1、2019 年湖北省武汉市部分学校中考数学模拟试卷（3 月份）一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1（3 分）在实数 0， ， ，|2|中，最小的是（ ）A B C0 D|2|2（3 分）实数 在哪两个整数之间（ ）A3 与 4 B4 与 5 C5 与 6 D12 与 133（3 分）反比例函数 y 经过点（2，1），则下列点一定在其图象上的是（ ）A（1，2） B（4， ） C（3，2） D（2，1）4（3 分）为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班 15 名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：捐款的数额（单位：元）5 10 20 50 100人数（单位：个）2 4
2、5 3 1关于这 15 名学生所捐款的数额，这组数据中中位数是（ ）A5 B10 C20 D505（3 分）如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图左视图俯视图）完全相同的几何体是（ ）A B C D6（3 分）下列计算，其中正确的是（ ）Aa+2a 22a 3 B3x 2y2xy 2xy 2Ca 3a4a 1 （a0） Dx 3x2x 67（3 分）如图：图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中 s和 t 分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：射线 AB 表示甲的路程与时间的函数关系；甲的速度比乙快 1.5 米/秒；甲让乙先跑了 12 米；8 秒钟
3、后，甲超过了乙其中正确的说法是（ ）A B C D8（3 分）某校为了了解全校学生对“智能武汉”的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图根据以上的信息，下列判断：参加问卷调查的学生有 50 名； 参加进行问卷调查的学生中，“基本了解“的有 10 人；扇形图中“基本了解“部分的扇形的圆心角的度数是108； 在参加进行问卷调查的学生中，“了解“的学生占 10%其中结论正确的序号是（ ）A B C D9（3 分）观察表一，寻找规律，表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则 a+b 的值为（ ）表一：0 1 2 3 1 3 5 7 2 5 8
4、11 3 7 11 15 表二：11 1317 b表三：1939aA77 B79 C89 D9810（3 分）如图，已知 PA、PB 切 O 于 A、B 两点，CD 切O 于 E，PCD 的周长为20，sinAPB ，则O 的半径（ ）A4 B5 C6 D7二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11（3 分）计算： sin60 12（3 分）如图直线 ab，CDa，若145，则2 13（3 分）计算： 14（3 分）在一个不透明的口袋中有 3 个形状和材料相同的小球，把它们分别编号为1、2、3，随机的摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和为偶数的概
5、率 15（3 分）如图，以原点 O 为顶点的等腰直角三角形 ABO 中，BAO90，反比例函数 过 A、B 两点，若点 A 的横坐标为 2，则 k 16（3 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上； 把纸片展开并铺平；把CDG 翻折，点 C 落在线段 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上，若AB AD+2，EH1，则 AD 三、解答题（共 8 小题，共 72 分）17（9 分）已知：如图，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP3PC，Q 是 CD的中点
6、求证：ADQ QCP18（9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y1x+b 与双曲线 y2 交于 A（2，3），B（m， n）两点（1）求 m、n 的值；（2）若 y1y 2，则 x 的取值范围为 （请直接写出）19（9 分）如图，在ABC 中，ACB 90，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段 AB 于点 D；以点 A 为圆心， AD 长为半径画弧，交线段 AC 于点 E，连结 CD（1）若A28，求ACD 的度数（2）设 BCa，ACb线段 AD 的长是方程 x2+2axb 20 的一个根吗？说明理由若 ADEC，求 的值20（9 分）如图，边长为 1 的正方形网格中，A（1，4
7、）、B（3，2）、C（5，2）、D（3，2）（1）将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转，得到对应线段 BE当 BE 与 CD 第一次平行时，画出点 A 运动的路径，并直接写出点 A 运动的路径长；（2）线段 AB 与线段 CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标21（9 分）如图，ABC 内接于O，弧 AB、弧 AC 相等，过 A 的切线交 BO 于 P（1）求证：APBC（2）若 cosP ，求 tanCAP 22（9 分）某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元，销售 20 台 A 型和10 台
