1、 北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1 ）已知集合 ，则22,10,0ABxABR(A) (B) (C) (D) ， ,11,02答案：A考点：集合的运算，一元二次不等式。解析： ， ，12Bx12RCBx或所以， 。AR（2 ） 执行如图所示的程序框图，输入 ，那么输出的 的值分别为
2、,5ab,ab（A） ， （B ） ， （C） ， （D） ， 733352答案：D考点：程序框图。解析：a a b7，bab7 52 ，aab725，所以，a 5 ，b2（3 ）已知向量 与 不共线，且 ， 若 三点共线，则实aABmab(1).ACnab,BC数 满足的条件为,mn(A) (B) 1n(C) (D) 1答案：C考点：平面向量共线的性质。解析：因为 三点共线，所以， ，,ABABC即 ，所以，有 ，解得：()ambn1nm1n（4 ） 鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的
3、三视图（单位： ） ， 则m此构件的体积为 （A） （B） （C） （D）340m30m320m30m答案：C考点：三视图。解析：V2010020 402010 40000800032000，选 C。（5 ）已知 是等差数列 的前 项和，则“ 对 恒成立”是“ ”的nSnanSa234a(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件答案：C考点：充分必要条件，等差数列。解析：由 ，得： ，化简，得： ，nSa1)(2na1na即 ，即， ，因 ，所以，d0，所以， 成立，1()ad()0d234a反过来，若 ，则 d0，上面的推导过来，可得
4、 成立，所以，是充分必要条件。34 nS（6 ）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有 3 本相同的论语、 6 本互不相同的近代文学名著，现从这 9 本书中选出 3 本，则不同的选法种数为(A) 84 (B) 42 (C) (D)4135答案：B考点：排列组合。解析：取出的论语书可能有 3 本、2 本、1 本、0 本，所以，不同的选法有： 16 15204236C（7）已知正方体 的棱长为 ， 是底面 上的动点， ，则满1ABD2PABCD1PAC足条件的点 构成的图形的面积等于P(A) (B) (C) (D) 124472答案：A考点：正方体的结构特征，直线方程，空间直角坐标系。解析：以 A
5、 为原点建立空间直角坐标系，A （0，0，0） ， P（x，y，0） ，C1 （2，2，2） ，PAPC1， ，222()()4xyy化简，得： ，如下图，当点 P 在EFC 内时满足 PAPC1，410学 科 网E、F 分别为 BC、CD 的中点，所以，S 12（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量 （辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数；Q车流速度 （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离；V车流密度 （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.K一般的， 和 满足一个线性关系： （其中 是正数） ，则以下说法正确的0=(1)KVvk0,vk是(A) 随着车流
6、密度的增大，车流速度在逐渐增大 (B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大 (C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大 (D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小答案：D考点：二次函数。解析：由 ，得： ，0=(1)KVvk0=kVv由单位关系，得：QVK ，0()20k可以是看成是 Q 与 V 的二次函数，开口向下，图象先增大，再减小，所以，随着车流速度 V 的增大，交通流量 Q 先增大、后减小。第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（ 9 ）已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 关于虚轴对称的点位于第 象限.1i2zZ
7、答案：四考点：复数的运算，复数的几何意义。解析： ，对应的点 Z（ ） ，Z 在第三象限，关于虚轴对1i2z(i)12zi1,2称点在第四象限。（ 10 ）已知 ， ，若 ， ，则满足条件的 可以为2log6a5l1b3logambNm_.答案： （答案不唯一）9考点：对数运算。解析： ， ，2log6a2l455log1l2b所以，a2，1b2，由 ，知 取 2 即可，即 2，m93am33log（ 11）椭圆 与曲线 关于直线 对称， 与 分别在第一、二、三、四象214:xyCb2Cyx1C2限交于点 若四边形 的面积为 4，则点 的坐标为_, 的离心率为234,.P134PP1C_ 答案
