1、1课时作业(二十一)2.7 正方形 一、选择题1如图 K211，在正方形 ABCD 中，P，Q 分别为 BC，CD 的中点，则CPQ 的度数为( ) 链 接 听 课 例 3归 纳 总 结图 K211A50 B60 C45 D7022018滨州下列命题，其中是真命题的为( )A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B对角线互相垂直的四边形是菱形C对角线相等的四边形是矩形D一组邻边相等的矩形是正方形32017枣庄如图 K212，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 MN，再过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE.若 AB 的长为
2、2，则 FM 的长为( )图 K212A2 B. C. D13 24如图 K213，边长分别为 4 和 8 的两个正方形 ABCD 和 CEFG 并排放在一起，连接 BD 并延长交 EG 于点 T，交 FG 于点 P，则 GT 等于( )图 K213A. B2 C2 D12 25如图 K214，F 是正方形 ABCD 的边 CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线 AC 于点 E，交 BF 于点 M，连接 BE，EF，则EBF 的度数是( )2图 K214A45 B50C60 D无法确定62017钦州一模如图 K215，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E 在 AB 边上，EF
3、AC 于点 F，连接 EC，AF3，EFC 的周长为 12，则 EC 的长为 ( )链 接 听 课 例 3归 纳 总 结图 K215A. B3 C5 D67 22 272018仙桃如图 K216，在正方形 ABCD 中，AB6，G 是 BC 的中点将ABG沿 AG 对折至AFG，延长 GF 交 DC 于点 E，则 DE 的长是 ( )链 接 听 课 例 3归 纳 总 结图 K216A1 B1.5 C2 D2.5二、填空题82017齐齐哈尔矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件：_，使其成为正方形(只填写一个即可)9如图 K217 所示，直线 a 经过正方形
4、ABCD 的顶点 A，分别过顶点 D，B 作DEa 于点 E，BFa 于点 F.若 DE4，BF3，则 EF 的长为_图 K217102017宿迁如图 K218，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上，且 BE1.若点 P 在对角线 BD 上移动，则 PAPE 的最小值是_3图 K21811如图 K219，在正方形 ABCD 中，F 为 CD 上一点，BF 与 AC 交于点 E.若CBF20，则AED 等于_.图 K219122018武汉以正方形 ABCD 的边 AD 为一边作等边三角形 ADE，则BEC 的度数是_三、解答题13如图 K2110，AB 是 CD 的垂直平分线，
5、交 CD 于点 M，过点 M 作MEAC，MFAD，垂足分别为 E，F.(1)求证：CABDAB；(2)若CAD90，求证：四边形 AEMF 是正方形. 链 接 听 课 例 4归 纳 总 结图 K211014如图 K2111，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点(不与点 B，C 重合)，将线段 EA 绕点 E 顺时针旋转 90得到 EF，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 G，连接 CF.图 K2111(1)求证：ABEEGF；(2)若 AB2，S ABE 2S ECF ，求 BE 的长415如图 K2112，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上移
6、动，但点 A 到 EF的距离 AH 始终保持与 AB 的长度相等，在点 E，F 的移动过程中：(1)EAF 的大小是否有变化？请说明理由；(2)ECF 的周长是否有变化？请说明理由图 K2112猜想、探究如图 K2113所示，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF 中，点 B，C，G 在同一条直线上，M 是线段 AE 的中点，DM 的延长线交 EF 于点 N，连接 FM，易证：DMFM，DMFM.(1)如图，当点 B，C，F 在同一条直线上，DM 的延长线交 EG 于点 N，其余条件不变时，试探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系，请写出猜想，并给予证明；(2)如图，当点 E，B，C 在同一条
7、直线上，DM 的延长线交 CE 的延长线于点 N，其余条件不变时，探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系，请直接写出猜想图 K211356详解详析课堂达标1解析 C 四边形 ABCD 为正方形，BADABCCD，C90.P，Q 分别为 BC，CD 的中点，CPCQ.C90，CPQ45.故选 C.2解析 D 一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故 A 选项是假命题；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故 B 选项是假命题；对角线相等的四边形也可能是等腰梯形，故 C 选项是假命题；一组邻边相等的矩形是正方形是正确的，故D 选项是真命题3解析 B 四边形 ABCD 为正方形，AB2
