1、2019 年河南省信阳市罗山县定远乡中学中考数学一模试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1下列说法正确的是（ ）A负数没有倒数 B正数的倒数比自身小C任何有理数都有倒数 D1 的倒数是 122018 年 10 月 24 日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度 55000 米，则数据 55000 用科学记数法表示为（ ）A5510 5 B5.510 4 C0.5510 5 D5.510 53如图所示的某零件左视图
2、是（ ）A B C D4下列运算中，正确的是（ ）Aa 6a3a 2 Ba 3a2a 5C（a+b） 2a 2+b2 D2a+3b 5ab5给出下列函数：y ； y ； y3x 2从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当 x1 时，函数值 y 随 x 增大而减小”的概率是（ ）A1 B C D06为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨） 3 4 5 8户 数 2 3 4 1则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（ ）A众数是 4B平均数是 4.6C调查了 10 户家庭的月用水量D中位数是 4.57在如图直角坐标系内，四边形 AOBC 是边
3、长为 2 的菱形，E 为边 OB 的中点，连结 AE 与对角线OC 交于点 D，且BCOEAO ，则点 D 坐标为（ ）A（ ， ） B（1， ） C（ ， ） D（1， ）8在ABC 中，AB AC5 ，BC 6，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是（ ）A5 B6 C4 D4.89如图，一个扇形纸片 AOB，其圆心角为 90，半径为 6，将这张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O恰好重合，折痕为 CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A12 B6 C6 D10找出以如图形变化的规律，则第 2019 个图形中黑色正方形的数量是（ ）A2019 B3027 C3028 D
4、3029二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11计算：cos 230+|1 |2sin45+（3.14） 0 12关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 13“同时抛掷两枚普通的骰子，向上一面的点数之和为 13”是 （选填“必然事件”，“不可能事件”，或“随机事件”）14如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF 的面积为 2018，则反比例函数的表达式是 15如图，矩形 ABCD 中，AD5，AB4，点 E 为 DC 上一动点，把ADE 沿 AE 折叠，点 D 的对应点为 D，连接 DD，当 DDC 是直
5、角三角形时，DE 的长为 三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值： ，其中 17（9 分）我国是世界上严重缺水的国家之一，为了倡导“节约用水从我做起“，小刚在他所在班的 50 名同学中，随机调查了 10 名同学家庭的月均用水量（单位：t），并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图：（1）求这 10 个样本数据的平均数、众数和中位数；（2）根据样本数据，估计小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7t 的约有多少户？18（9 分）在平面直角坐标系中，一次函数 y x+b 的图象与反比例函数 y （k0）图象交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，与 x 轴
6、交于点 D，其中 A 点坐标为（2，3）（1）求一次函数和反比例函数解析式（2）若将点 C 沿 y 轴向下平移 4 个单位长度至点 F，连接 AF、BF，求ABF 的面积（3）根据图象，直接写出不等式 x+b 的解集19（9 分）解决问题：（1）如图 ，半径为 4 的O 外有一点 P，且 PO7，点 A 在O 上，则 PA 的最大值和最小值分别是 和 （2）如图 ，扇形 AOB 的半径为 4，AOB45，P 为弧 AB 上一点，分别在 OA 边找点E，在 OB 边上找一点 F，使得PEF 周长的最小，请在图 中确定点 E、F 的位置并直接写出PEF 周长的最小值；拓展应用（3）如图 ，正方形
7、ABCD 的边长为 4 ；E 是 CD 上一点（不与 D、C 重合），CFBE 于F，P 在 BE 上，且 PFCF，M、N 分别是 AB、AC 上动点，求PMN 周长的最小值20（9 分）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，图（1）所示的是一辆自行车的实物图图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，车架档 CD 的长分别为 60cm，且CDAC，D37，座杆 CE 的长为 20cm，点 A，C，E 在同一条直线上，且CAB75（1）求车架档 AC 的长；（2）求车座点 E 到车架档 AB 的距离（结果精确到 1cm参考数据：sin37 0.60，cos37 0.80，tan370