8、 B 型电脑的利润为 3500 元（1）求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超过 A型电脑的 2 倍，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元求 y 关于 x 的函数关系式；该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？23（9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 G 在边 BC 上（不与点 B，C 重合），连结AG，作 DEAG 于点 E，BFAG 于点 F，设 k（1）求证：AEBF （2）连结 BE，DF ，设EDF，EBF求证：tan k
9、tan （3）设线段 AG 与对角线 BD 交于点 H，AHD 和四边形 CDHG 的面积分别为 S1 和S2，求 的最大值24（9 分）已知抛物线 yax 22ax 4 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y轴交于点 C，ABC 的面积为 12（1）求抛物线的对称轴及表达式；（2）若点 P 在 x 轴上方的抛物线上，且 tanPAB ，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过 C 作射线交线段 AP 于点 E，使得 tanBCE ，联结BE，试问 BE 与 BC 是否垂直？请通过计算说明2019 年湖北省武汉市部分学校中考数学模拟试卷（3 月份）参考答案与试题解析一
10、、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1（3 分）在实数 0， ， ，|2|中，最小的是（ ）A B C0 D|2|【分析】求出|2| 2，根据正数大于负数和 0，负数都小于 0，得出负数小，即可解答【解答】解：|2| 2， ，最小的数是 ，故选：B【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，注意：正数都大于 0，负数都小于 0正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小2（3 分）实数 在哪两个整数之间（ ）A3 与 4 B4 与 5 C5 与 6 D12 与 13【分析】估算即可得到结果【解答】解：162325， ，故选：B【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练
11、掌握估算无理数的大小的法则是解本题的关键3（3 分）反比例函数 y 经过点（2，1），则下列点一定在其图象上的是（ ）A（1，2） B（4， ） C（3，2） D（2，1）【分析】将点（2，1）代入解析式，求出 m2+2m7 的值即可得到函数的解析式，将各点坐标代入验证即可【解答】解：将点（2，1）代入 y 得，m 2+2m72（1）2，可知函数解析式为 y ，则 xy2，A、1222，故本选项错误；B、4（ ）2，故本选项正确；C、3（2）62，故本选项错误；D、2（1）22，故本选项错误；故选：B【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数解析式，将各点坐标代入验证即可4（3
12、分）为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班 15 名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：捐款的数额（单位：元）5 10 20 50 100人数（单位：个）2 4 5 3 1关于这 15 名学生所捐款的数额，这组数据中中位数是（ ）A5 B10 C20 D50【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数【解答】解：本题数据个数为 15，把数据按由小到大顺序排序，第 8 个数据为 20，所以中位数为 20故选：C【点评】本题考查了中位数，求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇
13、数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数5（3 分）如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图左视图俯视图）完全相同的几何体是（ ）A B C D【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形【解答】解：正方体的三视图分别为正方形，正方形，正方形，正确；圆柱的三视图分别为四边形、四边形、圆，错误；圆锥的三视图分别为三角形、三角形、圆，错误；球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，正确；故选：B【点评】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体6（3 分）下列计算，
