1、2017-2018 学年江苏省南京师大附中新城中学黄山路分校九年级（下）第一次调研数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分，）1（2 分）16 的算术平方根是（ ）A4 B4 C8 D82（2 分）计算 a2a4（a 2） 2 的结果是（ ）Aa Ba 2 Ca 2 Da 33（2 分）无理数 a 满足：2a3，那么 a 可能是（ ）A B C2.5 D4（2 分）在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班 42 名学生的成绩统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（ ）分数 50 60 70 80 90 100人数 1 2 8 13 14 4A70，80 B70
2、，90 C80，90 D90，1005（2 分）在二次函数 yax 2+bx+c，x 与 y 的部分对应值如表：x 2 0 2 3 y 8 0 0 3 则下列说法：图象经过原点；图象开口向下；图象经过点（1，3）；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根其中正确的是（ ）A B C D6（2 分）如图，以平行四边形 ABCD 的边 CD 为斜边向内作等腰直角CDE，使ADDECE， DEC90 ，且点 E 在平行四边形内部，连接 AE、BE ，则AEB 的度数是（ ）A120 B135 C150 D45二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2
3、分，共 20 分，）7（2 分）5 的倒数是 8（2 分）红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将 0.0000077 用科学记数法表示为 9（2 分）若式子 有意义，则 x 的取值范围是 10（2 分）分解因式：9a 281 11（2 分）计算 的结果是 12（2 分）已知 RtABC，C90，AB 13，AC12，以 BC 所在直线为轴将此三角形旋转一周所得圆锥的侧面积是 13（2 分）如图，反比例函数 y 的图象经过ABO 的顶点 A，点 D 是 OA 的中点，若反比例函数 y 的图象经过点 D，则 k 的值为 14（2 分）如图，O 的直径为
4、 5，弦 AB 长为 4，点 P 在 AB 上运动，则 OP 的最小值是 15（2 分）在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（2，4）、（5，2），点 M 在x 轴上，点 N 在 y 轴上如果以点 A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点 M 有 个16（2 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB8，AD12，点 P 是边 BC 上的动点现将纸片折叠，使点 A 与点 P 重合，折痕与矩形边的交点分别为 E，F，要使折痕始终与边AB， AD 有交点，则 BP 的取值范围是 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分）17（8 分）（1）计算：（2） 2+（ ） 0+|
5、1 |；（2）解方程组： 18（5 分）化简：（1+ ） 19（8 分）如图，点 A、F、C 、D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧，且 ABDE，AD，AF DC（1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形，（2）若ABC90，AB 4，BC 3，当 AF 为何值时，四边形 BCEF 是菱形20（7 分）光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测某次检测设有A、B 两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力（1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在 B 处检测视力的概率21（7 分）“低碳环保，
6、你我同行”，两年来，南京市区的共享单车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次共享单车？”，将本次调查结果归为四种情况：A，每天都用；B经常使用；C偶尔使用；D从未使用将这次调查情况整理并绘制如图两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有 位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若该区有 40 万市民，请估算每天都用公共自行车的布民约有多少人？22（8 分）某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出
7、200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出（1）用含 x 的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为 个（2）如果这批旅游纪念品共获利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？23（8 分）如图一平地，在建筑物 AB 的顶部测得铁塔 CD 底部的俯角为 37，测得其顶部的仰角为 26.6，已知铁塔 CD 的高 80m求建筑物 AB 的高度（参考数据：sin26.60.45 ，tan26.6 0.50，sin37 0