8、.75，sin75 0.97，cos75 0.26，tan753.73）21（10 分）甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元因市场变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了 20%问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？22（10 分）正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 CFBE，AE 与 BF 交于 G 点（1）如图 1，求证：AE BF，AEBF（2）连接 CG 并延长交 AB 于点 H，若点 E 为 BC 的中点（如图 2），求 BH 的长；若点 E 在 BC 的边上滑动（不与 B、C 重合），
9、当 CG 取得最小值时，求 BE 的长23（11 分）如图，已知二次函数 yax 24ax +c 的图象交 x 轴于 A、B 两点（其中 A 点在 B 点的左侧），交 y 轴于点 C（0，3）（1）若 tanACO ，求这个二次函数的表达式；（2）若 OC 为 OA、OB 的比例中项设这个二次函数的顶点为 P，求PBC 的面积；若 M 为 y 轴上一点，N 为平面内一点，问：是否存在这样的 M、N，使得以 M、N、B、C 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年河南省信阳市罗山县定远乡中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题（
10、共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】根据倒数的定义可知【解答】解：A、负数有倒数，例如1 的倒数是1，选项错误；B、正数的倒数不一定比自身小，例如 0.5 的倒数是 2，选项错误；C、0 没有倒数，选项错误；D、1 的倒数是1，正确故选：D【点评】本题主要考查了倒数的定义及性质乘积是 1 的两个数互为倒数，除 0 以外的任何数都有倒数，倒数等于它本身的数是12【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数
11、的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将数据 55000 用科学记数法表示为 5.5104故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看是一个矩形，其中间含一个圆，如图所示：故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看到的线画实线4【分析】A、根据同底数幂的除法法则计算；B、根据同底数幂的乘法法则计算；C、根据完全平方公式计算；D、不是同类项，不能合并【解答】解：A、a 6a
12、3a 3，此选项错误；B、a 3a2a 5，此选项正确；C、（a+b） 2a 2+2ab+b2，此选项错误；D、2a+3b2a +3b，此选项错误故选：B【点评】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项，解题的关键是掌握相关运算法则5【分析】根据一次函数的增减性，反比例函数的增减性，二次函数的增减性分别作出判断，然后根据概率公式解答【解答】解：x1 时，y3x1，函数值 y 随 x 增大而增大；y 当 x1 时，函数值 y 随 x 增大而减小；y3x 2 当 x 1 时，函数值 y 随 x 增大而增大；综上所述，P 故选：C【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数
13、的性质，二次函数的性质，熟练掌握各函数的增减性是解题的关键6【分析】根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可【解答】解：A、5 出现了 4 次，出现的次数最多，则众数是 5，故 A 选项错误；B、这组数据的平均数是：（32+43+54+81）104.6，故 B 选项正确；C、调查的户数是 2+3+4+110，故 C 选项正确；D、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（4+5）24.5，则中位数是 4.5，故 D 选项正确；故选：A【点评】此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组
14、数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数7【分析】如图，作 DHOA 于 H，利用全等三角形的性质，证明AEODHO90，由OA2OE，推出 DAO DOH30，即可解决问题；【解答】解：如图，作 DHOA 于 H四边形 ABCD 是菱形，OBOA 2，BCOA ，BCOCOAOAE，ODDA ，OHAH ，OEEB，OEOH ，DOE DOH ，OD OD，ODE ODH ，OED 90 ，OA2OE ，EAODOH30，在 Rt ODH 中，OH1， DOH30，DHOHtan30 ，D（1， ），故选：D【点评】本题考查菱形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定，直角三角形 30
