1、2019 年高考理科数学考前 30 天-计算题专训（十）17 （本小题满分 12 分）在 中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，ABC abcABC且 ， 3cos5Bincossin0（1）求边 的值；b（2）求 的周长的最大值AC【答案】 （1）由 得sincosin0BABsincoiB ，即 siCsc由正弦定理得 ，故 niCb1b（2）由余弦定理得， 226cos5acaBac ， 22165ac 所以当 时， 的周长的最大值为 ABC 5118 （本小题满分 12 分）2018 年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行 5次全区竞赛，学生如果其中 2 次成绩达全区前 20 名
2、即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加 5 次竞赛规定：若前 4 次竞赛成绩都没有达全区前 20 名，则第 5 次不能参加竞赛假设某学生每次成绩达全区前 20 名的概率都是 ，每次竞赛成绩达全区前 20 名与否互相独立14（1）求该学生进入省队的概率（2）如果该学生进入省队或参加完 5 次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为 ，求 的分布列及 的数学期望【答案】 （1）记“该生进入省队”的事件为事件 ，其对立事件为 ，AA则 344 81C2PA 711（2）该生参加竞赛次数 的可能取值为 2，3 ，4， 5， ，2146P12CP213C443782564314256
3、P故 的分布列为： 2 3 4 5P162761327924564E19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底PABCDPABCD面 为菱形， ， ，过 作平面 与直线 平ABCD60ABC2EP行，交 于 PE（1）求证： 为 的中点；（2）求二面角 的余弦值AB【答案】 （1）证明：连结 ，设 ，连接 ，则 为 的中点，ACBDOIEOAC且面 面 ，PACIBDEO 平面 ， ， 为 的中点 P EP（2） ， 底面 ， ABCA又 ， ， 平面 ACBDOEI D过点 作 的垂线，交 于 ，连接 M ， ， 为所求的平面角MAO， ，又 ， ODE32172A ，二
4、面角 的余弦值为 1cos7AMEDB1720 （本小题满分 12 分）椭圆 的右焦点为 ，过210xyab12,0F作圆 的切线交 轴于点 ，切点 为线段 的中点1F22xybQN1Q（1）求椭圆的方程；（2）曲线 与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的2yxm圆心坐标【答案】 （1）由已知得 ，且 ，2cbc ， 2b236a所以椭圆的方程为 ；216xy（2）由曲线 知曲线的图象关于 轴对称，2my又椭圆 的图象也是关于 轴对称，所以圆心在 轴上，216xy y设圆心为 ，曲线 与椭圆在一、四象限交于 ，0,Mt2yxm1,Ax两点，则 ， 2,Bxy212把 代入 得 ，
5、，2m26xy2360y123y又由 得 ，MAB2221xytxt即 ，22211xytt21212ytxyt ， ， 12123tt所以此圆的圆心坐标为 0,21 （本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 21lnfxaxa1（1）求函数 的单调区间；fx（2）证明：对任意 时， *nN11lln2ln2L【答案】 （1） ， ，1xaafx0x若 ，当 时， ，当 时， 0a 0f1f所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；fx1,0,1若 ，当 时， ，当 或 时， ，01ax0fxxa0fx所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；fx,a1,1（2）证明：当 时，由（1）知 在 处取得最小值，2afx ，即 ，0fx 21ln0x当 时，恒有 12l1lnllnL12nL122