1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（二）17已知数列 的前 项和为 ，且满足 nanS*41,3nanN（1）求数列 的通项公式；n（2）令 ，记数列 的前 项和为 证明：nnab2log1()nbnnT13nT【解析】解：（1）当 时，有 ，解得 .1n1143aS41a当 时，有 ，则 ，2n 1143nnS 113nnnn整理得： ， 数列 是以 为公比，以 为首项的等比数列1nana4q41a，*4nN即数列 的通项公式为： 6 分na*4na（2）由（1）有 ，则22loglnnnb11=nbnT135721n21 21n n易知数列 为递增数列，nT，即 12 分
2、12n 132n18 （本小题满分 12 分）据统计，2017 年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客 590.23 万人次，实现旅游收入 48.67 亿元，同比分别增长 44.57%、55.22%旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于 40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高已知甲、乙两家旅游公司各有导游 100 名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组 10,20,30,4,50,6频数 b18 49 24 5（1）求 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高,ab（
3、2）若导游的奖金 （单位：万元） ，与其一年内旅游总收入 （单位：百万y x元）之间的关系为 ，求甲公司导游的年平均奖金；1 2043 x（3）从甲、乙两家公司旅游收入在 的总人数中，随机的抽取 人进行表50,63彰，设来自乙公司的人数为 ，求 的分布列及数学期望【解析】解：（1）由直方图知： ，有0.1250.3.10a，0.2a由频数分布表知： ，有 18492b4b甲公司的导游优秀率为： ；0.10%3乙公司的导游优秀率为： ；24529由 于 ， 所 以 甲公司的影响度高4 分30%29（2）甲公司年旅游总收入 的人数为 人；10,20.10年旅游总收入 的人数为 人；20,4.5.3
4、6年旅游总收入 的人数为 人；,60.210故甲公司导游的年平均奖金 （万元） 8 分632.y（3）由已知得，年旅游总收入在 的人数为 15 人，其中甲公司 10 人，50,乙公司 5 人故 的可能取值为 0，1，2，3 易知：； ； ；3105C249p1053C49p12053C9p315的分布列为：0123p2495091的数学期望为： 12 分24520()013199E19 （本小题满分 12 分）在四棱锥 中，四边形 是矩形，平面 平面 ，点 、PABCDABCDPABCDE分别为 、 中点F（1）求证： 平面 ；/E（2）若 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的APB=120A
5、EFPAB余弦值【解析】 （1）证明：取 中点 ，连接 ， PDGFC在 中，有 ， 分别为 、 中点， ，PA FAP1/2GAD在矩形 中， 为 中点， ， ，BCE1/2E/E四边形 是平行四边形， ，FG/CF而 平面 ， 平面 ，PDPD平面 6 分/EC（2）取 中点 ，连接 ，设 ABOP=2AD四边形 是矩形， ，CDB平面 平面 ，平面 平面 = ， 平面 ，PCABDPAB平面 ，又 ， ， 为 中点，ABAP120O， ， O3O故可建立空间直角坐标系 ，如图所示，则xyz， ， ， ， ，3,0A,10P3,0B3,02C3,02D， ，,2F,E， ，3,01D31,
6、2DF设 是平面 的一个法向量，则,xyznE，即 ，0DEF2301xzy不妨设 ，则 1x,732n易知向量 为平面 的一个法向量0,2ADPAB，222330cos, 17n故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 12 分DEFPAB30220 （本小题满分 12 分）已知点 为曲线 上任意一点， 、 ，直线 ， 的斜率之积为PC)1,0(A),(BPAB21（1）求曲线 的轨迹方程；（2）是否存在过点 的直线 与曲线 交于不同的两点 ，使得2,0QlC,MN？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由BMN【解析】解：（1）设点 ， ，则 ，,Pxy12PABykx整理得： ，21
7、xy故曲线 的轨迹方程为：C， 5 分21xy0x（2）假设存在直线 满足题意l显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆 不相交C当直线 的斜率 时，设直线 为： ，l0kl2ykx联立 ，化简得： ，21xyk22180由 ，解得 20k，2284180k设点 1,Mxy， 2,Nxy，则1228kx， 21212 284411kkykx，取 MN的中点 H，则 1212,y，则 21kxy，即 214k，化简得 02k，无实数解，故舍去当 0k时， ,MN为椭圆 C的左右顶点，显然满足 BMN，此时直线l的方程为 y综上可知，存在直线 l满足题意，此时直线 l的方程为 0y12 分21 （本小题
8、满分 12 分）已知函数 2fx， 1emxg( 是常数)（1）求函数 hf的单调区间；（2）当 0,4ex时，函数 1hxfgx有零点，求 m的取值范围【解析】解：（1）由题意知： 2emxR，则22(eemxmxh， 当 0时，令 0h，有 ；令 0hx，有 x故函数 yx在 ,上单调递增，在 ,上单调递减当 0m时，令 0h，有 2xm；令 0hx，有 2xm或故函数 yx在 2,上单调递增，在 ,和 2,上单调递减当 0m时，令 0hx，有 x或 m；令 0hx，有 0xm故函数 y在 ,和 2,上单调递增，在 2或上单调递减综上所述，当 0m时，函数 yhx的单调递增区间为 0,，单
9、调递减区间为 ,；当 时，函数 的单调递增区间为 2,m，单调递减区间为 ,0和 2,m；当 0m时，函数 yhx的单调递增区间为 2,m和 0,，单调递减区间为 20或；5 分（2）当 m时，由 =hx可得 1，有 0,4e，故 0m满足题意当 0时，若 20,4e，即 2em时，由（1）知函数 yhx在2,m上递增，在 ,上递减而 01h，令 2max4e10h ，有 2em ， 2em，若 4,，即 102em 时，由（1）知函数 yhx在 0,4e上递增而 1h，令 24e610mh，解得 1ln2e，而1ln4e2，故 0em 当 时，由（1）知函数 yhx在 0,4e上递增，由 01h，令 24e60mh，解得 1ln2e，而 1ln2，故 m综上所述， 的取值范围是： 12 分