1、第1章 直角三角形,本章总结提升,知识框架,整合提升,第1章 直角三角形,本章总结提升,知识框架,直角三角形,角的性质,边的性质,边 角性质,直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半,在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30,性质,直角三角形,角平分线,判定,性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等,逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,直角三角形的判定,直角三角形全等的判定,有两个角互余的三角形是直角
2、三角形,一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形,如果一个三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形,一般的判定方法,特殊的方法,SAS,ASA,AAS,SSS,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL”或“斜边。直角边”,本章总结提升,整合提升,问题1 直角三角形的性质,本章总结提升,直角三角形是特殊的三角形，它的特殊性体现在哪里？其中揭示线段倍分关系的是哪个性质？,本章总结提升,例1 如图1T1所示，四边形ABCD是由RtABC与等腰直角三角形ACD拼成的，其中ACB30，ABC90，ADC90，E为斜边AC的中点，求BDE的
3、度数,图1T1,本章总结提升,本章总结提升,本章总结提升,【归纳总结】 直角三角形是特殊的三角形，它的特殊性体现在角上：两锐角互余；体现在线段上：一是斜边上的中线等于斜边的一半，二是30角所对的直角边等于斜边的一半这三个定理是解决有关直角三角形的边、角计算，特别是边的倍分关系问题中常用的依据,问题2 直角三角形的判定,本章总结提升,直角三角形有很多性质，那么如何证明三角形是直角三角形？有哪些方法？,例2 如图1T2，在ABC中，BAC2B，AB2AC.求证：ABC是直角三角形,图1T2,本章总结提升,本章总结提升,【归纳总结】 从角的角度，证明三角形是直角三角形的方法是：证明一个角是直角或是两
4、个角的和等于90.,问题3 勾股定理及逆定理的应用,本章总结提升,勾三、股四、弦五是什么意思？如何用面积法证明勾股定理？勾股定理的逆定理是什么？它的主要作用是什么？,本章总结提升,例3 如图1T3，在等腰直角三角形ABC中，ABC90，D为AC边上的中点，过点D作DEDF，交AB于点E，交BC于点F.若AE4，CF3，求EF的长,图1T3,本章总结提升,解析 首先连接BD，由ABC是等腰直角三角形，可推出BDAC且BDCDAD，ABD45.再由DEDF，可推出FDCEDB.由等腰直角三角形ABC可得C45，所以FDCEDB，从而得出BECF3，所以AB7，则BC7，所以BF4，再根据勾股定理求
5、出EF的长,本章总结提升,本章总结提升,【归纳总结】 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，即“a2b2c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2b2c2”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判定一个三角形是直角三角形的一种方法,本章总结提升,例4 如图1T4，在正方形ABCD中，E是BC上一点，且BCEC41，F是CD边的中点 (1)判断AEF的形状，并说明理由； (2)若正方形的边长为4，求AEF的面积,图1T4,本章总结提升,解析 (1)设正方形的边长为4a，即可表示出DF，CF以及EC，BE的长，然后根据勾股定理表示出A
6、F2，EF2，AE2，再根据勾股定理的逆定理判定AEF是直角三角形；(2)把(1)中的4a换成4，然后求出AF，EF的长，再根据三角形的面积公式计算即可得解,本章总结提升,解：(1)AEF是直角三角形 理由：设正方形ABCD的边长为4a. F是CD边的中点，DFCF2a. BCEC41，ECa，BE4aa3a. 在RtADF中，AF2(4a)2(2a)220a2， 在RtECF中，EF2(2a)2a25a2， 在RtABE中，AE2(4a)2(3a)225a2， AF2EF2AE2，AEF是直角三角形,本章总结提升,问题4 直角三角形全等的判定,本章总结提升,一般三角形全等的判定方法有几种？对
7、于直角三角形适用吗？除这些方法外，直角三角形还有更简单的判定方法吗？你能说明这个方法的合理性吗？,本章总结提升,例5 如图1T5，线段AC，BD相交于点O，AOB为钝角，ABCD，BFAC于点F，DEAC于点E，AECF. (1)求证：BODO. (2)若AOB为锐角，其他条件不变， 请画出图形并判断 (1)中的结论是 否仍然成立若成立，请加以证明； 若不成立，请说明理由,图1T5,本章总结提升,解：(1)证明：AECF， AEEFCFEF，即AFCE. BFAC于点F，DEAC于点E，AFBCED90. 在RtABF和RtCDE中， ABCD，AFCE，RtABFRtCDE， AC，ABCD
8、，ABDCDB. 在ABO和CDO中， AC，ABCD，ABOCDO，ABOCDO，BODO. (2)画图略结论仍然成立，证明方法同(1)，略,【归纳总结】 直角三角形全等的判定，除前面所学的一般三角形全等的四个判定方法外，还有HL，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,本章总结提升,问题5 角平分线性质定理及逆定理的应用,本章总结提升,什么是角平分线？除了平分已知角外，它还有什么特殊性质？这个性质你能证明吗？这个性质有逆定理吗？你认为理解和应用这个性质定理或其逆定理的关键是什么？,本章总结提升,例6 如图1T6，E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别是C，D. (1
9、)EDC和ECD相等吗？请说明理由； (2)OC和OD相等吗？请说明理由； (3)直线OE是线段CD的垂直平分线吗？ 请说明理由,图1T6,本章总结提升,解析 根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，并结合直角三角形全等的判定解答,解：(1)EDC与ECD相等 理由：OE是AOB的平分线，ECOA，EDOB，ECED，EDCECD. (2)OC与OD相等 理由：ECOA，EDOB，OCEODE90. 在RtOCE和RtODE中， OEOE，ECED，RtOCERtODE(HL)，OCOD. (3)直线OE是线段CD的垂直平分线 理由：ECED，点E在线段CD的垂直平分线上 OCOD，点O在线段CD的垂直平分线上， 直线OE是线段CD的垂直平分线,本章总结提升,【归纳总结】 角平分线的性质定理与判定定理应用非常广泛，注意两个定理的联系与区别，不要混淆,本章总结提升,