0(,)(14 )已知函数

10、,对于任意实数 ,当 时,记 的最大值为()fx,xab0xb0|()|fx.,0()abD若 ,则 ;2(1)fx0,3()D若 则 的取值范围是 . ,xf,2(1)a答案: 31,4考点:分段函数的图象,阅读新知识,解决问题的能力。解析:由 ,得 2, ,0,3()D0x,3ab记 g(x) ,因为 x0,3 ,|f22(1)()|xg(0)0,g(3)3,所以,有最大值 3。由题意, ,所以,a3,1 ,2a所以,只要研究3,1上的图象与 f(1)1 的距离的最大值即可,当 时,最大值为 4,当 时,最大值为 1,所以,取值范围为1,42a三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写

11、出文字说明,演算步骤或证明过程。(15 ) (本小题 13 分)如图,在四边形 中 ,ABCD7,2,CDA2.3C()求 的正弦值;() 若 ,且 的面积是 面积的 4 倍,求 的长.2 AB(16 ) (本小题 13 分)某工厂的机器上有一种易损元件 A,这种元件在使用过程中发生损坏时,需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件 A 在次日早上 8:30 之前送到维修处,并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件 A 的维修工作.每个工人独立维修 A 元件需要时间相同.维修处记录了某月从 1 日到 20 日每天维修元件 A 的个数,具体数据如下表:日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6

12、 日 7 日 8 日 9 日 10 日元件 A 个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日元件 A 个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24从这 20 天中随机选取一天,随机变量 X 表示在维修处该天元件 A 的维修个数. ()求 的分布列与数学期望;X()若 ,且 ,求 最大值;,abN6a()Pb()目前维修处有两名工人从事维修工作,为使每个维修工人每天维修元件 A 的个数的数学期望不超过 4 个,至少需要增加几名维修工人? (只需写出结论)(17

13、 ) (本小题 14 分)如图,四边形 和三角形 所在平面互相垂直, , ,ABCDAEABCDB, , , ,平面 与平面 交于 60D4EEF()求证: ;EF()若 ,求二面角 余弦值;-()在线段 上是否存在点 使得 ?若存在,求 的长;BCMAEBM若不存在,说明理由(18 ) (本小题 13 分)已知点 到抛物线 准线的距离为 2.1,2P2:0Cypx()求 C 的方程及焦点 F 的坐标;()设点 关于原点 的对称点为点 ,过点 作不经过点 的直线与 交于两点 ,OQOC,AB直线 分别交 轴于 两点.求 的值.,PABx,MNF(19 ) (本小题 14 分)已知函数 ()si

14、nf()求曲线 在点 处的切线方程;yx(,)2f()若不等式 在区间 上恒成立,求实数 的取值范围()cosfa0,a(20 ) (本小题 13 分)若 行 列的数表 满足: ,n121212nnnaaLM()01ija, (2)ijnL, , , , 1ikam, ,记这样的一个数表为 .对于(12,0)im, , ,L10(,1,)ikjaijnijL()nA记集合 表示集合 中元素的(),nA1(,) ,.nijikjTnijij N, (,)Tnm(,)Tm个数.()已知 写出 的值;310(2),A(13,)ijjij,()是否存在数表 满足 若存在,求出 ,若不存在,说明理由;4

15、()(42)T, ? 4(2)A()对于数表 ,求证: .()0,)nAmnN(,)2nTm北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习(二)2019.5 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)(1)A (2)D (3)C (4)C (5)C (6)B (7)A (8)D二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)(9)四 (10) (答案不唯一)9(11) (12) 1,3 3(13) (14)2,0(,)1,4三、解答题(共 6 小题,共 80 分)(15) (共 13 分)解:() 在 中,设 ,ACD(0)x

16、由余弦定理得 ,227=4cos3整理得 ,解得 .2x1x所以 1,.ADC由正弦定理得 ,解得2sinsi3A21sin.7DAC6 分()由已知得 ,4ABCDS所以 ,11sinsin22ACD化简得 sin4sin.ABCAD所以 2cosi,CAD于是 cs.因为 ,且 为锐角,1in7CAA所以 .27cossinDC因此 7.B.13 分(16) (共 13 分)解:()由题意可知, X 的所有可能取值为 ,9,1258,4且 ; ; ;3(9)20P()0PX7()0PX; .(18)X3(4)2所以 的分布列为:X 9 12 15 18 24P 32052072020320