8、： 61,3考点：椭圆的性质。解析：椭圆 与关于直线 对称的曲线 是 ，214:xyCbyx2C241yxb由椭圆的对称性知四边形 是矩形，又点 P2在直线 上，所以，四边形 是正方1234Pyx1234P形，点 P1 的坐标为（1，1） ；点 P1（1，1）在椭圆上，所以 ，解得：b ，21423c ，263ab离心率为： 12ce（ 12）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，sin3cosyx6()ygx则 = .5()6g答案： 3考点：三角恒等变换，三角函数图象的平移变换。解析： ，图象向左平移 个单位长度，得：sin2cosyx2in()3x6 ，()gi()i63
9、 。5()652sin()2sinsi(2)3（13 ）设关于 的不等式组 表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则 的取,xy0,21xym m值范围是 . 答案： 12,0(,)考点：线性规划。解析：直线 2xy0 化为：y2x，直线 mxy10 过定点 A（0,1） ，如上左图，当直线 mxy1 0 的斜率在（2,0）变化时，可得ABO 为钝角三角形，即 m（2,0） ；上右图中，过 A 的直线垂直 2xy0 时，斜率为 ，12直线绕 A 逆时针旋转到与 y 轴接近重合时，都满足三角形 ABO 为钝角三角形，所以，有 m ，12综上，可得： 的取值范围是 12,0(,)（14 ）已知函数
10、，对于任意实数 ，当 时，记 的最大值为()fx,xab0xb0|()|fx.,0()abD若 ，则 ；2(1)fx0,3()D若 则 的取值范围是 . ,xf,2(1)a答案： 31,4考点：分段函数的图象，阅读新知识，解决问题的能力。解析：由 ，得 2， ，0,3()D0x,3ab记 g（x） ，因为 x0,3 ，|f22(1)()|xg（0）0，g（3）3，所以，有最大值 3。由题意， ，所以，a3，1 ，2a所以，只要研究3，1上的图象与 f（1）1 的距离的最大值即可，当 时，最大值为 4，当 时，最大值为 1，所以，取值范围为1，42a三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写
11、出文字说明，演算步骤或证明过程。（15 ） （本小题 13 分）如图，在四边形 中 ，ABCD7,2,CDA2.3C（）求 的正弦值；（） 若 ，且 的面积是 面积的 4 倍，求 的长.2 AB（16 ） （本小题 13 分）某工厂的机器上有一种易损元件 A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件 A 在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件 A 的维修工作.每个工人独立维修 A 元件需要时间相同.维修处记录了某月从 1 日到 20 日每天维修元件 A 的个数，具体数据如下表：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6
12、 日 7 日 8 日 9 日 10 日元件 A 个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日元件 A 个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24从这 20 天中随机选取一天，随机变量 X 表示在维修处该天元件 A 的维修个数. （）求 的分布列与数学期望；X（）若 ，且 ，求 最大值；,abN6a()Pb（）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件 A 的个数的数学期望不超过 4 个，至少需要增加几名维修工人？ （只需写出结论）（17
13、 ） （本小题 14 分）如图，四边形 和三角形 所在平面互相垂直， ， ，ABCDAEABCDB， ， ， ，平面 与平面 交于 60D4EEF（）求证： ；EF（）若 ，求二面角 余弦值；-（）在线段 上是否存在点 使得 ？若存在，求 的长；BCMAEBM若不存在，说明理由（18 ） （本小题 13 分）已知点 到抛物线 准线的距离为 2.1,2P2:0Cypx（）求 C 的方程及焦点 F 的坐标；（）设点 关于原点 的对称点为点 ，过点 作不经过点 的直线与 交于两点 ，OQOC,AB直线 分别交 轴于 两点.求 的值.,PABx,MNF（19 ） （本小题 14 分）已知函数 ()si
14、nf（）求曲线 在点 处的切线方程；yx(,)2f（）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围()cosfa0,a（20 ） （本小题 13 分）若 行 列的数表 满足： ，n121212nnnaaLM()01ija， (2)ijnL， ， ， ， 1ikam， ，记这样的一个数表为 .对于(12,0)im， ， ，L10(,1,)ikjaijnijL()nA记集合 表示集合 中元素的(),nA1(,) ,.nijikjTnijij N， (,)Tnm(,)Tm个数.（）已知 写出 的值；310(2),A(13,)ijjij，（）是否存在数表 满足 若存在，求出 ，若不存在，说明理由；4
15、()(42)T， ？ 4(2)A（）对于数表 ，求证： .()0,)nAmnN(,)2nTm北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）A （2）D （3）C （4）C （5）C （6）B （7）A （8）D二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）四 （10） （答案不唯一）9（11） （12） 1,3 3（13） （14）2,0(,)1,4三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（） 在 中，设 ，ACD(0)x