8、.60，tan37 0.75）24（8 分）已知二次函数 yx 2ax 2a 2（a 为常数，且 a0）（1）证明该二次函数的图象与 x 轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）若该二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为（0，2），试求该函数图象的顶点坐标25（8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的O 经过点 D，E 是O上一点，且AED 45，（1）求证：CD 是 O 的切线（2）若O 的半径为 3，AE5，求ADE 的正弦值26（10 分）甲乙两地相距 400 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地的路程 y（千米）与所用时间
9、 x（小时）之间的函数关系，折线 BCD 表示轿车离甲地的路程 y（千米）与 x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：（1）求线段 CD 对应的函数表达式；（2）求 E 点的坐标，并解释 E 点的实际意义；（3）若已知轿车比货车晚出发 20 分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当 x 小时，货车和轿车相距 30 千米27（11 分）定义：如图，点 M、N 把线段 AB 分割成 AM、MN 和 BN，若以AM、MN、BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点（1）已知点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，若 AB12，AM3，求 BN 的长（2）如图
10、 ，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，BE BC，DF CD，AE、AF 分别交 BD 于点 M、N 求证：M、N 是线段 BD 的勾股分割点（3）如图 3，点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，MNAMBN，ABC、MND 分别是以 AB、MN 为斜边的等腰直角三角形，且点 C 与点 D 在 AB 的同侧，若 MN4，连接 CD，则 CD 2017-2018 学年江苏省南京师大附中新城中学黄山路分校九年级（下）第一次调研数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分，）1（2 分）16 的算术平方根是（ ）A4 B4 C8 D
11、8【分析】如果一个非负数 x 的平方等于 a，那么 x 是 a 的算术平方根，直接利用此定义即可解决问题【解答】解：4 的平方是 16，16 的算术平方根是 4故选：A【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别2（2 分）计算 a2a4（a 2） 2 的结果是（ ）Aa Ba 2 Ca 2 Da 3【分析】首先根据同底数幂的乘法法则，求出 a2a4 的值是多少；然后根据幂的乘方的运算方法，求出（a 2） 2 的值是多少；最后用 a2a4 的值除以（a 2） 2 的值即可【解答】解：a 2a4（a 2） 2a 6a4a 2故选：B【点评】（1）此题还考查了同
12、底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：底数 a0，因为 0 不能做除数；单独的一个字母，其指数是 1，而不是 0；应用同底数幂除法的法则时，底数 a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：底数必须相同；按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（a m） na mn（m，n 是正整数）；（ab） na nbn（n 是正整数）3（2 分）无理
13、数 a 满足：2a3，那么 a 可能是（ ）A B C2.5 D【分析】在 A，B，C，D 中无理数为 A，D ，再估算 ， 的范围，即可解答【解答】解： ， ，无理数 a 可能是 ，故选：B【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算 ， 的范围4（2 分）在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班 42 名学生的成绩统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（ ）分数 50 60 70 80 90 100人数 1 2 8 13 14 4A70，80 B70，90 C80，90 D90，100【分析】根据中位数与众数的定义进行解答即可【解答】解：把这组数据从小到大排列，最中间两个
14、数的平均数是（80+80）280，则该班学生成绩的中位数是 80；90 出现了 14 次，出现的次数最多，则众数是 90；故选：C【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数5（2 分）在二次函数 yax 2+bx+c，x 与 y 的部分对应值如表：x 2 0 2 3 y 8 0 0 3 则下列说法：图象经过原点；图象开口向下；图象经过点（1，3）；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；方程 ax2
