1、2019 年高考理科数学考前 30 天-计算题专训（十一）17已知向量 cos,12xmur， 23sin,coxr，设函数 1fxmnur（1）求函数 f的单调递增区间；（2）若 x的方程 fxa在区间 0,上有实数解，求实数 a的取值范围【答案】 （1） 23sincos1xf3sincosi226x，令 6kk ， 233xk （ Z） ，所以所求递增区间为 2,k（ ） （2） 1sin62fx在 0,x的值域为 30,2，所以实数 a的取值范围为 3,18已知公比为 q的等比数列 na的前 6 项和 621S，且 1234,a成等差数列（1）求 na；（2）设 nb是首项为 2，公差
2、为 1a的等差数列，记 nb前 项和为 nT，求nT的最大值【答案】 （1） 1234,a成等差数列， 12，即 12， q， 616aS，解得 13a，所以123na（2）由（1）可知 nb是首项为 2，公差为 的等差数列， 173nb，于是 2136nT，则 nT的最大值为 7，此时 6n或 719已知 ABC 的内角 C、所对的边分别为 abc、，满足223tanbca（1）若 0,A，求角 A；（2）若 cos3inabC，试判断 ABC 的形状【答案】 （1）由余弦定理知： 22cosbcab， 33tansin2coAA， 0,， 3（2） cosinabC，由正弦定理有： isi
3、co3sinABC，而 ABC， sincosinBCsico3sinBC，即 cosi3i，而 i0， 3ins1B， 1sin62B， ,B， 3，又由（1）知 3A，从而 3C，因此 BC 为正三角形20已知点 D是椭圆 2:10xyab上一点， 12F、分别为 C的左、右焦点， 12F， 126F， 12FD 的面积为 3（1）求椭圆 C的方程；（2）过点 1,0Q的直线 l与椭圆 C相交于 AB、两点，点 4,3P，记直线,PAB的斜率分别为 12,k，当 12,k最大时，求直线 l的方程【答案】 （1）易知 c，由 123FDS ，1212sin60FDS 12431283DF，由
4、余弦定理及椭圆定义有： 221128cos60FFD2211238FFa24a，又 ， b，从而2:4xyC（2）当直线 l的斜率为 0 时，则 123424k；当直线 l的斜率不为 0 时，设 1,Axy， 2,Bxy，直线 l的方程为1xmy，将 代入214xy，整理得 230my，则 12my， 123y，又 1x， 21xmy，所以， 121212343ykxm121293yy22933m225341468，令 41tm，则 12245tk，当 0t即 时， 123k；当 t时， 12245t254t， 12734k 或 12k 当且仅当 5t，即 m时， 12取得最大值由得直线 l的
5、方程为 0xy21已知函数 2exfaR（1）若 1fgx有三个极值点 123,x，求 a的取值范围；（2）若 3fa 对任意 0,都恒成立的 的最大值为 ，证明：65【答案】 （1） 2e1xag，定义域为 ,1,U，22exxg 2e1xa， 0g，只需 e0xha应有两个既不等于 0 也不等于 1的根，当 0a 时， 0hx， hx单增， 0x最多只有一个实根，不满足；当 时， exa0elnxa，当 0,x时， 0h， 单减；当 0,x时， 0hx，h单增； 0x是 的极小值，而 时， e2xha， x时，e2xha，要 0有两根，只需 0hx，由0e20xhalne20alnl11l
6、ea，又由 0202ha，反之，若 1e且 时，则 10eha， hx的两根中，一个大于，另一个小于 在定义域中，连同 0x， gx共有三个相异实根，且在三根的左右，gx正负异号，它们是 的三个极值点综上， a的取值范围为 1,e2U（2） 3xfxa 3231exax 对 0,1恒成立，当 0x或 1 时， R均满足； 23exax 对 0,1恒成立 23e1xa对 0,1恒成立，记 231xu， ,， max23minx， ,x，欲证 23min6e16555x，而 23minminexue81124u，只需证明 26138e1e5201089e2.754，显然成立下证： 2323mine1e155xx， 0,1x， 23e51x， 0,x，先证： 23e16xx， ,x， 32e6xx， ,令 32exv， 0,1x，21exv， exv， e1xv， vx在 0,1上单增， 0vx， vx在 0,1上单增， 0vx， vx在,1上单增， 01vx，即证要证： 23e5x， 0,1x只需证 2323156 ， 32190, 06xx，3270xx 2176 27， ,1x，而 24165，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立