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北京市西城区重点中学2019年4月中考数学模拟考试数学试卷(含答案解析)

1、北京市西城区重点中学 2019 年四月初三数学模拟考试数学试卷 一选择题(每题 2 分,满分 16 分)1如图,是某个几何体从不同方向看到的形状图(视图) ,这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形?( )A BC D2实数 a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )Aa+ c0 B| a| b| Cbc1 Dac 03从 1978 年 12 月 18 日党的十一届三中全会决定改革开放到如今已经 40 周年了,我国GDP(国内生产总值)从 1978 年的 1495 亿美元到 2017 年已经达到了 122400 亿美元,全球排名第二,将 122400 用科学记数法表示为

2、( )A12.2410 4 B1.22410 5 C0.122410 6 D1.22410 64如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合,那么1 的度数是多少( )A30 B15 C18 D205从某公司 3000 名职工随机抽取 30 名职工,每个职工周阅读时间(单位:min)依次为 周阅读时间(单位:min)6170 7180 8190 91100 101110人数 3 6 9 10 2则该公司所有职工中,周阅读时间超过一个半小时的职工人数约为( )A1200 B1500 C1800 D21006如果 a+b2,那么代数式 的值是( )A B1 C D27如图,排球运动员站在点 O 处练习

3、发球,将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出,把球看成点,其运行的高度 y(m )与运行的水平距离 x(m)满足关系式 ya(xk)2+h已知球与 D 点的水平距离为 6m 时,达到最高 2.6m,球网与 D 点的水平距离为9m高度为 2.43m,球场的边界距 O 点的水平距离为 18m,则下列判断正确的是( )A球不会过网 B球会过球网但不会出界C球会过球网并会出界 D无法确定8在平面直角坐标系中,张敏做走棋游戏,其走法:棋子从原点出发,第 1 步向右走 1 个单位,第 2 步向右走 2 个单位,第 3 步向上走 1 个单位,第 4 步向右走 1 个单位,以此类推,第 n 步的走法是:当

4、 n 能被 3 整除时,则向上走 1 个单位;当 n 能被 3 除时,余数为 1 时,则向右走 1 个单位;当 n 能被 3 除时,余数为 2 时,则向右走 2 个单位,当走完 67 步时,棋子所处的位置坐标是( )A (66,22) B (66,23) C (67,23) D (67,22)二填空题(满分 16 分,每小题 2 分)9如图,在ABC 中,A30,tanB ,AC2 ,则 AB 的长是 10当 x 时,分式 的值为 0;若分式 有意义,则 x 的取值范围是 11计算: 12如图,AB 为O 的直径,C、D 是O 上两点,AC BC,AD 与 CB 交于点EDAB25,则E 13

5、某旅馆的客房有三人间和两人间两种,三人间每人每天 25 元,两人间每人每天 35元一个 50 人的旅游团到该旅馆住宿,租住了若干客房,且每个客房正好住满,一天共花去住宿费 1510 元设该旅游团租住三人间客房 x 间,两人间客房 y 间,请列出满足题意的方程组 14在小于等于 9 的正整数中任意取出一个数,取到素数的可能性大小是 15某商场店庆活动中,商家准备对某种进价为 600 元、标价为 1100 元的商品进行打折销售,但要保证利润率不低于 10%,则最低折扣是 16如图,在正方形 ABCD 中,AB2,点 E 为 AB 的中点,AFDE 于点 O,则 AO 三解答题(共 12 小题,满分

6、 68 分)17 (5 分)已知ABC 中,ABBC (1)尺规作图:作 AB 的垂直平分线,交 BC 于点 P(保留作图痕迹,不写作法) ;(2)在(1)的条件下,AC 5,BC 10求APC 的周长18 (5 分)计算: 19 (5 分)解不等式组: 并将解集在数轴上表示20 (5 分)关于 x 的方程 x2+(2k +1)x +k210 有两个不相等的实数根(1)求实数 k 的取值范围;(2)若 k 为负整数,求此时方程的根21 (5 分)如图,在矩形 ABCD 中,BD 的垂直平分线分别交 AB、CD、BD 于E、F 、O,连接 DE、BF(1)求证: 四边形 BEDF 是菱形;(2)