15、+bx+c0 有两个不相等的实数根其中正确的是（ ）A B C D【分析】结合图表可以得出当 x0 或 2 时，y0，x 3 时，y3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质【解答】解：由图表可以得出当 x0 或 2 时，y0，x3 时，y3，解得：yx 22x，c0，图象经过原点，故正确；a10，抛物线开口向上，故错误；把 x1 代入得，y 3，图象经过点（1，3），故正确；抛物线的对称轴是 x1，x1 时，y 随 x 的增大而增大， x1 时，y 随 x 的增大而减小，故 错误；抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴有两个交点（0，0）、（2， 0）ax 2+bx+c0 有
16、两个不相等的实数根，故正确；故选：B【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用6（2 分）如图，以平行四边形 ABCD 的边 CD 为斜边向内作等腰直角CDE，使ADDECE， DEC90 ，且点 E 在平行四边形内部，连接 AE、BE ，则AEB 的度数是（ ）A120 B135 C150 D45【分析】先证明 ADDECE BC，得出DAEAED，CBECEB，EDCECD45，设DAEAEDx ，CBECEBy，求出ADC2252x，BAD2x45，由平行四边形的对角相等得出方程，求出 x+y135，即可得出结果【解
17、答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，BAD BCD，BAD +ADC180，ADDE CE ，ADDE CE BC，DAEAED，CBECEB，DEC90，EDCECD45，设DAEAEDx ，CBECEBy，ADE1802x ，BCE1802y，ADC1802x+452252x，BCD2252y，BAD180（2252x）2x 45，2x452252y ，x+y135，AEB 36013590135；故选：B【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，根据题意列出方程是解决问题的关键二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分
18、，共 20 分，）7（2 分）5 的倒数是 【分析】根据倒数的定义可直接解答【解答】解：因为5（ ）1，所以5 的倒数是 【点评】本题比较简单，考查了倒数的定义，即若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数8（2 分）红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将 0.0000077 用科学记数法表示为 7.7 106 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.0000077 用科学记数法表示
19、为 7.7106故答案为：7.710 6 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定9（2 分）若式子 有意义，则 x 的取值范围是 x 2 【分析】根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围【解答】解：根据题意得：x+20，解得：x2故答案是：x2【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数10（2 分）分解因式：9a 281 9（a+3）（a3） 【分析】首先提取公因式 9，进而利用平方差公式分解因式得出即可【解答】解：原式9（a 29）9（a+3）（a
20、3）故答案为：9（a+3）（a3）【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，正确把握分解因式的步骤是解题关键11（2 分）计算 的结果是 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可【解答】解：原式 2 故答案为 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式12（2 分）已知 RtABC，C90，AB 13，AC12，以 BC 所在直线为轴将此三角形旋转一周所得圆锥的侧面积是 156 【分析】首先确定圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用侧面积计算公式直接求得圆锥的侧面积即可【解答】解：C90， AB13，AC
21、12，BC5，以 BC 所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的底面周长 24，侧面积 2413156，故答案为：156【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长13（2 分）如图，反比例函数 y 的图象经过ABO 的顶点 A，点 D 是 OA 的中点，若反比例函数 y 的图象经过点 D，则 k 的值为 1 【分析】根据题意设点 A 坐标（x， ），由 D 为斜边 OA 的中点，可得出D（ ， ），从而得出过点 D 的反比例函数的解析式【解答】解：设点 A 坐标（x， ），反比例函数 y 的图象经
22、过 RtOAB 的顶点 A，D 为斜边 OA 的中点，D（ ， ），过点 D 的反比例函数的解析式为 yk 的值为 1故答案为：1【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，根据题意得出 D 点坐标是解答此题的关键14（2 分）如图，O 的直径为 5，弦 AB 长为 4，点 P 在 AB 上运动，则 OP 的最小值是 1.5 【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当 OPAB 时，OP 的值最小连接 OA，在直角三角形 OAP 中由勾股定理即可求得 OP 的长度【解答】解：当 OPAB 时，OP 的值最小，则 APBP AB2，如图所示，连接 OA，在 Rt OAP中，AP