14、其中正确的是（ ）Aa+2a 22a 3 B3x 2y2xy 2xy 2Ca 3a4a 1 （a0） Dx 3x2x 6【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项等运算，然后选择正确选项【解答】解：A、a 和 2a2 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、3x 2y 和 2xy2 不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、a 3a4a 1 ，计算正确，故本选项正确；D、x 3x2x 6，原式错误，故本选项错误故选：C【点评】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项等知识，掌握运算法则是解答本题的关键7（3 分）如图：图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的
15、一次函数图象，图中 s和 t 分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：射线 AB 表示甲的路程与时间的函数关系；甲的速度比乙快 1.5 米/秒；甲让乙先跑了 12 米；8 秒钟后，甲超过了乙其中正确的说法是（ ）A B C D【分析】根据函数图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断【解答】解：根据函数图象的意义，已知甲的速度比乙快，故射线 OB 表示甲的路程与时间的函数关系；错误；甲的速度比乙快 1.5 米/秒，正确；甲让乙先跑了 12 米，正确；8 秒钟后，甲超过了乙，正确；故选：B【点评】正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到随着自变量的增大，知
16、道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢8（3 分）某校为了了解全校学生对“智能武汉”的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图根据以上的信息，下列判断：参加问卷调查的学生有 50 名； 参加进行问卷调查的学生中，“基本了解“的有 10 人；扇形图中“基本了解“部分的扇形的圆心角的度数是108； 在参加进行问卷调查的学生中，“了解“的学生占 10%其中结论正确的序号是（ ）A B C D【分析】 用了解较少的学生数除以该组所占比例即可得到总人数；用学生总数乘以该组所占的比例得到基本了解的学生数；扇形所对圆心角的
17、度数等于圆周角乘以该组所占比例；先求出不了解对应的百分比，再根据百分比之和等于 1 可得答案【解答】解：了解较少的学生有 25 人，占学生总数的 50%，参加问卷调查的学生有 2550%50 人，故 正确；5030%15 人，参加进行问卷调查的学生中，“基本了解”的有 15 人，故错误；36030%108，“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是 108，故正确；不了解对应的百分比为 100%10%，了解对应的百分比为 1（10%+50%+30% ）10% ，故 正确；故选：C【点评】本题考查了两种统计图的认识，解题的关键是正确的利用这两种统计图的关系9（3 分）观察表一，寻找规律，表二、表三分
18、别是从表一中选取的一部分，则 a+b 的值为（ ）表一：0 1 2 3 1 3 5 7 2 5 8 11 3 7 11 15 表二：11 1317 b表三：1939aA77 B79 C89 D98【分析】根据表（1）可知，同一列相邻两个数的差按列数 n 增长，同一行相邻两个数的差按行数 m 增长，依此求出 a，b进而得到 a+b 的值【解答】解：由题意，可得 a393919，解得 a59，b131711+1，解得 b20，a+b59+2079故选：B【点评】本题考查用列表法来表示数字变化规律，数字的变化规律明显跟行列有关，以此为突破口可正确计算出 a、b 的值10（3 分）如图，已知 PA、P
19、B 切 O 于 A、B 两点，CD 切O 于 E，PCD 的周长为20，sinAPB ，则O 的半径（ ）A4 B5 C6 D7【分析】连接 OA、OB、OP，延长 BO 交 PA 的延长线于点 F利用切线求得CACE，DBDE，PA PB 再得出 PAPB10，在 RtFBP 中，利用锐角三角函数的定义求出 AF 长，从而在 RtAOF 中可求出 OA 的长【解答】解：连接 OA、OB、OP，延长 BO 交 PA 的延长线于点 FPA，PB 切 O 于 A、B 两点， CD 切 O 于点 EOAFPBF90，CACE ，DBDE ，PAPB，PCD 的周长PC+CE+ DE+PDPC +AC
20、+PD+DBPA+PB20，PAPB10，sinAPB ，sin ， ，解得：AF ，在 Rt AOF 中，tan ， ，OA5，故选：B【点评】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，锐角三角函数的定义，解决本题的关键是切线的性质与锐角三角函数相结合，找准线段及角的关系，求出 r 的值二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11（3 分）计算： sin60 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入化简得出答案【解答】解：原式 故答案为： 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键12（3 分）如图直线 ab，CDa，若145，则2 135 【分析】延
