1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（十六）17 （10 分） ABC 的内角 ,的对边分别为 ,3abcA（1）若 3a，求 面积的最大值；（2）若 c，求 sinB的值【答案】 （1） AC 面积的最大值为 34；（2） 398【解析】试题分析：（1）有余弦定理易得 2bc，结合均值不等式得：3bc，又 13sin24ABCSbcbc ，从而 ABC 面积的最大值可得；（2）由正弦定理得 siia，从而 13os4，又 sin3C，故可求得 n的值试题解析：（1）由余弦定理得 22cosabA，即 23bc，所以23bc，因为 2b ，所以 32bc ，即 3bc （当且仅
2、当 bc时，等号成立） ，所以 1sin4ABCSc ，故 ABC 面积的最大值为 34（2）由正弦定理得， siniacA，所以 1sinisin23ca，所以 13cos4C，又因为 2ac，所以 c，所以 CA，故 为锐角，所以 cs，所以 sinisinsisincosin33BACCC313924818 （12 分）已知正项数列 na的前 项和为 nS，满足 2*12nSaN（1）求数列 n的通项公式；（2）设数列 12nab，求数列 nb前 项和 nT的值【答案】 （1） 2na；（2）2614n【解析】试题分析：（1）由2nSa推得 110nnaa，即1na，其中 2n ，故而得
3、到数列 n的通项公式；（2）利用裂项相消法求和试题解析：（1）当 n时，即212Sa，解得 12a，221124nnnSaSa211nn： 211nnnaa，所以 2110nnaa，即 110nn，因为 na是正项数列，所以 1na，即 1na，其中 2n ，所以 n是以 12为首项，1 为公差的等差数列，所以 1n（2）因为 na，所以 12na，所以222222111nbnnn 2241n，所以 12 22221114435nnTb n2264411n19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD为梯形， ABCD ，12ADCB， 为等边三角形， P（1）求证：平面 P
4、AD平面 BC；（2）求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析；（2）二面角 APBC的余弦值为65【解析】试题分析：（1）欲证面面垂直，即证线面垂直；（2）以 DA为 x轴，DB为 y轴，过 点与平面 D垂直的直线为 z轴建立空间直角坐标 yz，平面 PA的法向量 3,1n，平面 PBC的法向量653,1cos,mm，从而得到二面角 AC的余弦值试题解析：（1）如图取 AB的中点 E，连接 D，依题意 EB 且 D，所以四边形 CD是平行四边形，所以 E因为 是 中点，所以12AB，故 AE，所以 D 为等边三角形，所以 60D，因为 ABC ，所以 ,BC，所以平行四边形 E为菱形，所以1
5、302EDBC，所以 90ADB，即 AD，又已知 PA，所以 平面 P，平面 ，所以平面 平面 C（2）由（1）知， BD平面 PA，平面 D平面 ABC，所以如图，以DA为 x轴， 为 y轴，过 点与平面 垂直的直线为 z轴建立空间直角坐标 z设 2B，则 3， 1ADCBPAD，所以1331,0,0,0,22A，所以3,1,32PAB设平面 PAB的法向量 ,nxyz，则13002PAnxzBy，令 3x，则 1,yz，所以 3,1同理可得平面 PBC的法向量 ,m，所以65cos,mn，所以二面角 APBC的余弦值为6520 （12 分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体
6、素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图） ，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:23，其中第 2 小组的频数为 12（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选 2 人，设 X表示体重超过 60 公斤的学生人数，求 X的分布列和数学期望【答案】 （1） 48n；（2）随机变量 的分布列为：54EX【解析】试题分析：（1）由条件可得： 1230.5,.,0.75pp，20.5pn， 48；（2）由题意知 X服从二项分布，230,1kkPXkC，从而得到分布列及期望
7、试题解析：（1）设报考飞行员的人数为 n，前 3 个小组的频率分别为 123,p，则由条件可得： 2131230.7.135p，解得 1230.5,.,.pp，又因为 2.n，所以 48（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为：3 50.7.138Pp，由题意知 X服从二项分布，22530,18kkPXkC，所以随机变量 的分布列为：5284EXnp21 （12 分）已知点 M是圆心为 E的圆 2316xy上的动点，点3,0F，线段 F的垂直平分线交 于点 P（1）求动点 P的轨迹 C的方程；（2）矩形 ABD的边所在直线与曲线 C均相切，设矩形 ABCD的面积为 S，求
8、S的取值范围【答案】 （1）214xy；（2） 810S 【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设 AB的方程为 1ykxm， BC的方程为 2ykxn，直线 AB与 CD间的距离为121d，直线 与 AD间的距离为221ndk，12221 1944nSkk，从而得到 S的范围试题解析：（1）依题 PMF，所以 4PEFPME（为定值） ，23EF， 4，所以点 P的轨迹是以 E， F为焦点的椭圆，其中 24,3ac，所以 点轨迹 C的方程是214xy（2）当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得 8S；当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设
9、AB的方程为 1ykxm， BC的方程为 2ykxn，则 CD的方程为1ykxm， D的方程为 2n，其中 1，直线 AB与 C间的距离为12211mdk，同理直线 BC与 AD间的距离为2221nndk，所以12221.*mSdk22111 044xyxk，因为直线 AB与椭圆相切，所以2214km，所以214k，同理241nk，所以222211146kkkS2147k2 21 199444kk，21k（当且仅当 1k时，不等式取等号） ，所以9442S，即 810S ，由可知， 810 22 （12 分）已知函数 elnxf（1）研究函数 fx的单调性；（2）若不等式 1fa在 ,上恒成立
10、，求实数 a的取值范围【答案】 （1） fx在 0,上单调递增；（2） (,e【解析】试题分析：（1）二次求导确定函数的单调区间；（2）不等式fxa在 ,上恒成立 eln10xga在 ,上恒成立，转求 g的最小值即可试题解析：（1）易知函数 fx的定义域为 0,，1elnxf，设1lnhx，则21xhx，当 0x时， 0，当 时， 0，所以 min10h，故 f，所以 fx在 ,上单调递增（2）依题 eln1xa在 ,上恒成立，设 lxgx，则 0gx在 1,上恒成立，10，1elnxa，欲使 gx在 ,上恒成立，则 10g ，得 ea ，反之，当 ea 时，1elnlnxxg，设1lnxrx，则2elxrx，设2l1xx，则22233311 0xxx，所以 x在 1,上单调递增，所以 10x，所以 0r，所以 rx在 1,上单调递增，所以 1rx，故 gx，所以 g在 ,上单调递增，又 10，所以 0x在 1,上恒成立，综上所述， g在 ,上恒成立 ea ，所以 a的取值范围是 (,e