23、2，OA 2.5，则根据勾股定理知 OP1.5 ，即 OP 的最小值为 1.5故答案为：1.5【点评】本题主要考查了勾股定理、垂径定理注意两点之间，垂线段最短是解答此题的关键15（2 分）在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（2，4）、（5，2），点 M 在x 轴上，点 N 在 y 轴上如果以点 A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点 M 有 3 个【分析】利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形进而得出答案【解答】解：如图所示：当 AB 平行且等于 NM 时，四边形 ABMN 是平行四边形，当 AB 平行且等于 NM时，四边形 ABNM 是平行四边形当 AB 为对
24、角线时，四边形 ABNM 是平行四边形故符合题意的有 3 个点故答案为：3【点评】此题考查了平行四边形的判定，结合 AB 的长分别确定 M，N 的位置是解决问题的关键16（2 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB8，AD12，点 P 是边 BC 上的动点现将纸片折叠，使点 A 与点 P 重合，折痕与矩形边的交点分别为 E，F，要使折痕始终与边AB， AD 有交点，则 BP 的取值范围是 124 BP8 【分析】此题需要运用极端原理求解：BP 最小时，F、D 重合，由折叠的性质知：AFPF，在 RtPFC 中，利用勾股定理可求得 PC 的长，进而可求得 BP 的值，即 BP的最小值；BP 最大
25、时，E、B 重合，根据折叠的性质即可得到 ABBP8，即 BP 的最大值为 8；根据上述两种情况即可得到 BP 的取值范围【解答】解：当 F、D 重合时，BP 的值最小，如图 1 所示：根据折叠的性质知：AFPF12；在 Rt PFC 中，PF12，FC 8，由勾股定理得：PC 4 ；BP124 ；当 E、B 重合时，BP 的值最大，如图 2 所示：根据折叠的性质即可得到 ABBP8，即 BP 的最大值为 8；故答案为：124 BP8【点评】此题主要考查的是翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及最值问题，熟练掌握翻折变换的性质，正确判断出两种极值下 F、E 点的位置是解决此题的关键三、解答题
26、（本大题共 11 小题，共 88 分）17（8 分）（1）计算：（2） 2+（ ） 0+|1 |；（2）解方程组： 【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解：（1）原式4+1+ 14+ ；（2） ，2+，得 5x5，即 x1，将 x1 代入，得 y1，则原方程组的解为 【点评】此题考查了实数的运算，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（5 分）化简：（1+ ） 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即
27、可得到结果【解答】解：原式 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键19（8 分）如图，点 A、F、C 、D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧，且 ABDE，AD，AF DC（1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形，（2）若ABC90，AB 4，BC 3，当 AF 为何值时，四边形 BCEF 是菱形【分析】（1）由 ABDE ，AD ，AF DC，易证得ABCDEF，即可得BCEF，且 BCEF ，即可判定四边形 BCEF 是平行四边形；（2）由四边形 BCEF 是平行四边形，可得当 BECF 时，四边形 BCEF 是菱形，所以连接 BE，交
28、CF 与点 G，证得ABCBGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得 AF 的值【解答】（1）证明：AFDC，AF+FCDC+ FC，即 ACDF在ABC 和DEF 中，ABCDEF（SAS），BCEF， ACBDFE，BCEF，四边形 BCEF 是平行四边形（2）解：连接 BE，交 CF 于点 G，四边形 BCEF 是平行四边形，当 BECF 时，四边形 BCEF 是菱形，ABC90，AB 4，BC 3，AC 5，BGCABC90，ACB BCG，ABCBGC， ，即 ，CG ，FGCG，FC2CG ，AFACFC5 ，当 AF 时，四边形 BCEF 是菱形【点评】此题考查了相似三角形的判
29、定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法20（7 分）光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测某次检测设有A、B 两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力（1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在 B 处检测视力的概率【分析】（1）根据检测设有 A、B 两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力可以利用树状图得出所有可能即可求出；（2）根据图表求出即可【解答】解：甲、乙、丙的检
