1、1课时作业(十八)2.5.2 矩形的判定 一、选择题1下列四边形中，不一定是矩形的是( )链 接 听 课 例 2归 纳 总 结A四个角都相等的四边形B有三个角是直角的四边形C一组对边平行，且对角线相等的四边形D对角线相等且互相平分的四边形2如图 K181，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到点 E，使 DEAD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是( )图 K181AABBE BDEDC CADB90 DCEDE32017上海在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )ABACDCA
2、 BBACDACCBACABD DBACADB二、填空题42018龙东如图 K182，在平行四边形 ABCD 中，添加一个条件：_，使平行四边形 ABCD 是矩形图 K1825如图 K183，在四边形 ABCD 中，对角线 ACBD，垂足为 O，E，F，G，H 分别为边 AD，AB，BC，CD 的中点，则四边形 EFGH 为_形图 K1836如图 K184，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OAOB，OAD65，则ODC_.2图 K1847如图 K185，ABCD，AB90，AB3 cm，BC2 cm，则 AB 与 CD 之间的距离为_ cm.图 K1858如图 K186，
3、为了检查平行四边形书架 ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较其对角线 AC，BD 的长度若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理：_.图 K186三、解答题9如图 K187，在 RtABC 中，ACB90，DE，DF 是ABC 的中位线，连接EF，CD.求证：EFCD. 链 接 听 课 例 2归 纳 总 结图 K187102018青岛如图 K188，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，G 为 AD 的中点，连接 CG，CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F，连接 FD.(1)求证：ABAF；(2)若 AGAB，BCD12
4、0，判断四边形 ACDF 的形状，并证明你的结论.链 接 听 课 例 3归 纳 总 结图 K188311如图 K189，E 为ABCD 外一点，且 AEEC，BEED.求证：ABCD 是矩形图 K18912如图 K1810，在ABC 中，O 是 AC 边上(端点除外)的一个动点，过点 O 作直线 MNBC.设 MN 交BCA 的平分线于点 E，交BCA 的外角平分线于点 F，连接 AE，AF.那么当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论图 K18104132017娄底如图 K1811，在ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.(1)求证：ABGCDE；(
5、2)猜一猜：四边形 EFGH 是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；(3)若 AB6，BC4，DAB60，求四边形 EFGH 的面积图 K1811分类讨论思想如图 K1812，以ABC 的三边为边，在 BC 的同一侧分别作等边三角形ABD，等边三角形 BCE，等边三角形 ACF.请回答下面的问题：(1)当ABC 满足什么条件时，以 A，D，E，F 为顶点的四边形不存在？(2)当BAC60时，四边形 ADEF 是什么四边形？(3)当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？图 K18125详解详析课堂达标1C2B3解析 C A 项，由BACDCA 不能判断四边形 ABCD 是矩形；B 项，
6、由BACDAC 能判定四边形 ABCD 是菱形，但不能判定四边形 ABCD 是矩形；C 项，BACABD 能得出对角线相等，能判断四边形 ABCD 是矩形；D 项，由BACADB 不能判断四边形 ABCD 是矩形故选 C.4答案 ACBD 或ABC90或BCD90或CDA90或DAB90或ABBC 等(答案不唯一)解析 根据矩形的判定可知：添加 ACBD 或ABC90或BCD90或CDA90或DAB90或 ABBC 后可使平行四边形 ABCD 是矩形5答案 矩解析 E，F，G，H 分别为边 AD，AB，BC，CD 的中点，HEAC, GFAC，HEGF，同理，HGEF，四边形 EFGH 是平行
7、四边形由 ACBD，易证EHG90，四边形 EFGH 是矩形6答案 25解析 四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD.OAOB，OAOBOCOD，ACBD，四边形 ABCD 是矩形，ADC90.ODAOAD65，ODCADCODA25.7答案 2解析 ABCD，AD180，BC180.AB90，CD90，四边形 ABCD 为矩形，AB 与 CD 之间的距离为 BC 的长BC2 cm，AB 与 CD 之间的距离为 2 cm.8对角线相等的平行四边形是矩形9证明：DE，DF 是ABC 的中位线，DEBC，DFAC，四边形 DECF 是平行四边形又ACB90，四边形 DECF 是矩形，E
8、FCD.10解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCD，AFGDCG.GAGD，AGFDGC，AGFDGC，AFCD，ABAF.(2)四边形 ACDF 是矩形证明：AFCD，AFCD，四边形 ACDF 是平行四边形四边形 ABCD 是平行四边形，BADBCD120，FAG180BAD60.6ABAGAF，AGF 是等边三角形，AGGF.AGFDGC，FGCG.AGGD，ADCF，四边形 ACDF 是矩形11证明：连接 AC，BD，相交于点 O，连接 OE.四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD.AEEC，AEC90，OE AC.12BEED，BED90，OE
9、 BD.12ACBD，ABCD 是矩形12解：当点 O 运动到 AC 的中点(或 OAOC)时，四边形 AECF 是矩形证明：如图，CE 平分BCA，12.又MNBC，13，32，OEOC.同理可证 OFOC，OEOF.又OAOC，OEOFOCOA，ACEF，四边形 AECF 是矩形13解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCCDA.BG 平分ABC，DE 平分CDA.ABG ABC，CDE CDA，12 127ABGCDE.同理可证GABECD.ABGCDE(ASA)(2)四边形 EFGH 是矩形证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADCDAB180.DE 平分CD
10、A，AG 平分DAB，EDADAG ADC DAB90，AHD90.12 12GHE90.同理可证HEF90，EFG90.四边形 EFGH 是矩形(3)如图，延长 DE 交 AB 于点 M.DAB60，ADC18060120，ADM ADC 12060，12 12ADM 是等边三角形，AMAD4.AB6，BM2.过点 M 作 MNBF 于点 N，ABG ABC 12060，12 12MN .由题可知四边形 EFNM 为矩形，3EFMN .3延长 CE 交 AB 于点 O.由题可知ABC120，BCO BCD DAB30.12 12COB30，OBCB，OBBC4，OA2.过点 O 作 OPAH 于点 P.PAO DAB30，12OP1.由题可知，四边形 PHEO 为矩形，OPHE1，四边形 EFGH 的面积EHEF .3素养提升解：(1)当ABC 是等边三角形时，点 D，A，F 在同一条直线上，此时以 A，D，E，F为顶点的四边形不存在8(2)以ABC 的三边为边，在 BC 的同侧分别作等边三角形 ABD，等边三角形 BCE，等边三角形 ACF，易得BCAECF.又因为 ACFC，BCEC，所以BACEFC，得EFABAD.同理得BDEBAC，得 DEACAF，所以四边形 ADEF 是平行四边形(3)当ABC 中的BAC150时，四边形 ADEF 是矩形