21、长 CD 交直线 b 于 B，利用平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到2 的度数【解答】解：如图，延长 CD 交直线 b 于 B，ab，CDa，ABD90，又1BAD45，2ABD+BAD 90+45135，故答案为：135【点评】本题主要考查了平行线的性质定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补13（3 分）计算： x+2 【分析】根据同分母分式的加减法法则计算，注意结果要化简【解答】解： x+2故答案为 x+2【点评】本题主要考查了同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减14（3 分）在一个不透明的口袋中有 3 个形状和材料相同的小球，
22、把它们分别编号为1、2、3，随机的摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和为偶数的概率 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 6 种等可能的结果，两次摸出的小球标号和为偶数的有 2 种结果，两次摸出的小球标号的和为偶数的概率为 ，故答案为： 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比15（3 分）如图，以原点 O 为顶点的等腰直角三角形 ABO 中，BAO90，反比例函数 过 A、B 两点，若点 A 的横坐标为
23、2，则 k 2+2 【分析】首先根据已知构造矩形得出AONBAW，进而得出矩形面积为：SONWN2（2+ ）4+k ，从而得出 SAOB 4+k3 4 ，根据 AOAB，再表示出 SAOB 2+ ，利用两三角形面积相等即可得出 k的值【解答】解：过点 B 作 BMy 轴于点 M，过点 A 作 ANx 轴于点 N，并延长 MB，NA交于一点 W，WMO MONWNO90，四边形 MONW 是矩形，由点 A 的横坐标为 2，则 A 点坐标为：（2， ），等腰 RtOAB 中，OAB90，ABAO ，OAB90，BAW +OAN90，AON+OAN90，BAW AON ，在AON 和BAW 中，AO
24、NBAW（AAS ），AWNO ，S AON S BAW ，故 WNAW+AN2+ ，矩形面积为：SONWN2（2+ ）4+ k，S MOB S AON S BAW 2 ，S AOB 4+k 3 4 ，NO2，AN ，ABAO ，S AOB 2+ ，4 2+ ，整理得出：k2+4k160，解得：k 12+2 ，k 222 （不合题意舍去）方法二：设 A（2，m），利用全等三角形的性质可得 B（2m ，2+m），则有 2m（2m）（2+m），可得 m1+ ，k 2+2 故答案为2+2 【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及全等三角形的判定与性质以及三角形面积求法等知识，根据已知用两种方法
25、得出 SAOB 是解题关键16（3 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上； 把纸片展开并铺平；把CDG 翻折，点 C 落在线段 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上，若AB AD+2，EH1，则 AD 3+2 【分析】设 ADx，则 ABx+2，利用折叠的性质得DFAD，EAEF，DFEA90，则可判断四边形 AEFD 为正方形，所以AEAD x，再根据折叠的性质得 DHDCx+2，则 AHAEHE x1，然后根据勾股定理得到 x2+（x 1） 2（x +2） 2，
26、再解方程求出 x 即可【解答】解：设 ADx，则 ABx+2，把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，DFAD ，EAEF，DFEA90，四边形 AEFD 为正方形，AEAD x，把CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上，DHDCx+2，HE1，AHAEHEx 1，在 Rt ADH 中，AD 2+AH2DH 2，x 2+（x1） 2（x +2） 2，整理得 x26x30，解得 x13+2 ，x 232 （舍去），即 AD 的长为 3+2 故答案为 3+2 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图
27、形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质和勾股定理三、解答题（共 8 小题，共 72 分）17（9 分）已知：如图，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP3PC，Q 是 CD的中点求证：ADQ QCP【分析】利用两边及其夹角法即可作出证明【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形，BP3PC，Q 是 CD 的中点，QCQD AD，CP AD， ，又ADQ QCP，ADQ QCP 【点评】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题，熟练掌握三角形相似的三个判定定理是解答本题的关键18（9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y1x+b 与双曲线 y2 交于 A