15、 度角的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题8【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当 BP 垂直于 AC 时，BP 的长最小，过 A作等腰三角形底边上的高 AD，利用三线合一得到 D 为 BC 的中点，在直角三角形 ADC 中，利用勾股定理求出 AD 的长，进而利用面积法即可求出此时 BP 的长【解答】解：根据垂线段最短，得到 BPAC 时，BP 最短，过 A 作 ADBC，交 BC 于点 D，ABAC，ADBC，D 为 BC 的中点，又 BC 6，BDCD3，在 Rt ADC 中， AC5，CD3，根据勾股定理得：AD 4，又S ABC BCAD
16、 BPAC，BP 4.8故选：D【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键9【分析】连接 OD，如图，利用折叠性质得由弧 AD、线段 AC 和 CD 所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，ACOC，则 OD2OC6，CD3 ，从而得到CDO30，COD60，然后根据扇形面积公式，利用由弧 AD、线段 AC 和 CD 所围成的图形的面积S 扇形 AODS COD ，进行计算即可【解答】解：连接 OD，如图，扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合，折痕为 CD，ACOC，OD2OC6，CD 3 ，CDO30，COD60
17、，由弧 AD、线段 AC 和 CD 所围成的图形的面积S 扇形 AODS COD 33 6 ，阴影部分的面积为 6 故选：C【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积记住扇形面积的计算公式也考查了折叠的性质10【分析】仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案【解答】解：当 n 为偶数时第 n 个图形中黑色正方形的数量为 n+ 个；当 n 为奇数时第 n 个图形中黑色正方形的数量为 n+ 个，当 n2019 时，黑色正方形的个数为 2019+10103029 个故选：D【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形
18、并正确的找到规律二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案【解答】解：原式（ ） 2+ 12 +1 + 1 +1 故答案为： 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键12【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：由已知得： ，即 ，解得：k1 且 k0故答案为：k1 且 k0【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于 k 的一元一次不等式组本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的
19、个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键13【分析】直接利用不可能事件的定义分析得出答案【解答】解：“同时抛掷两枚普通的骰子，向上一面的点数之和为 13”是不可能事件，故答案为：不可能事件【点评】此题主要考查了不可能事件，正确把握相关定义是解题关键14【分析】由于矩形 PEOF 的面积为| k|2018，又函数位于二、四象限，k0，故反比例函数的解析式即可得出【解答】解：由于 P 为反比例函数图象上一点，则矩形的面积为|k| 2018，又函数图象位于二、四象限，则 k0，k2018，故反比例函数解析式 y ，故答案为：y 【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意
20、一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注15【分析】先利用折叠的性质得到 DED E，ADAD5，再分类讨论：当DDC 90时，如图 1，利用等腰三角形的性质证明 EDEC，从而得到 DEEC CD2；当DCD90时，则点 D落在 BC 上，如图 2，设 DEx，则 EDx，CE4x，先利用勾股定理计算出 BD3，则 CD2，则在 RtCED中利用勾股定理得到方程（4x）2+22x 2，再解方程求出 x，于是可判断当DDC 是直角三角形时， DE 的长为 2 或 【解答】解：ADE 沿 AE 折叠，使点 D 落在点 D处，DED
21、E ，AD AD5，当DDC90时，如图 1，DEDE ，12，1+490，2+ 390，34，EDEC，DEEC CD2；当DCD90时，则点 D落在 BC 上，如图 2，设 DEx，则 EDx ，CE4x，ADAD 10，在 RtABD中，BD 3，CD2，在 Rt CED 中，（4x ） 2+22x 2，解得 x ，即 DE 的长为 ，综上所述，当DDC 是直角三角形时，DE 的长为 2 或 故答案为：2 或 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等解题时，我们常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称