7、若 AB8cm,BC4cm,求四边形 DEBF 的面积22 (5 分)如图,在等腰ABC 中,ABBC ,以 AB 为直径的半圆分别交 AC、BC 于点D、E 两点,BF 与 O 相切于点 B,交 AC 的延长线于点 F(1)求证:D 是 AC 的中点;(2)若 AB12,sinCAE ,求 CF 的值23 (6 分)如图,已知反比例函数 y 的图象与一次函数 yx+b 的图象交于点A(1, 4) ,点 B(4,n) (1)求 n 和 b 的值;(2)求OAB 的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 x 的取值范围24 (6 分)当今,青少年用电脑手机过多,视力水平下降已引起

8、了全社会的关注,某校为了解八年级 1000 名学生的视力情况,从中抽查了 150 名学生的视力情况,通过数据处理,得到如下的频数分布表解答下列问题:视力范围分组 组中值 频数3.95x4.25 4.1 204.25x4.55 4.4 104.55x4.85 4.7 304.85x5.15 5.0 605.15x5.45 5.3 30合计 150(1) 分别指出参加抽测学生的视力的众数、中位数所 在的范围;(2)若视力为 4.85 以上(含 4.85)为正常,试估计该校八年级学生视力正常的人数约为多少?(3)根据频数分布表求加权平均数时,统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数相应

9、组中的权请你估计该校八年级学生的平均视力是多少?25 (6 分)如图,过半径为 2 的O 外一点 P,作O 的切线 PA,切点为 A,连接 PO,交O 于点 C,过点 A 作O 的弦 AB,使 ABPO ,连接 PB、BC(1)当点 C 是 PO 的中点时,求证:四边形 PABC 是平行四边形;求 PAB 的面积(2)当 AB2 时,请直接写出 PC 的长度26 (6 分)点 M 为二次函数 yx 2+2bx+1+4bb 2 图象的顶点,直线 ymx +5 分别交 x轴正半轴,y 轴 于点 A,B (1)判断顶点 M 是否恒在某条直线上?若是,求出该直线解析式;若不是,说明理由(2)若二次函数

10、图象也经过点 A,B,且 mx+5x 2+2bx+2+4bb 2,借助图象,求出x 的取值范围(3)点 A 坐标为(5,0) ,点 M 在AOB 内时,若点 C( ,y 1) ,D( ,y 2)都在二次函数图象上,试比较 y1 与 y2 的大小27 (7 分)在ABC 中,ABAC ,点 D 是 BC 中点,EDF 两边分别交线段 AB 于点E,交线段 AC 于点 F,且 EDF+BAC 180(1)如图 1,当EDF90时,求证:BEAF ;(2)如图 2,当EDF60时,求证:AE+AFAD;(3)如图 3,在(2)的条件下,连接 EF 并延长 EF 至点 G,使 FGEF,连接 CG,若

11、 BE5,CF 4,求 CG 的长度28 (7 分)已知 AB 是O 的直径,点 C 是 的中点,点 D 在 上,BD 、AC 的延长线交于点 K,连接 CD(1)求证:AKBBCD45;(2)如图 2,若 DC DB 时,求证:BC 2CK;(3)在(2)的条件下,连接 BC 交 AD 于点 E,过点 C 作 CFAD 于点 F,延长 CF交 AB 于点 G,连接 GE,若 GE5,求 CD 的长参考答案一选择题1解:主视图和左视图都是长方形,此几何体为柱体,俯视图是一个圆,此几何体为圆柱,因此图 A 是圆柱的展开图故选:A2解:由数轴可以发现 a0bc,而| a|c| |b|,a+c0,|

12、 a| |b|,ac 0又由数轴可发现 1b2,2c3bc1 正确故选:C3解:1224001.22410 5,故选:B4解:正五边形的内角的度数是 (52)180108,正方形的内角是 90,11089018故选:C5解:由题可得,3000 1200(人) ,该公司所有职工中,周阅读时间超过一个半小时的职工人数约为 1200 人,故选:A6解: ,当 a+b2 时,原式 ,故选:A7解:(1)球与 O 点的水平距离为 6m 时,达到最高 2.6m,抛物线为 ya(x 6) 2+2.6 过点,抛物线 ya(x 6) 2+2.6 过点(0,2) ,2a(06) 2+2.6,解得:a ,故 y 与