30、测情况，由如下 8 种可能：（1）P（甲、乙、丙在同一处检测） ；（2）P（至少有两人在 B 处检测） 【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键21（7 分）“低碳环保，你我同行”，两年来，南京市区的共享单车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次共享单车？”，将本次调查结果归为四种情况：A，每天都用；B经常使用；C偶尔使用；D从未使用将这次调查情况整理并绘制如图两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有 200 位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若该区有 40 万市民，
31、请估算每天都用公共自行车的布民约有多少人？【分析】（1）由 D 情况的人数及其所占百分比可得总人数；（2）用总人数乘以 B、C 对应百分比求得其人数，再根据各情况的人数之和等于总人数求得 A 的人数，从而补全条形图；（3）用总人数乘以样本中 A 情况人数所对应的比例即可得【解答】解：（1）本次调查的总人数为 3015%200（人），故答案为：200；（2）B 情况对应人数为 20028%56（人）C 情况对应的人数为 20052%104（人），A 情况的人数为 200（56+104+30）10（人），补全图形如下：（3）估算每天都用公共自行车的布民约有 40 2（万人）【点评】本题考查条形统计
32、图和扇形统计图的有关知识，学会用样本估计总体的统计思想，解题的关键是记住百分比、圆心角的计算方法，属于中考常考题型22（8 分）某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出（1）用含 x 的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为 200+50x 个（2）如果这批旅游纪念品共获利 1250
33、元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？【分析】（1）设该商店第二周降低 x 元销售（0x4），则销售数量为 200+50x；（2）先求出清仓处理的件数，由总利润单件利润销售数量，可求出清仓处理的利润，再将第一周、二周、清仓处理的利润相加，即可得出该商店对剩余纪念品清仓处理后的利润，令其等于 1250，即可得出关于 x 的一元二次方程，解得即可求出 x 的值，再将其代入 10x 中即可【解答】解：（1）设该商店第二周降低 x 元销售（0x4），则销售数量为200+50x，故答案为：200+50x（2）清仓处理的单价为 4 元/个，处理的数量为 600200（200+50x）20050x个
34、，清仓处理利润为（46）（20050x）100x400 元，该商店对剩余纪念品清仓处理后的利润为（106）200+（50x 2+800）+（100x400）50x 2+100x+1200 元50x 2+100x+12001250，整理得：x 22x +10，解得：x 1x 21，10x9答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为 9 元【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（I）（1）根据总利润单件利润销售数量，列出代数式；（2）将第一周、二周、清仓处理的利润相加；（II）找准等量关系，列出关于 x 的一元二次方程23（8 分）如图一平地，在建筑物 AB 的顶部测得铁塔 CD 底部的俯
35、角为 37，测得其顶部的仰角为 26.6，已知铁塔 CD 的高 80m求建筑物 AB 的高度（参考数据：sin26.60.45 ，tan26.6 0.50，sin37 0.60，tan37 0.75）【分析】作 AECD，垂足为 E分别在 RtAEC 和 RtAED 中，求出 CE 和 DE 的长即可【解答】解：作 AECD，垂足为 E在 Rt AEC 中， ；在 Rt AED 中， ；CECDDE，即 ，解得：DE48 米，ABDE 48 米答：建筑物 AB 的高度为 48 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，转化为解直角三角形问题是解题的关键24（8 分）已知二次函数 yx
36、 2ax 2a 2（a 为常数，且 a0）（1）证明该二次函数的图象与 x 轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）若该二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为（0，2），试求该函数图象的顶点坐标【分析】（1）令 y0 可求得方程的两个根一正一负，可证得结论；（2）把（0，2）代入抛物线的解析可求得 a 的值，进一步可求得其顶点坐标【解答】（1）证明：yx 2ax2a 2（x+a）（x2a），令 y0，则 x1a，x 22a ，a0，x 1、x 2 的值必为一正一负，该二次函数的图象与 x 轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）解：由题意，得2a 22，所以 a1 或1当 a1 时，yx 2x 2（
37、 x ） 2 ，顶点坐标为（ ， ），当 a1 时，yx 2+x2（ x+ ） 2 ，顶点坐标为（ ， ），该函数图象的顶点坐标为（ ， ）或（ ， ）【点评】本题主要考查二次函数与 x 轴的交点和顶点坐标，掌握二次函数与 x 轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两根是解题的关键25（8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的O 经过点 D，E 是O上一点，且AED 45，（1）求证：CD 是 O 的切线（2）若O 的半径为 3，AE5，求ADE 的正弦值【分析】（1）相切连接 OD，证 ODCD 即可根据圆周角定理，AOD90，又 ABCD，可得ODC90 ，得证；（2）
