1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（五）17 （本小题满分 10 分）设 2sincos4fxx（1）求 f的单调区间；（2）在锐角 ABC 中，角 ， B， C，的对边分别为 a， b， c，若0f， 1a，求 面积的最大值【答案】 （1）单调递增区间是 ,4k，单调递减区间是3,4k；（2） 【解析】 （1）由题意cos2111sinsin2sin2i2 2xfx xx，由 2kxk ，可得 4kk ，由 32kxk ，可得 3kxk ，所以 f的单调递增区间是 ,4，单调递减区间是3,4k；（2） 1sin02Af， 1sin2A，由题意 是锐角，所以 3cos；由余弦
2、定理： Abcaos22，可得 213bcb ， 132 ，且当 时成立，sin24cA， ABC 面积最大值为 418 （本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， 5AB， 6C，点 E，F分别在 AD，CD 上， 54AECF，EF 交 BD 于点 H将DEF 沿 EF 折到DEF的位置 10O（1）证明： H平面 ABCD；（2）求二面角 BAC的正弦值【答案】 （1）详见解析；（2） 295【解析】 （1）证明：由已知得 ACBD， 又由 AECF得 D，故 ACEF因此 H，从而 EH由 5AB， 6得 24OBAO由 CEF得 14D所以
3、1OH， 3于是 22210O ，故 DH又 DEF，而 ，所以 H平面 ABCD（2）解：如图，以 为坐标原点， HF的方向为 x轴正方向，建立空间直角坐标系 xyz则 0H， ， ， 310A， ， ， 50B， ， ， 310C， ， ， 3D， ， ，4B， ， 6C， ， ， AD， ， 设 1mxyz， ， 是平面 B的法向量，则 0mAB，即 11340xyz，所以可取 435m， ， 设 22nxyz， ， 是平面 ACD的法向量，则 0nACD，即 22603xyz，所以可取 031n， ， 于是 475cos, 2501m 295sin,m因此二面角 BDAC的正弦值是 9
4、19 （本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数（1）求 X 的分布列；（2）若要求 05PXn ，确定 n 的最小值
5、；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 19n与 20之中选其一，应选用哪个？【答案】 （1）详见解析；（2）19；（3） 19n【解析】 （1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而6024PX ；17016 ；8242PX ；19004 ；242PX ；108 ；24PX ；所以 X 的分布列为：X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04（2）由（1）知 1804 ， 19068PX ，故 n 的最小值为
6、19（3）记 Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元） 当 19n时，20.6819205.2190250.8E1920350.4（元） 当 n时，20.82050.8205.048EY（元） 可知当 19n时所需费用的期望值小于 n时所需费用的期望值，故应选20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 2:10xyEab的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 :3lx与椭圆 E有且只有一个公共点 T（1）求椭圆 的方程及点 T的坐标；（2）设 O是坐标原点，直线 l平行于 O，与椭圆 交于不同的两点 A、B，且与直线 l交于点 P证明：存在常数 ，使得 2PTB，并
7、求的值【答案】 （1）椭圆 E的方程为2163xy点 T的坐标为 2,1；（2） 4=5【解析】 （1）由已知， 2ab，则椭圆 E的方程为2xyb由方程组213xyb，得 22180x方程的判别式为 240b，由 ，得 23b，此时方程的解为 2x，所以椭圆 E的方程为2163xy点 T的坐标为 2,1（2）证明：由已知可设直线 l的方程为 1(0)2yxm，由方程组123yxm，可得 321xy，所以 P 点坐标为 2,13m，28|9PT设点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)由方程组2631xym，可得 223410()xm方程的判别式为 269()，由 0
8、，解得 32由得 1243mx，2143x所以221115| 3mPAyx，同理 25|23mBx所以 221 12155|243343mPABxxx2 2254104339mmm故存在常数 4=5，使得 2PTAB21 （本小题满分 14 分）已知函数 ln1fx， gxk， R（1）证明：当 0， f；（2）证明： 1k时，存在 0x，使得对 0,x，恒有 fxg；（3）确定 的所有可能取值，使得存在 t，对 ,t，恒有2fxgx【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析；（3） 1k【解析】 （1）令 ln1Fxfxx， 0,，则有 1xx，当 0,， 0F，所以 F在 0,上单调递减，故
9、当 x时， x，即当 x时， fx（2）令 ln1Gfgk， 0,，则有 1kxx，当 0k ， G，所以 在 0,上单调递增， 0Gx，故对任意正实数 0x均满足题意当 01k令 G，得 10kx，取 0xk，所以 0,，恒有 Gx，所以 x在 0,上单调递增， G，即 fxg综上，当 1k时，总存在 0，使得对 0,x，恒有 fxg（3）当 时，由（1）知，对于 ,， gf，故gxf， ln1fgxfkx，令 2ln1Mxk， 0,，则有 21xk，故当 2810,4kkx时， 0Mx，Mx在 2810,4kk上单调递增，故 0x，即 2fxgx，所以满足题意的 t不存在当 1k时，由（2）知存在 0，使得当 0,x，恒有 fxg此时 ln1fxgfxgk，令 2ln1Nxkx，则有 211xkNxk，故当 280,4x 时， 0x，Nx在 2810,4kk 上单调递增，故 0Nx，即 2fxgx，记 0与 2814kk中较小的为 1x，则当 10,，恒有 2fgx，故满足题意的 t不存在当 k，由（1）知，当 0时， ln1fgxfxx，令 2lnHxx， ,，则有21Hxx，当 0时， 0，所以 x在 0,上单调递减，故 0H，故当 x时，恒有 2fxgx，此时，任意正实数 t满足题意综上， 1k