1、2.2.2 第 2 课时 利用对角线的关系判定平行四边形 一、选择题1下列命题中，真命题有( )对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A3 个 B2 个 C1 个 D0 个2如图 K141，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 ( )链 接 听 课 例 1归 纳 总 结图 K141AABDC，ADBC BABDC，ADBCCABDC，ADBC DOAOC，OBOD3在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，给出下列四个条件：A
2、DBC；ADBC；OAOC；OBOD.从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有( )A3 种 B4 种 C5 种 D6 种二、填空题4如图 K142 所示，OAOC，BD16 cm，则当 OB_cm 时，四边形 ABCD 是平行四边形. 链 接 听 课 例 1归 纳 总 结图 K1425将两根木条 AC，BD 的中点重叠，并用钉子固定，则四边形 ABCD 为平行四边形，理由是_. 6如图 K143 所示，在ABCD 中，已知两条对角线相交于点 O，E，F，G，H 分别是AO，BO，CO，DO 的中点，以图中的点(包括ABCD 的四个顶点)为顶点最多可以画出_个平行四边形(A
3、BCD 除外)，它们是_图 K1437已知三条线段的长分别为 10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出_个平行四边形三、解答题8如图 K144，四边形 ADBC 的对角线 AB 与 CD 相交于点 O，ACDB，AOBO，E，F 分别是 OC，OD 的中点求证：四边形 AEBF 是平行四边形. 链 接 听 课 例 1归 纳 总 结图 K14492017西宁如图 K145，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，O 是 AC 的中点，ADBC，AC8，BD6.(1)求证：四边形 ABCD 是平行四边形；(2)若 ACBD，求四边形 ABCD 的面积图 K14510如图
4、 K146，在ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AECF.求证：DEBF，BEDF.图 K14611如图 K147，O 是ABCD 的对角线的交点，过点 O 的直线 EF 分别交 AD，BC 于 F，E 两点，连接 AE，CF.求证：四边形 AECF 是平行四边形图 K14712在ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，EF 过点 O，分别与 AD，BC 相交于点 E，F，GH 过点O，分别与 AB，CD 相交于点 G，H，连接 EG，FG，FH，EH.(1)如图 K148，求证：四边形 EGFH 是平行四边形；(2)如图，若 EFAB，GHBC，在不添加任何辅助线的情况下
5、，请直接写出图中所有与四边形 AGHD 面积相等的平行四边形图 K14813如图 K149，在四边形 ABCD 中，AABC90，AD1，BC3，E 是边 CD 的中点，连接 BE 并延长与 AD 的延长线相交于点 F.(1)求证：四边形 BDFC 是平行四边形；(2)若BCD 是等腰三角形，求四边形 BDFC 的面积图 K149已知 P 是 RtABC 的斜边 AB 上的一个动点(不与点 A，B 重合)，Q 为 AB 的中点，分别过点 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F.(1)当点 P 与点 Q 重合时，如图 K1410，连接 AF，BE.求证：四边形 AEBF 是平行四边形；
6、(2)当点 P 与点 Q 不重合时，如图 K1410，求证：QEF 是等腰三角形图 K1410详解详析课堂达标1B 2.A 3.B 4.85对角线互相平分的四边形是平行四边形63 EFGH，AFCH，BGDE728证明：ACDB，ACOBDO.在AOC 与BOD 中，ACOBDO，AOCBOD，AOBO，AOCBOD(AAS)，OCOD.E，F 分别是 OC，OD 的中点，OE OC，OF OD，12 12OEOF.又AOBO，四边形 AEBF 是平行四边形9解：(1)证明：O 是 AC 的中点，OAOC.ADBC，ADOCBO.在AOD 和COB 中，ADOCBO，AODCOB，OAOC，A
7、ODCOB，ODOB，四边形 ABCD 是平行四边形(2)四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD，ABCD 的面积CAD 的面积ABC 的面积 ACOD ACOB ACBD24.12 12 1210证明：连接 BD 交 AC 于点 O.因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 OAOC，OBOD.又因为 AECF，所以 OAAEOCCF，即 OEOF，所以四边形 BEDF 是平行四边形，所以 DEBF，BEDF.11证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ADBC，AOCO，所以FAOECO(两直线平行，内错角相等)在AOF 和COE 中， FAO ECO，AO CO， AOF CO
8、E， )所以AOFCOE，所以 OFOE.又因为 AOCO，所以四边形 AECF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)12解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，ADBC，EAOFCO.又OAOC，AOECOF，OAEOCF，OEOF.同理 OGOH，四边形 EGFH 是平行四边形(2)GBCH，ABFE，EFCD，EGFH.13解：(1)证明：AABC90，AFBC，CBEDFE，BCEFDE.E 是边 CD 的中点，CEDE.在BCE 和FDE 中， CBE DFE， BCE FDE，CE DE， )BCEFDE(AAS)，BEFE.又CEDE，四边形 BD
9、FC 是平行四边形(2)若BCD 是等腰三角形：若 BDBC3，在 RtABD 中，AB 2 ，BD2 AD2 9 1 2四边形 BDFC 的面积 S2 36 ；2 2若 BDCD，过点 D 作 BC 的垂线，则垂足为 BC 的中点，不符合题意；若 BCCD，过点 D 作 DGBC，垂足为 G，所以 CG2.在 RtCDG 中，DG ，CD2 CG2 9 4 5四边形 BDFC 的面积 S3 .5综上所述，当BCD 是等腰三角形时，四边形 BDFC 的面积为 6 或 3 .2 5素养提升证明：(1)Q 为 AB 的中点，AQBQ.BFCP，AECP，BFAE，BFQAEQ.在BFQ 和AEQ 中，BFQAEQ，BQFAQE，BQAQ，BFQAEQ，QFQE.又AQBQ，四边形 AEBF 是平行四边形(2)如图，延长 FQ 交 AE 于点 D.BFCP，AECP，AEBF，FBQDAQ.在FBQ 和DAQ 中，FBQDAQ，BQAQ，BQFAQD，FBQDAQ，QFQD.AECP，EQ 是 RtDEF 斜边上的中线，QEQFQD，QEF 是等腰三角形