16、由余弦定理得 ，227=4cos3整理得 ，解得 .2x1x所以 1,.ADC由正弦定理得 ，解得2sinsi3A21sin.7DAC6 分（）由已知得 ，4ABCDS所以 ，11sinsin22ACD化简得 sin4sin.ABCAD所以 2cosi,CAD于是 cs.因为 ，且 为锐角，1in7CAA所以 .27cossinDC因此 7.B.13 分（16） （共 13 分）解：（）由题意可知， X 的所有可能取值为 ，9,1258,4且 ； ； ；3(9)20P()0PX7()0PX； .(18)X3(4)2所以 的分布列为：X 9 12 15 18 24P 32052072020320
17、故 的数学期望 .5 分35()9+1+184=15EX（）当 取到最大值时，(ab的只可能为： 或 或, ,152,8ab,4.经计算 ， ， ，(9)20PX1()20PX5(824)0PX所以 的最大值为 . 10 分()ab153=4（）至少增加 2 人 13分（17） （共 14 分）解：（）在四边形 中， ABCD因为 平面 ， 平面 ，EABE所以 平面 因为 平面 ，且平面 平面 ，CDF所以 4 分CF（）如图，取 的中点 ，连接 ， .在等腰 中，ADNBENAE.NA因为平面 平面 ，交线为 ，EC又 ，所以 平面 .AD所以 .B由题意易得 .AN如图建立空间直角坐标系
18、 ，xyz则 ，(0,)(2,0)， ，(0,23)B3C， (,)D(,)E因为 ，所以 .F1,32)设平面 的法向量为 B(xyz，n(1,32),(3,0),BFBC则 即 0,Cn0,3.令 ，则 y1,xz于是 (,)n又平面 的法向量为 ，ABD(0,2)NE所以 5cos,n由题知二面角 为锐角，-CF所以二面角 的余弦值为 . 9AB5分（）不存在满足条件的点 ，使 ，理由如下：MAE若 ，则 AME0A因为点 为线段 上的动点，设 ， BC(01),MtCBt(,0)Muv则 ，(3,0)(3,)uvt解得 +t所以 ， (,2)Et (35,0)Att所以 3=MAt 整
19、理得 ，此方程无实根20t所以线段 上不存在点 ，使 . BCME14 分（18） （共 13 分）解：（）由已知得 ，所以2p.所以抛物线 的方程为 ，焦点 的坐标为 C4yxF1,0.4 分（II）设点 , ，由已知得 ，1()Axy2()B(,2)Q由题意直线 斜率存在且不为 0.设直线 的方程为 . 1(0)kxk由 得 ，241yxk， 248y则 .1212,k因为点 在抛物线 上，所以 ， ，,ABC214yx2，11214Pykx22.PBky因为 轴，F所以1244PABPAByFMNkk.12124yy842k所以 的值为 2. MFN13 分（19） （共 14 分）解：
20、 （）因为 ，()sinfx所以 ， ， ，1cof()12f()12f所以曲线 在点 处的切线方程为 ()yfx,f .yx5 分（）因为 ，所以 ， ，0,2xsin0xcosx当 时， 恒成立， 恒成立，a()fcos0ax所以不等式 在区间 上恒成立.csxa0,2当 时，设 ，0()osincosgfxxa，()1cossin1()igx若 ， ， ，a()00a所以 在区间 上恒成立；)0x,2若 ， ， ， ， 12a10a1()cos0axsin0ax所以 在区间 上恒成立；()0gx,2所以 在区间 上单调递增，(),min()(0),gx所以当 时，不等式 在区间 上恒成立
21、；2a()cosfa,2当 时，令 ，()1)sihxgxa， 在区间 上恒成立，()21sincoshxa(0h,2所以 在区间 上单调递增， ，()gx0,2min()(0)2gxa，max()12ag所以存在 ，使得 .0,2x0()gx当 时， ， 单调递减；()当 时， ， 单调递增；0x0gx()x当 时， ， 取得极小值；()而 ，所以 ，所以不等式 在区间 上不能恒成立，(0)g0gx()0gx,2所以不等式 在区间 上恒成立时实数 的取值范围是 .()cosfa,2a(,2.14 分（20） （共 13 分）解：（） . 123213 分（）不存在数表 ，使得 .理由如下：4
22、(2)A(4,2)1T假设存在 ，使得 .不妨设 ，4()(,)212344340()aaA的可能值为 . ij01，当 时，经验证这样的 不存在.=(4)ijij4(2)A当 时，有 ，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，1()ijij2134=a不妨设 ，所以有 ，234410(2)aA234=1a这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，这样的 只能为 或 ，4(2)A1010这两种情况都与 矛盾. 8(,)1T分（） 在数表 中，将 换成 ，这将形成 ，()nAmijij()nAm由于 ，可得12ijijijinjaaL122()()(1)ijij injna,ij从而 .-Tnmn， ，当 时，由于 ，210(N)itjttaijnij， ，所以任两行相同位置的 1 的个数 .12又由于 ，而从 1 到 的整数个数 ，从而0ijnn().2nTm，13(,).2mTm从 而 当 时 都 有 ，分