13、 x 的关系式为:y (x6) 2+2.6,当 x9 时,y (x 6) 2+2.62.452.43,所以球能过球网;当 y0 时, (x 6) 2+2.60,解得:x 16+2 18,x 262 (舍去)故会出界故选:C8解:由题意得,每 3 步为一个循环组依次循环,且一个循环组内向右 3 个单位,向上 1个单位,67322 余 1,走完第 67 步,为第 23 个循环组的第 1 步,所处位置的横坐标为 223+167,纵坐标为 22122,棋子所处位置的坐标是(67,22) 故选:D二填空题(共 8 小题,满分 16 分,每小题 2 分)9解:如图,作 CDAB 于 D,在 Rt ACD

14、中, A30, AC2 ,CD AC ,AD CD3,在 Rt BCD 中, tanB , ,BD2,ABAD +BD3+25故答案为:510解:若分式 的值为 0,则 x10,且 x+10,解得 x1;若分式 有意义,则 x+50,解得 x5,故答案为:1;x511解:原式 ,故答案为: 12解:AB 为O 的直径,ACB90,ACBC,CBACAB45,DAB25,ECBADAB20,故答案为:2013解:设租住三人间 x 间,租住两人间 y 间,由题意,得,故答案是: 14解:因为在小于等于 9 的正整数中,素数有 2,3,5,7,共 4 个数,所以取到素数的可能性大小是 ;故答案为:

15、15解:设可以打 x 折1100x 600 60010%解得 x60% ,即最低折扣是 6 折故答案为:6 折16解:四边形 ABCD 是正方形,ADBC2,DAE 90,AEEB1,DE ,AODE , DEAO AEAD,AO 故答案为 三解答题(共 12 小题,满分 68 分)17解:(1)如图,点 P 为所作;(2)由作法得 APBP ,所以APC 的周长AC+PC+APAC+PC +BPAC +BC1518解:原式4 (2 3)2+12 +32 2+1219解: ,解 得 x 4,解得 x1,所以不等式组的解集为4x1,用数轴表示为20解:(1)由题意知,0,则(2k+1) 241(

16、k 21)0,解得:k ;(2)k 为负整数,k1,则方程为 x2x0,解得:x 11,x 2021证明:(1)四边形 ABCD 是矩形,O 是 BD 的中点,A90,ADBC,ABDC,OBOD,OBEODF在BOE 和DOF 中,BOEDOF(ASA) ,EOFO ,且 OBOD四边形 BEDF 是平行四边形,EF 垂直平分 BDBEDE四边形 BEDF 是菱形(2) 四边形 BEDF 是菱形BEDE ,在 Rt ADE 中,DE 2AE 2+DA2,BE 2(8BE ) 2+16,BE5四边形 DEBF 的面积BEAD 20cm 222 (1)证明:连接 DB,AB 是O 直径,ADB9

17、0,DBAC又ABBC D 是 AC 的中点(2)解:BF 与O 相切于点 B,ABF 90,CAECBD,CBDABD,ABD F ,sinCAEsinFsinABD,在ADB 和ABF 中, ,AB12,AF ,AD ,CFAFAC 23解:(1)把 A 点(1,4)分别代入反比例函数 y ,一次函数 yx+b,得 k14,1+b4,解得 k4,b3,点 B(4,n)也在反比例函数 y 的图象上,n 1;(2)如图,设直线 yx +3 与 y 轴的交点为 C,当 x0 时,y 3,C(0,3) ,S AOB S AOC +SBOC 31+ 347.5;(3)B(4,1) ,A(1,4) ,

18、根据图象可知:当 x1 或4x0 时,一次函数值大于反比例函数值24解:(1)众 数 在 4.85x5.15 的范围内,中位数在 4.85x5.15 的范围内;(2)依题意,八年级视力正常的学生约有 人;(3)依题意,抽样调查 150 名学生的平均视力为由于可以用样本估计总体,因此得到八年级 1000 名学生平均视力为 4.8425 (1) 证明:连接 OA、OB,则有 OAOBOC,PA 是O 的切线,OAPA,点 C 是 PO 的中点,PCOC PO ,OA PO,在 RtOAP 中,sinAPO ,APO30,POA60,ABPO ,BAOPOA60,OAB 是等边三角形,ABOA ,A

