1、1专题训练(一) 直角三角形与勾股定理的应用 类型之一 共边直角三角形的问题1如图 1ZT1，一架梯子的长度为 2.5 米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端 0.7米(1)这个梯子顶端离地面_米；(2)如果梯子的顶端下滑了 0.4 米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了几米？图 1ZT12如图 1ZT2，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为 13 米，此人以每秒 0.5 米的速度收绳，10 秒后船移动到点 D 的位置，则船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)图 1ZT22 类型之二 构造直角三角形解决问题3由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频
2、频遭受沙尘暴的侵袭如图1ZT3，近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在 A 城的正西方向 240 km 的 B 处，以每小时12 km 的速度向北偏东 60方向移动，距沙尘暴中心 150 km 的范围为受影响区域(1)A 城是否会受到这次沙尘暴的影响？为什么？(2)如果 A 城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？图 1ZT34如图 1ZT4，小红同学要测量 A，C 两地的距离，但 A，C 之间有一个水池，不能直接测量，于是她在 A，C 同一水平面上选取了一点 B，点 B 可直接到达 A，C 两地她测量得到 AB80 米，BC20 米，ABC120.请你帮助小红同学求出 A，C 两地之间的距
3、离(参考数据： 4.6 ，保留到整数位)21图 1ZT43 类型之三 直角三角形中的测量问题5如图 1ZT5，小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多 1 米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部 5 米，你能帮他计算一下旗杆的高度吗？图 1ZT5 类型之四 最短路径问题6如图 1ZT6，有一个圆柱形透明玻璃容器，高 15 cm，底面周长为 24 cm，在容器内壁距上边缘 4 cm 的 A 处停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬 3 cm 到达 B处时(B 处与 A 处恰好相对)，发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近
4、？它至少要爬多少厘米？(容器厚度忽略不计)图 1ZT64 类型之五 直角三角形与面积问题7如图 1ZT7，学校有一块三角形草坪，数学课外小组的同学测得其三边的长分别为 AB200 米，AC160 米，BC120 米(1)小明根据测量的数据，猜想ABC 是直角三角形，请判断他的猜想是否正确，并说明理由；(2)若计划修一条从点 C 到 AB 边的小路 CH，使 CHAB 于点 H，求小路 CH 的长图 1ZT7 类型之六 直角三角形作图与计算问题8如图 1ZT8，在笔直的公路 l 的同侧有 A，B 两个村庄，已知 A，B 两村分别到公路的距离 AC3 km，BD 4 km.现要在公路上建一个汽车站
5、 P，使该车站到 A，B 两村的距离相等(1)试用直尺和圆规在图中作出点 P；(保留作图痕迹)(2)连接 AP，BP，若测得APB90，求 A 村到车站的距离图 1ZT85详解详析1解：(1)梯子底部离墙底端 0.7 米，且梯子的长度为 2.5 米，则在梯子与地面、墙面构成的直角三角形中，梯子顶端与地面的距离为 2.4(米)故答案为 2.4.2.52 0.72(2)设梯子的底部在水平方向上滑动了 x 米，则(2.40.4) 2(0.7x) 22.5 2，(0.7x) 22.5 22 22.25，0.7x1.5(0.7x1.5 已舍去)，x0.8.答：梯子在水平方向上滑动了 0.8 米2解：在
6、RtABC 中，CAB90，BC13 米，AC5 米，AB 12(米)132 52此人以每秒 0.5 米的速度收绳，10 秒后船移动到点 D 的位置，CD130.5108(米)，AD (米)，CD2 AC2 82 52 39BDABAD(12 )米39答：船向岸边移动了(12 )米393解：(1)A 城会受到这次沙尘暴的影响理由：如图，过点 A 作 ACBM，垂足为 C.在 RtABC 中，由题意可知ABC30，AC AB 240120(km)AC120 12 12km150 km，A 城会受到这次沙尘暴的影响(2)设点 E，F 是以点 A 为圆心，150 km 为半径的圆与 MB 的交点，由
7、题意得 CE 90(km)，AE2 AC2 1502 1202EF2CE290180(km)1801215(时)答：A 城遭受影响的时间为 15 小时4解：如图，过点 C 作 CDAB 交 AB 的延长线于点 D.ABC120，CBD60.在 RtBCD 中，BCD90CBD30，BD BC 2010(米)，12 12CD 10 (米)，202 102 3ADABBD801090(米)在 RtACD 中，AC 92(米)AD2 CD2 902 （ 10 3） 2答：A，C 两地之间的距离约为 92 米65解：如图，设 ACx 米，则 AB(x1)米在 RtABC 中，由勾股定理，得AC2BC
8、2AB 2，即 x25 2(x1) 2，解得 x12.答：旗杆的高度为 12 米6解：将圆柱沿相对的 A，B 垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个长方形，如图所示过点 B 作 BOAO 于点 O，则 AO，BO 分别平行于长方形的两边，作点 A 关于点 D 的对称点 A，连接 AB，则ABO 为直角三角形，且 BO 12(cm)，AO(153)242416(cm)，由勾股定理，得 AB 2AO 2BO 216 212 2400，AB20 cm.故蜘蛛沿折线 BCA 爬去吃小飞虫最近，且它至少要爬 20 cm.7解：(1)正确理由：在ABC 中，AB200 米，AC160 米，BC120 米，AC
9、 2BC 2160 2120 2200 2AB 2，即 AC2BC 2AB 2，ABC 是直角三角形(2)CHAB，S ABC ABCH.12由(1)知ABC 是直角三角形，且ACB90，S ABC ACBC，12ABCHACBC，即 200CH160120，解得 CH96 米答：小路 CH 的长为 96 米8解：(1)如图，连接 AB，画出 AB 的垂直平分线交 CD 于点 P，则点 P 即为所求的点(2)APB90，7APCBPD90.又APCPAC90，PACBPD.又ACPPDB90，APPB，ACPPDB(AAS)，PCBD4 km.在 RtACP 中，ACP90，AP 2AC 2PC 23 24 225，AP5 km.答：A 村到车站的距离为 5 km.