38、连接 BE，则AEB90，ADEABE在ABE 中根据三角函数定义求解【解答】解：（1）CD 与 O 相切理由是：连接 OD则AOD 2 AED24590，四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，CDOAOD90ODCD，CD 与O 相切（2）连接 BE，由圆周角定理，得ADEABEAB 是O 的直径，AEB 90，AB236（cm）在 Rt ABE 中，sinABE ，sinADE sinABE 【点评】本题考查切线的判定、平行四边形的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型26（10 分）甲乙两地相距 400 千米，一辆货车和一辆轿车先
39、后从甲地出发驶向乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地的路程 y（千米）与所用时间 x（小时）之间的函数关系，折线 BCD 表示轿车离甲地的路程 y（千米）与 x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：（1）求线段 CD 对应的函数表达式；（2）求 E 点的坐标，并解释 E 点的实际意义；（3）若已知轿车比货车晚出发 20 分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当 x 小时，货车和轿车相距 30 千米【分析】（1）设线段 CD 对应的函数解析式为 ykx+b，由待定系数法求出其解即可；（2）根据两图象相交的交点指的是两车相遇解答即可（3）先由货车和轿车相距 30 千米列出方程解答即可【解答
40、】解：（1）设线段 CD 对应的函数解析式为 ykx +b，可得： ，解得： 所以线段 CD 对应的函数表达式为：y120x140（2x4.5）；（2）由图象可得：直线 OA 的解析式为：y80x，根据两图象相交的交点指的是两车相遇，可得：80x120x 140，解得：x3.5，把 x3.5 代入 y80x ，得： y280；所以 E 点的坐标为（3.5，280），即表示当货车出发 3.5 小时时货车和轿车相遇；（3）设货车出发 xh 后，可得：120x1403080x ，解得：x4.25故答案为：4.25由题意知，B（ ，0），BC 段解析式为 y60x20（ x2），货车与轿车相距 30k
41、m 有四种情况：1）当 x2 时，80x （60 x20）30，解得 x ；2）当 2x 时，80x （120 x140）30，解得 x ；3）当 x 时，120x14080x30，解得 x ；4）当 x5 时，40080x30，解得 x ；x 【点评】本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程速度时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键27（11 分）定义：如图，点 M、N 把线段 AB 分割成 AM、MN 和 BN，若以AM、MN、BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M、N 是线段 AB 的勾股分
42、割点（1）已知点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，若 AB12，AM3，求 BN 的长（2）如图 ，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，BE BC，DF CD，AE、AF 分别交 BD 于点 M、N 求证：M、N 是线段 BD 的勾股分割点（3）如图 3，点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，MNAMBN，ABC、MND 分别是以 AB、MN 为斜边的等腰直角三角形，且点 C 与点 D 在 AB 的同侧，若 MN4，连接 CD，则 CD 2 【分析】（1）分两种情况讨论：当 MN 为最大线段时，由勾股定理求出 BN；当 BN 为最大线段时，由勾股定理求出 BN 即可
43、（2）利用菱形 ABCD，证明AMDEMB，得到 BM BD，同理 DNBD，再求出 MN BD由 BM2+DN2（ BD） 2+（ BD）2 BD2（ BD） 2MN 2即可解答；（3）连接 CM、CN，将ACM 绕点 C 逆时针旋转 90得CBF，将CDM 绕点 C 逆时针旋转 90得CFE 只要证明四边形 EFDN 是平行四边形以及 MNNF 就可以了【解答】解：（1）AB12，AM3，BM9，设 BNx，由题意得 32+x2（9x） 2，x4或 32+（9x） 2x 2，x5答：BN 的长为 4 或 5（2）菱形 ABCD，ABBCCDDA，BCDA AMDEMB BE BC，DM 2
44、BM，BM BD同理 DN BDMNBD BD BD BDBM 2+DN2（ BD） 2+（ BD） 2 BD2（ BD） 2MN 2M、N 是线段 BD 的勾股分割点（3）如图 中，连接 CM、CN，将ACM 绕点 C 逆时针旋转 90得CBF，将CDM 绕点 C 逆时针旋转 90得CFE ABC，DMN 都是等腰直角三角形，DMNA45，CBADNM 45DM AC，DNBC，1234，EFBC，EFBCND，DM DNEF ，四边形 EFND 是平行四边形，EDNF，由（1）可知 MNNF，MNED，在 RTCDE 中，CDCE，DCE90，DE CD，MN CDMN4，CD2 故答案为：2 【点评】本题考查勾股定理、相似三角形的判定和性质、菱形性质等知识，利用旋转法添加辅助线是解决问题的关键