8、，过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点 F 处，FBAB2.把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，BM BC1.在 RtBMF 中，FM .故选 B.12 FB2 BM2 22 12 34解析 B BCD 与GCE 都是等腰直角三角形，由此可以推出GTD 也是等腰直角三角形，GD4，由勾股定理可知 GT2 .25解析 A 如图，过点 E 作 EGBC，EHCD，垂足分别为 G，H，易证明BEGFEH(HL)，得BEGFEH，所以BEFGEH90，所以EBF45.故选 A.6解析 C 四边形 ABCD 是正方形，AC 为正方形 ABCD 的对角线，EAF
9、45.又EFAC，AFE90，AEF45，EFAF3.EFC 的周长为12，FC123EC9EC.在 RtEFC 中，EC 2EF 2FC 2，EC 29(9EC) 2，解得EC5.故选 C.7C8答案 答案不唯一，如 ACBD 或 ABBC解析 根据对角线互相垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件9答案 7解析 可证ABFDAE，则有 EFAFAEDEBF437.10答案 10解析 连接 PC.根据正方形的对称性知 PAPC，所以当点 C，P，E 在同一条直线时，PAPEPCPECE 最小，再根据勾股定理求得 CE .BC2 BE2 32 12 1011答案 65解析 四边
10、形 ABCD 是正方形，ABAD，BAEDAE45.在ABE 与ADE中，ABAD，BAEDAE，AEAE，ABEADE(SAS)，AEBAED.CBF20，ABC90，ABE70，AEDAEB180457065.12答案 30或 150解析 分两种情况：(1)如图，等边三角形 ADE 在正方形 ABCD 的内部CDECDAADE906030.CDDE，DCE75，ECB907515，同理可以得到EBC907515，BEC150.7(2)如图，等边三角形 ADE 在正方形 ABCD 的外部CDECDAADE9060150.CDDE，CED15.同理AEB15，BECAEDCEDAEB60151
11、530.13证明：(1)AB 是 CD 的垂直平分线，ACAD，ABCD，CABDAB(等腰三角形的三线合一)(2)MEAC，MFAD，CAD90，CADAEMAFM90，四边形 AEMF 是矩形又CABDAB，MEAC，MFAD，MEMF，矩形 AEMF 是正方形14解：(1)证明：AEF90，AEBGEF90.又ABE90，AEBBAE90，GEFBAE.FGBC，EGF90ABE.在ABE 与EGF 中， ABE EGF， BAE GEF，AE EF， )ABEEGF(AAS)(2)ABEEGF，AB2，ABEG2，S ABE S EGF .S ABE 2S ECF ，S EGF 2S
12、ECF ，ECCG1.四边形 ABCD 是正方形，BCAB2，BE211.15解：(1)EAF 的大小没有变化理由：根据题意，知 ABAH，B90.又AHEF，AHE90B.在 RtBAE 和 RtHAE 中，AEAE，ABAH，RtBAERtHAE，BAEHAE BAH.12同理可证 RtHAFRtDAF，HAFDAF HAD，128EAFHAEHAF BAH HAD (BAHHAD) BAD.12 12 12 12又BAD90，EAF45，EAF 的大小没有变化(2)ECF 的周长没有变化理由：C ECF EFECFC，由(1)得 BEEH，HFDF.又BCDC，EFEHHF，ECBCBE
13、，FCDCDF，C ECF BEDFBCBEDCDFBCDC2BC，ECF 的周长没有变化素养提升解析 (1)连接 DF，NF，由四边形 ABCD 和四边形 CGEF 是正方形，得到ADBC，CFGE，于是得到 ADGE，求得DAMNEM，证得MADMEN，得出DMNM，ADEN，推出DCFNEF，证出DFN 是等腰直角三角形，即可得到结论；(2)连接 DF，NF，由四边形 ABCD 是正方形，得到 ADBC，由点 E，B，C 在同一条直线上，得到 ADCN，求得ADMENM，证得MADMEN，得出 DMNM，ADEN，推出DCFNEF，证出DFN 是等腰直角三角形，于是得到结论解：(1)DMFM，DMFM.证明：如图，连接 DF，NF.四边形 ABCD 和四边形 CGEF 是正方形，ADBC，CFGE.点 B，C，F 在同一条直线上，ADGE，DAMNEM.M 是 AE 的中点，AMEM.在MAD 与MEN 中，AMDEMN，AMEM，DAMNEM，MADMEN，DMNM，ADEN.ADCD，CDEN.又CFEF，DCFNEF90，DCFNEF，DFNF，CFDEFN.EFNNFC90，CFDNFC90，DFN90，即DFN 是等腰直角三角形又DMNM，DMFM，DMFM.(2)猜想：DMFM，FMDM.9