28、（2，3），B（m， n）两点（1）求 m、n 的值；（2）若 y1y 2，则 x 的取值范围为 3x0 或 x2 （请直接写出）【分析】（1）将 A 代入双曲线的解析式和直线的解析式即可求出 k 和 b 的值，联立直线和双曲线的解析式后即可求出 B 的值；（2）结合函数图象可以直接得到答案【解答】解：（1）把 A（2，3）代入 yx +b，b1，把 A（2，3）代入 y2 ，k6， ，解得：x3，x 2，B（3，2），m3，n2；（2）如图所示：当3x0 或 x2 时，y 1y 2故答案是：3x0 或 x2【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，正确的识别图形是解题的关键19（9 分）
29、如图，在ABC 中，ACB 90，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段 AB 于点 D；以点 A 为圆心， AD 长为半径画弧，交线段 AC 于点 E，连结 CD（1）若A28，求ACD 的度数（2）设 BCa，ACb线段 AD 的长是方程 x2+2axb 20 的一个根吗？说明理由若 ADEC，求 的值【分析】（1）根据三角形内角和定理求出B，根据等腰三角形的性质求出BCD，计算即可；（2） 根据勾股定理求出 AD，利用求根公式解方程，比较即可；根据勾股定理列出算式，计算即可【解答】解：（1）ACB90，A28，B62，BDBC，BCDBDC59，ACD90BCD31；（2） 由勾股
30、定理得， AB ，AD a，解方程 x2+2ax b20 得，x a，线段 AD 的长是方程 x2+2axb 20 的一个根；ADAE，AEEC ，由勾股定理得，a 2+b2（ b+a） 2，整理得， 【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键20（9 分）如图，边长为 1 的正方形网格中，A（1，4）、B（3，2）、C（5，2）、D（3，2）（1）将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转，得到对应线段 BE当 BE 与 CD 第一次平行时，画出点 A 运动的路径，并直接写出点 A 运动的路径长；（2）线段 AB 与线段 CD 存在一种特殊关系
31、，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标【分析】（1）把段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90得到 BE，则 BECD，然后计算出AB，利用弧长计算出 AE 的弧长即可；（2）若 A 点的对应点为 C， B 点的对应点为 D 点，作 AC 和 BD 的垂直平分线，它们的交点 P 满足条件；若 A 点的对应点为 D，B 点的对应点为 C 点，作 AD 和 BC 的垂直平分线，它们的交点 P满足条件【解答】解：（1）如图，弧 AE 为所作；BA 2 ，点 A 运动的路径长 ；（2）这个旋转中心的坐标为 P（1，0）或 P（4，3）【点评】本题考查了作图旋转变
32、换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了平行线的性质21（9 分）如图，ABC 内接于O，弧 AB、弧 AC 相等，过 A 的切线交 BO 于 P（1）求证：APBC（2）若 cosP ，求 tanCAP 【分析】（1）作 AHBC 于 H，如图，利用弧、弦、圆周角之间的关系由弧 AB弧AC 得到 ABAC，则根据等腰三角形的性质得 BHCH，再根据垂径定理的推论可判断点 O 在 AH 上，然后根据切线的性质得 OAAP，于是可判断 APBC；（2）根据平行线的性质，由
33、 APBC 得到PPBC ，再根据正切的定义得到tanOBH ，设 OH3x ，则 BH4x ，OB 5x，然后在 RtABH 中利用正切的定义可计算出 tanABH 2，然后证明ABH CPAC 即可【解答】（1）证明：作 AH BC 于 H，如图，弧 AB弧 AC，ABAC，BHCH，即 AH 垂直平分 BC，点 O 在 AH 上，AP 为切线，OAAP，APBC；（2）解：APBC，PPBC，在 Rt OBH 中，tanOBH ，设 OH3x，则 BH4x，OB5x，AHOA +OH8x ，在 Rt ABH 中，tan ABH 2，ABHCCAP，tanCAP 2【点评】本题考查了切线的
34、性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了等腰三角形的性质和垂径定理22（9 分）某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元，销售 20 台 A 型和10 台 B 型电脑的利润为 3500 元（1）求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超过 A型电脑的 2 倍，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元求 y 关于 x 的函数关系式；该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