19、BPC,四边形 PABC 是平行四边形;解:过点 O 作 OEAB,垂足为 E,OAB 是等边三角形,OAAB2,OEOA sin602 ,S OAB ABOE 2 ,ABPO ,S PAB S OAB ;(2)PC2 2,理由为:OAOB 2,AB 2 ,OA 2+OB2AB 2,根据勾股定理逆定理可得,OAB 是直角三角形,即AOB90,OBPA,四边形 PABO 是平行四边形,POAB,PC2 226解:(1)yx 2+2bx+1+4bb 2(xb) 2+4b+1,M 为二次函数的顶点,M(b,4b+1) ,设 xb,y4b+ 1,则 y4x+1,点 M 在直线 y4x+1 上(2)如图

20、 1 所示,直线 ymx+5 交 y 轴于点 B,B(0,5) ,又点 B 在抛物线上,5(0b) 2+4b+15,解得 b2,二次函数解析式为 y(x2) 2+9,当 y0 时,(x 2) 2+90,解得 x15,x 21,A(5,0) ,由 图象得当 mx+5x 2+2bx+1+4bb 2 时,x 的取值范围是 x0 或 x5(3)如图 2 所示,直线 y4x+1 与直线 AB 交于点 E,与 y 轴交于点 F,A(5,0) ,B (0,5) ,可得直线 AB 的解析式为 yx +5,则有解得E( , ) ,点 M 在AOB 内,14b+1 ,0b 当点 C、D 关于抛物线的对称轴对称时,

21、b b,解得 b ,二次函数的开口方向向下,顶点 M 在直线 y4x+ 1 上,综上: 当 0 b 时,y 1y 2,当 b 时,y 1y 2,当 b 时,y 1y 227 (1)证明:连接 AD,如图 1 所示:EDF+BAC180,EDF90,BAC90 ,ABAC,点 D 是 BC 中点,ADBC,AD BCBDCD,BC45,DAF BAC45,BDAF ,EDF90,BDEADF,在BDE 和ADF 中, ,BDEADF(ASA ) ,BEAF;(2)证明:取 AB 的中点 M,连接 DM,如图 2 所示:ADBC,M 是 AB 的中点,DM AB BMAM,EDF+BAC180,E

22、DF60,BAC120,ABAC,点 D 是 BC 中点,BADCAD BAC60,ADM 是等边三角形,AMDMAD,AMD ADM60,MDEADF,在DEM 和DFA 中, ,DEMDFA(ASA) ,MD AF,AE+MEAMAD,AE+AFAD;(3)解:作 EHBC 于 H, FMBC 于 M,GNBC 于 N,如图 3 所示:则 EHFMGN ,由(2)得:AE+AFAD ,BE5,CF 4,AB +ACBE +AE+AF+CFBE+AD+ CF5+AD +49+ AD,BAC120,AB AC,点 D 是 BC 中点,BACB30,AD BC,ADBADC90,AD AB,BD

23、CD AD,EH BE ,FM CF2,BH EH,CM FM2 ,2AB9+ AB,解得:AB6,AD3,BDCD3 ,DHBD BH ,DM CDCM ,HM DH+DM ,EHFMGN ,EFFG,FM 是梯形 EHNG 的中位线,HM MN,2FMEH +GN,MN ,CNCDDMMN3 ,22 +GN,GN ,在 Rt CGN 中,由勾股定理得:CG 28解:(1)如图 1,连接 AD,AB 是O 的直径,ACBADB90,点 C 是 的中点,ACBC,则ABC 是等腰直角三角形,CABCBA45,设CBK DAC ,则DABDCB45 ,K90 ,AKBBCD45;(2)如图 1,

24、过点 C 作 CH AD,CDHCBA45,CD CH,CD DB,CHDB,CEHBED、CHEBDE90,EBDEHC(AAS ) ,CEBE BC,CAECBK、ACE BCK、AC BC ,ACEBCK(ASA) ,CKCEBE BC,即 BC2CK;(3)如图 2,过点 G 作 GHBC 于点 H,则GHC90,AB 是直径,ADB90,CGAD 于点 F,CFEADB90,CGBD,GCBCBDCAD,ACE90,CEBE BC AC,tanGCBtan CAD , ,ABC45,GHB90,GHBH ,设 GHBH a ,则 CH2a、BC 3a,BE a,EH a,在 Rt EGH 中, ( a) 2+a25 2,解得:a2 (负值舍去) ,CE3 ,tanGCB , ,设 EFx、CF2x,x 2+(2x) 2( 3 ) 2,解得:x3(负值舍去) ,CF6,CDACBA45,CD6