1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（八）17 （本小题满分 12 分）已知 ABC 的面积为 S，且 32ABCS， 3AB（1）若 2cos0fxx的图象与直线 2y相邻两个交点间的最短距离为 2，且 16f，求 的面积 S；（2）求 3cosSBC的最大值【答案】 （1） 32A ；（2） 3【解析】 （1） cos0fxx的图象与直线 2y相邻两个交点间的最短距离为 T， 2，即： 2，解得 ， cosfxB，12cos16fB，即： 1cos6B， 是 AC 的内角， B，又 32ACS，设 AB 的三个内角的对边分别为 ,abc，1 cosinb， ta3， A，从
2、而 ABC 是直角三角形，由已知 3ACB得，从而 b， 132ABCSab （2）由（1）知 ， a，设 ABC 的外接圆半径为 R，则 322sinaA，解得 3R，133cossin3coscos24in3cSBCbABCbBC ，故 cs的最大值为 18 （本小题满分 12 分）如图：已知平面 ABCD平面 E，平面 AB平面 CE， ABD:，4AB， 2， 为等边三角形， P是线段 上的动点（1）求证：平面 平面 ；（2）求直线 与平面 P所成角的最大值；（3）是否存在点 ，使得 ABD？请说明理由【答案】 （1）见解析；（2） 4；（3）不存在【解析】 （1） 平面 ABCD平面
3、 EBC，在平面 AD内作 MBC，则 AM平面 E，同理，在平面 内作 N，则 A平面 E，:，即 ， 重合， 平面 ，取 B、 中点 OF、 ，连结 COF、 ，以 为原点， E、 、 为 xyz， ， 轴正方向建立坐标系，则 2,04A， 2,0B， ,230C， ,23D， 2,0E，可得平面 E的法向量为 ,O，设面 D的一个法向量为 ,mxyz，则 4023mAxzEy，可得 1,0，从而 OC，平面 ABE平面 D（2）设 Pd，则 0,2d，设面 APE的一个法向量为 ,nmk，则 43nAEmkn，可得 21,3dn设直线 B与面 所成角为 ，则 24sin1Ad，所以 ma
4、x2sin，从而直线 B与平面 PE所成角的最大值为 4（3）由（2）知 0,23d，则 2,3Ad， 2,3BD，4APDd， 4，故不存在点 P，使得 A19 （本小题满分 12 分）2016 年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市 50 个一孩家庭，他们中有二孩计划的家庭频数分布如下表：家庭月收入（单位：元） 2 千以下2 千5千5 千8千8 千1万1 万2万 2 万以上调查的总人数 5 10 15 10 5 5有二孩计划的家庭数 1 2 9 7 3 4（1）由以上统计数据完成如下 22 列联
5、表，并判断是否有 95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由收入不高于 8 千的家庭数 收入高于 8 千的家庭数 合计有二孩计划的家庭数无二孩计划的家庭数合计（2）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为 12，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在 8 千1 万的 3 个有二孩计划家庭中“好字”家庭有 X个，求X的分布列及数学期望下面的临界值表供参考：【答案】 （1）见解析；（2） 132EX；【解析】 （1）依题意得： a， 8b， 4c， 6d；收入不高于 8 千的家庭数 收入高于 8 千的家庭数 合计有二
6、孩计划的家庭数 12 14 26无二孩计划的家庭数 18 6 24合计 30 20 50225016845.37.8413K，因此有 95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关（2）由题意知， 13,2XB:， 的可能取值为 0，1，2，3；31028PX， 213C8PX，3C， 2，X的分布列为： X0 1 2 3P8381132EX20 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 2:10xyCab的离心率为 2，直线yx被椭圆 C截得的线段长为 83（1）求椭圆 的方程；（2）直线 l是圆 22:Oxyr的任意一条切线， l与椭圆 C交于 A、 B两点，若以 AB为直径
7、的圆恒过原点，求圆 O的方程，并求出 的取值范围【答案】 （1）2184xy；（2）圆 的方程为 283xy， 的取值范围是46,3【解析】 （1） 2cea， 2b，设直线与椭圆交于 P， Q两点不妨设 P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又 弦长为 83， 26,3， 2813ab，又 2ab，解得 2a， 24b， 椭圆方程为 84xy（2） （i）当切线 l的斜率不存在时，设 xr（或 r） ，代入椭圆方程得：28ry，2,Ar，28,rB，以 为直径的圆恒过原点， OAB，280r， 283r，圆 O的方程为 283xy，此时246rAB （同理当 xr时，上述结论仍然成立）（ii）当
8、切线 l的斜率存在时，设 l方程为： ykm，l与圆 O相切， 21mrk，即 221r，将直线方程代入椭圆方程并整理得：2224808kxm设 1,Axy， 2,Bxy，则 1x， 2是方程的两个解，由韦达定理得：1224km， 12k，22121211281mkyxxx，以 AB为直径的圆恒过原点， OAB， 20y，22801mk，223， 22381mk，又 221mkr，81krk，23，此时 223，代入式后成立，圆 O的方程为 283xy，此时：2222 211 2422224 22448411665118336513 1kmABkx kmkkk i）若 0，则 63AB，ii）
9、若 k，则 224146,3k综上，圆 O的方程为 283xy， AB的取值范围是 ,2321 （本小题满分 12 分）已知 lnfxmx，且曲线 yfx在点 1,f处的切线斜率为 1（1）求实数 的值；（2）设 2agxfxR在其定义域内有两个不同的极值点 1x，2，且 12，已知 0，若不等式 12ex恒成立，求 的范围【答案】 （1） m；（2） 【解析】 （1） 1lnfx，由题意知 ，即： ，解得 0m（2）因为 12ex等价于 12llnx由题意可知 1， 分别是方程 g即 a的两个根，即 lnxa， 2lxa，所以原式等价于 1212xax，因为 0， 12x，所以原式等价于 12ax又由 1lnxa， 2lxa作差得， 122lnx，即12lnxa所以原式等价于122lnxx，因为 120，原式恒成立，即 1212lnx恒成立令 12xt， ,t，则不等式 ltt在 0,t上恒成立令 1lntht，又 2211thtt，当 21 时，可见 0,t时， 0t，所以 h在 0,t上单调增，又0h，t在 ,t恒成立，符合题意当 21时，可见 20,t时， 0ht， 2,1t时 0ht，所以 ht在 时单调增，在 2,时单调减，又 ，所以 在 ,上不能恒小于 0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式 12ex恒成立，只须 21 ，又 0，所以 1