35、最大利润是多少？【分析】（1）设每台 A 型电脑销售利润为 a 元，每台 B 型电脑的销售利润为 b 元；然后根据销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元，销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑的利润为 3500 元列出方程组，然后求解即可；（2） 根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；根据 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍列不等式求出 x 的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可【解答】解：（1）设每台 A 型电脑销售利润为 a 元，每台 B 型电脑的销售利润为 b 元；根据题意得 ，解得 答：每台 A 型电脑销售
36、利润为 100 元，每台 B 型电脑的销售利润为 150 元；（2） 根据题意得， y100x+150（100x），即 y50x+15000 ；据题意得，100x2x，解得 x33 ，y50x+15000 ，y 随 x 的增大而减小，x 为正整数，当 x34 时，y 取最大值，则 100x 66，此时最大利润是 y5034+1500013300即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大，最大利润是 13300 元【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最
37、值是常用的方法，需熟练掌握23（9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 G 在边 BC 上（不与点 B，C 重合），连结AG，作 DEAG 于点 E，BFAG 于点 F，设 k（1）求证：AEBF （2）连结 BE，DF ，设EDF，EBF求证：tan ktan （3）设线段 AG 与对角线 BD 交于点 H，AHD 和四边形 CDHG 的面积分别为 S1 和S2，求 的最大值【分析】（1）利用同角的余角相等判断出BAGDAE，进而得出ADEBAF，即可得出结论；（2）先判断出ABGDEA，进而得出 k ，再根据锐角三角函数即可得出结论；（3）方法 1、先判断出 S1 SBHG ，再判断出
38、S2 SBHG ，即可得出结论方法 2、先表示出 S2 BCCD kh kh，S 1 ADh h，即可得出结论【解答】解：（1）四边形 ABCD 是正方形，ADAB，BAD90，BAG+DAG90，DEAG ，BFAG，AEDBFA90，ADE+DAG90，BAGDAE，ADEBAF（AAS ），AEBF，（2）由（1）知，BAGEDA，ABGDEA，ABGDEA， ， k在 Rt DEF 中，EF DEtan，在 Rt BEF 中，EF BFtan ，DEtanBFtan ，tan tan tanktan；（3）方法 1、如图，四边形 ABCD 是正方形，BCAD，ADBC， k， k，AD
39、BC，ADH GBH， （ ） 2 ，S 1 SBHG ，设BHG 的边 BG 上的高为 h，ADH 的边 AD 上的高为 h，ADH GBH k，hkh k S BCD SBHG ，S 2S BCD S BHG SBHG ， k 2+k+1（k ） 2（k ） 2+k 时， 的最大值为方法 2、如图 1，设正方形的边长为 1，连接 BD 交 AG 于 H，过 H 作 MNBC 交 AD 于 M，BC 于 N，设 HNh，HMh，h+h 1， k，BGk， k，S2 BCCD kh kh，S1 ADh h（k ） 2+ ，k 时， 的最大值为 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质
40、，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，比例的性质，判断出 S2 SBHG 是解本题的关键24（9 分）已知抛物线 yax 22ax 4 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y轴交于点 C，ABC 的面积为 12（1）求抛物线的对称轴及表达式；（2）若点 P 在 x 轴上方的抛物线上，且 tanPAB ，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过 C 作射线交线段 AP 于点 E，使得 tanBCE ，联结BE，试问 BE 与 BC 是否垂直？请通过计算说明【分析】（1）根据对称轴直线公式求得对称轴；由抛物线解析式求得点 C 的坐标，然后由三角形面积公式来求 a 的值；
41、（2）如图，过 P 作 PHx 轴于点 H根据已知条件可设 PHk，AH2k ，则 P 点的坐标是（2k2，k ）（k 0）根据二次函数图象上点的坐标特征得到：k （2k2） 2（2k 2）4，则易求 k 的值；（3）是设 AE 交 y 轴于点 D，通过证明AOCEBC，推知对应角相等：EBCAOC90，故 BEBC 【解答】（1）解：抛物线 yax 22ax 4，与 y 轴交点 C（0，4）对称轴为直线 x 1，抛物线与 x 轴交于点 A、B ，且ABC 的面积为 12，AB6，点 A（2，0），B（4，0），抛物线过点 A，04a+4a4，a ，抛物线表达式为 y x2 x4；（2）解：如图，过 P 作 PHx 轴于点 HtanPAB ，设 PHk，AH2k ，P 点的坐标是（2k 2，k ）（ k0）点 P 在抛物线上，k （2k 2） 2（2k 2）4，k ，P（5， ）；（3）是证明：设 AE 交 y 轴于点 D，A（2，0），C（0，4 ），tanACO ，