17、故 的数学期望 .5 分35()9+1+184=15EX()当 取到最大值时,(ab的只可能为: 或 或, ,152,8ab,4.经计算 , , ,(9)20PX1()20PX5(824)0PX所以 的最大值为 . 10 分()ab153=4()至少增加 2 人 13分(17) (共 14 分)解:()在四边形 中, ABCD因为 平面 , 平面 ,EABE所以 平面 因为 平面 ,且平面 平面 ,CDF所以 4 分CF()如图,取 的中点 ,连接 , .在等腰 中,ADNBENAE.NA因为平面 平面 ,交线为 ,EC又 ,所以 平面 .AD所以 .B由题意易得 .AN如图建立空间直角坐标系

18、 ,xyz则 ,(0,)(2,0), ,(0,23)B3C, (,)D(,)E因为 ,所以 .F1,32)设平面 的法向量为 B(xyz,n(1,32),(3,0),BFBC则 即 0,Cn0,3.令 ,则 y1,xz于是 (,)n又平面 的法向量为 ,ABD(0,2)NE所以 5cos,n由题知二面角 为锐角,-CF所以二面角 的余弦值为 . 9AB5分()不存在满足条件的点 ,使 ,理由如下:MAE若 ,则 AME0A因为点 为线段 上的动点,设 , BC(01),MtCBt(,0)Muv则 ,(3,0)(3,)uvt解得 +t所以 , (,2)Et (35,0)Att所以 3=MAt 整

19、理得 ,此方程无实根20t所以线段 上不存在点 ,使 . BCME14 分(18) (共 13 分)解:()由已知得 ,所以2p.所以抛物线 的方程为 ,焦点 的坐标为 C4yxF1,0.4 分(II)设点 , ,由已知得 ,1()Axy2()B(,2)Q由题意直线 斜率存在且不为 0.设直线 的方程为 . 1(0)kxk由 得 ,241yxk, 248y则 .1212,k因为点 在抛物线 上,所以 , ,,ABC214yx2,11214Pykx22.PBky因为 轴,F所以1244PABPAByFMNkk.12124yy842k所以 的值为 2. MFN13 分(19) (共 14 分)解:

20、 ()因为 ,()sinfx所以 , , ,1cof()12f()12f所以曲线 在点 处的切线方程为 ()yfx,f .yx5 分()因为 ,所以 , ,0,2xsin0xcosx当 时, 恒成立, 恒成立,a()fcos0ax所以不等式 在区间 上恒成立.csxa0,2当 时,设 ,0()osincosgfxxa,()1cossin1()igx若 , , ,a()00a所以 在区间 上恒成立;)0x,2若 , , , , 12a10a1()cos0axsin0ax所以 在区间 上恒成立;()0gx,2所以 在区间 上单调递增,(),min()(0),gx所以当 时,不等式 在区间 上恒成立

21、;2a()cosfa,2当 时,令 ,()1)sihxgxa, 在区间 上恒成立,()21sincoshxa(0h,2所以 在区间 上单调递增, ,()gx0,2min()(0)2gxa,max()12ag所以存在 ,使得 .0,2x0()gx当 时, , 单调递减;()当 时, , 单调递增;0x0gx()x当 时, , 取得极小值;()而 ,所以 ,所以不等式 在区间 上不能恒成立,(0)g0gx()0gx,2所以不等式 在区间 上恒成立时实数 的取值范围是 .()cosfa,2a(,2.14 分(20) (共 13 分)解:() . 123213 分()不存在数表 ,使得 .理由如下:4

22、(2)A(4,2)1T假设存在 ,使得 .不妨设 ,4()(,)212344340()aaA的可能值为 . ij01,当 时,经验证这样的 不存在.=(4)ijij4(2)A当 时,有 ,这说明此方程组至少有两个方程的解相同,1()ijij2134=a不妨设 ,所以有 ,234410(2)aA234=1a这也说明此方程组至少有两个方程的解相同,这样的 只能为 或 ,4(2)A1010这两种情况都与 矛盾. 8(,)1T分() 在数表 中,将 换成 ,这将形成 ,()nAmijij()nAm由于 ,可得12ijijijinjaaL122()()(1)ijij injna,ij从而 .-Tnmn, ,当 时,由于 ,210(N)itjttaijnij, ,所以任两行相同位置的 1 的个数 .12又由于 ,而从 1 到 的整数个数 ,从而0ijnn().2nTm,13(,).2mTm从 而 当 时 都 有 ,分