22、的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将特殊锐角的三角函数值代入、化简，继而代入计算可得【解答】解：原式（ ） ，当 2 + +1 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则17【分析】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过 7t 的用户所占的百分比，再进一步估计总体【解答】解
23、：（1）观察条形图，可知这组样本数据的平均数是：这组样本数据的平均数为 6.8（t）在这组样本数据中，6.5 出现了 4 次，出现的次数最多，这组数据的众数是 6.5（t）将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 6.5，有 ，这组数据的中位数是 6.5（t）（2）10 户中月均用水量不超过 7t 的有 7 户，有 50 35根据样本数据，可以估计出小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7t 的约有 35 户【点评】本题考查的是条形统计图的运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据掌握平均数、中位数和众数的计算方
24、法18【分析】（1）将点 A 坐标代入解析式，可求解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式组成方程组，求出点 B 坐标，即可求ABF 的面积；（3）直接根据图象可得【解答】解：（1）一次函数 y x+b 的图象与反比例函数 y （k0）图象交于A（3，2）、B 两点，3 （2）+ b，k236b ，k6一次函数解析式 y x+ ，反比例函数解析式 y（2）根据题意得：解得： ，S ABF 4（4+2）12（3）由图象可得：x2 或 0x4【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求解析式，熟练运用函数图象解决问题是本题的关键19【分析】（1）根据圆外一点 P 到这个圆
25、上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为 11 和 3；（2）作点 P 关于直线 OA 的对称点 P1，作点 P 关于直线 OB 的对称点 P2，连接 P1、P 2，与OA、OB 分别交于点 E、F，点 E、F 即为所求，此时PEF 周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；（3）类似（2）题作对称点，PMN 周长最小P 1P2，然后由三角形相似和勾股定理求解【解答】解：（1）如图，圆外一点 P 到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线 OP 上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离
26、PA 的最大值PA 2PO+OA 27+411，PA 的最小值PA 1POOA 1743，故答案为 11 和 3；（2）如图 ，以 O 为圆心，OA 为半径，画弧 AB 和弧 BD，作点 P 关于直线 OA 的对称点P1，作点 P 关于直线 OB 的对称点 P2，连接 P1、P 2，与 OA、OB 分别交于点 E、F，点 E、F 即为所求连接 OP1、OP 2、OP 、PE、PF，由对称知识可知，AOP 1AOP，BOP 2BOP，PE P 1E，PFP 2FAOP 1+BOP 2AOP +BOP AOB45P 1OP245 +4590 ，P 1OP2 为等腰直角三角形，P 1P2 ，PEF
27、周长PE+PF+EFP 1E+P2F+EFP 1P2 ，此时PEF 周长最小故答案为 4 ；（3）作点 P 关于直线 AB 的对称 P1，连接 AP1、BP 1，作点 P 关于直线 AC 的对称 P2，连接 P1、P 2，与 AB、AC 分别交于点 M、N 由对称知识可知，PMP 1M，PNP 2N，PMN 周长PM+PN+MNPM 1+P2N+MNP 1P2，此时，PMN 周长最小P 1P2由对称性可知，BAP 1BAP，EAP 2EAP，AP 1APAP 2，BAP 1+EAP 2BAP+EAPBAC 45P 1AP245 +4590，P 1AP2 为等腰直角三角形，PMN 周长最小值 P
28、1P2 ，当 AP 最短时，周长最小连接 DFCFBE，且 PFCF，PCF45，ACD45，PCFACD，PCAFCD又 ，在APC 与DFC 中， ，PCAFCDAPCDFC， ，BFC90，取 AB 中点 O点 F 在以 BC 为直径的圆上运动，当 D、F、O 三点在同一直线上时，DF 最短DFDO FO ，AP 最小值为此时，PMN 周长最小值P1P2 【点评】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键20【分析】（1）由 ACCD 得到ACD90，在 RtACD 中，CD60，AD 75，然后根据勾股定理即可计算出 AC；（2）过 E 作 EFAB 于
29、 F 点，在 RtAEF 中，EAF75，AEAC+CE 45+2065，根据正弦的定义得到 sinEAF ，然后代数计算即可得到 EF 的长【解答】解：（1）ACCD，ACD90，tanDtan37AC60tan37 600.7545，即车架档 AC 的长为 45cm；（2）过 E 作 EFAB 于 F 点，如图，在 Rt AEF 中，EAF75，AEAC +CE45+2065，sinEAF ，EFAEsin75650.97 63，车座点 E 到车架档 AB 的距离为 63cm【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先从实物图中抽象出几何图形，然后构造出直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的
30、定义进行计算求出未知的线段与角21【分析】如果设甲商品原来的单价是 x 元，乙商品原来的单价是 y 元，那么根据“甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元”可得出方程为 x+y100 根据“甲商品降价 10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了 20%”，可得出方程为x（110%）+ y（1+40%） 100（1+20%）【解答】解：设甲种商品原来的单价是 x 元，乙种商品原来的单价是 y 元，依题意得，解得： 答：甲种商品原来的单价是 40 元，乙种商品原来的单价是 60 元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目
31、中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组22【分析】（1）由正方形的性质得出 ABBC 4，ABC BCD90，由 SAS 证明ABEBCF，即可得出结论；由得： ABEBCF，得出 BAECBF ，证出AGB90，即可得出结论；（2） 由直角三角形的性质得出 CFBE BC2，由勾股定理得出 BF2 ，由（1）得：AEBF，则BGE ABE90，证明BEG AEB，得出 ，设 GEx，则BG2x ，在 RtBEG 中，由勾股定理得出方程，解方程得出 BG2 ，由平行线得出 ，即可得出 BH 的长；由（ 1）得： AGB90，得出点 G 在以 AB 为直径的圆上，设 AB 的中点为 M，当
32、C、G、M 在同一直线上时， CG 为最小值，求出 GM ABBM2，由平行线得出 1，证出 CFCGBE，设 CFCGBEa，则 CMa+2，在 RtBCM 中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABBC4， ABC BCD 90，在ABE 和BCF 中， ，ABE BCF（SAS），AEBF；由得： ABEBCF，BAE CBF，CBF+ ABF 90，BAE +ABF90，AGB90，AEBF；（2）解： 如图 2 所示：E 为 BC 的中点，CFBE BC2，BF 2 ，由（1）得：AEBF ，BGEABE90，BEGAEB，BEGAEB，
33、，设 GEx，则 BG2x ，在 Rt BEG 中，由勾股定理得：x 2+（2x） 22 2，解得：x ，BG2 ，ABCD， ，即 ，解得：BH ；由（ 1）得： AGB90，点 G 在以 AB 为直径的圆上，设 AB 的中点为 M，由图形可知：当 C、G、M 在同一直线上时， CG 为最小值，如图 3 所示：AEBF，AGB90，GM AB BM2，ABCD， 1，CFCG，CFBE，CFCGBE，设 CFCGBEa，则 CMa+2 ，在 Rt BCM 中，由勾股定理得： 22+42（a+2） 2，解得：a2 2，即当 CG 取得最小值时，BE 的长为 2 2【点评】本题是四边形综合题目，
34、考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题关键23【分析】（1）根据 OC3，tanACO ，可知 OA 的长度，代入点 A、C 可求出二次函数的表达式（2） 根据 OC 为 OA、OB 的比例中项，可推出ACOBCO，求出 B、A 的坐标，二次函数的解析式可求，点 P 的坐标可求，PBC 的面积可求分两种情况讨论，再根据相似求出线段长度，再利用平移规律得到点 N 的坐标【解答】解：（1）在 RtAOC 中，C （0，3），tanACO ，A（2，0），则有解得二次函数的表达
35、式为 y x2+x+3（2） 对称轴 x 2，如图 1 所示，由 OC 为 OA、OB 的比例中项可得AOCCOB设点 A 的坐标为（m，0），则点 B 的坐标为（4m ，0），则 OAm，OB4m， ，解得 m12+ （舍），m 22 ，A（2 ，0），B（ +2），则有解得二次函数的解析式为 y x2+ x+3，P（2， ），设直线 BC 的解析式为 ykx +b，则有解得直线 BC 的解析式为 y x+3，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q，则 Q（2， ），PQ ，S （2+ ） + 存在，分两种情况情况一：如图 2 所示，此时 M 于 O 重合，N（ +2，3）情况二：如图 3 所示，四边形 CBMN 为矩形， CBM90，CBOOMB，COBBOM，COBBOM， ，即解得 OM ，M（0， ），线段 NC 可以从 BM 平移得到，点 B 与点 C 为对应点，点 M 与点 N 为对应点，点 B 向左移动（2+ ）个单位，向上移动 3 个单位得到点 C，点 M 到点 N 也是同样得平移规律，N（2 ， ）综上，点 N 的坐标为（ +2，3）或（ 2， ）【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形与二次函数的结合，找到相似三角形为解题关键