1、北京市 2019 届高考考前提分冲刺卷(三)理科数学试题本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.设复数 z 满足 ，则 z=（ ）1+21=A. B. C. D. 15+35 1535 15+35 15352.设全集为实数集 ，集合 ， ，则 （ ）R2A|4xB|xB)C(ARA B C D|20x|0|1|0x3.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼某
2、校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为 ，若他前一球投不进则后一球投进的概率为 若他第 1 球34 14投进的概率为 ，则他第 2 球投进的概率为（ ）34A. B. C. D. 34 58 716 9164.已知函数 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数)2|,0)(sin)( xf 4的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 y 轴对称，那么函数 的图象（ )(xfy163 )(xfy）A关于点 对称 B关于点 对称)0,16()0,16(C关于直线 对称 D关于直线 对称16x4x5.定义“有增有减 ”数列a n如下：tN *，满足 ata t+1，且s N
3、*，满足 aSa S+1已知“有增有减”数列a n共 4 项，若 aix，y ，z （i=1，2，3，4），且 xyz，则数列 an共有（ ）A. 64 个 B. 57 个 C. 56 个 D. 54 个6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）.A. B. C. D. 25452551 112俯 视 图 侧 （ 左 ） 视 图正 （ 主 ） 视 图7.设函数 （其中 为自然对数的底数），函数0,219ln)(xexf ， e，若函数 恰有 4 个零点，则实数 的取值范围是（ )()(2fmfg )(xgm）A. B C D2221m2121或8.已知正四面体的中心与球心 O 重合
4、，正四面体的棱长为 ，球的半径为 ,则正四面体65表面与球面的交线的总长度为（ ）A. B. C. D.4282112第二部分（非选择题共 110 分）2、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9.在极坐标系下，点 与曲线 上的动点 Q 距离的最小值为 (1,)2P2cos10.已知函数 ，若存在一个非零实数 t，对任意的 ，都有()sin)fx xR，则 t 的一个值可以是 ()(ftf11.已知 .若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则(1,),OABaabOAB的面积是_.AB12.已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与20ypxF2179xy轴的交点为
5、 ，点 在抛物线上，且 ，则 的面积_.xEAAEAEF13.正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，记为 ，例如 如图所示()251(6).程序框图的算法源于“ 中国剩余定理 ”，若执行该程序框图，当输入 时，则输出 N= .=2514.定义域为 的函数 图像的两个端点分别为 ， 是 图像上任意,abyfx,AB,Mxyf一点，其中 ，向量 ，若不等式 恒成1x0,11ONONk立，则称函数 在 上“ 阶线性近似”. 若函数 在 上“ 阶线性近似”，则f,abkyx,2k实数 的取值范围是 .k三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题满
6、分 13 分）已知函数 的最大值为 ()2cos()s4fxxa2（）求 的值；a（）求函数 的单调递增区间()fx16.（本小题满分 13 分）某工厂生产的某产品按照每箱 8 件包装，每箱产品在流入市场之前都要检验.若整箱产品检验不通过，除去检验费用外，每箱还要损失 100 元.检验方案如下：第一步，一次性随机抽取 2 件，若都合格则整箱产品检验通过；若都不合格则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验.若抽取的 2 件产品有且仅有 1 件合格，则进行第二步工作.第二步，从剩下的 6 件产品中再随机抽取 1 件，若不合格，则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验.若合格，则
7、进行第三步工作.第三步，从剩下的 5 件产品中随机抽取 1 件，若不合格，则整箱产品检验不通过，若合格，则整箱产品检验通过，检验结束，剩下的产品都不再检验.假设某箱该产品中有 6 件合格品，2 件次品.（）求该箱产品被检验通过的概率；（）若每件产品的检验费用为 10 元，设该箱产品的检验费用和检验不通过的损失费用之和为 ，求X的分布列和数学期望 .X)(XE17（本小题满分 13 分）GEFCDAB已知椭圆 与 x 轴交于两点 ，与 y 轴的一个交点为 B， 的面2:1(0)4xyCm12,A12A积为 2.（）求椭圆 的方程及离心率；（）在 y 轴右侧且平行于 y 轴的直线 与椭圆交于不同的
8、两点 ，直线 与直线 交l 12,P1A2P于点 P.以原点 O 为圆心，以 为半径的圆与 x 轴交于两点 M,N（点 M 在点 N 的左侧），求1AB的值.PMN18.（本小题满分 13 分）已知函数 ()=+1（）讨论函数 f（x ）的单调性；（）设 g（ x）=e x+mx2-2e2-3，当 a=e2+1 时，对任意 x11，+ ），存在 x21，+ ），使g（x 2）f（x 1），求实数 m 的取值范围19.（本小题满分 14 分）如图 1，正方形 的边长为 2， ， 分别为 的中点， 与 交于点 ，将BCEFABD， ACEFG沿 折AEF起到 的位置，使平面1平面1B，如图 2（）
9、求证：平面 平面 ；1AGC1EFGFBA1E DC（）求二面角 的余弦值；1FAEB（）判断线段 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；若不存1CMF 1AEB1AMC在，说明理由20.（本小题满分 14 分）如图，设 是由 个实数组成的 行 列的数表，其中 表示位于An(2) nija(,12,)n第 行第 列的实数，且 .ij 1,ija112 1na21a2 2n 1na2n na定义 为第 s 行与第 t 行的积. 若对于任意 （12sttstsntp (,12,) ,st），都有 ，则称数表 为完美数表.st0st A（）当 时，试写出一个符合条件的完美数表；2n（）证明
10、：不存在 10 行 10 列的完美数表；（）设 为 行 列的完美数表，且对于任意的 和 ，都有 ，证An 1,2ilL1,2jkL1ija明： .kl北京市 2019 届高考考前提分冲刺卷(三)理科数学试题参考答案及评分标准一选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B B B D C A A 二填空题9. 10 . （答案不唯一） 11. 12. 13.31 14.2122332,三解答题15.（本小题满分 13 分）解：（）因为所以函数 的最大值为所以所以（）因为 的单调递增区间为 ，令所以 函数 的单调递增区间为 ，16.（本小题满分 13 分）解：（1）设“ 该箱产品第一步检
11、验通过 ”为事件 A，“ 该箱产品三步之后检验通过”为事件 B，则 ，72)(),2815)( 1562846 CBPCAP因为事件 A 与事件 B 互斥，所以 ,283)()(BPA即该箱产品被检验通过的概率为 .6 分283（2）由已知， 的可能取值有 20，40，120，130，140 ，X ,281)10(,72)(40(,2815)(0( CXPBPAP，4)1(,)13( 156281628XCX所以 的分布列为X20 40 120 130 140P2815722811414所以 .13 分732014130287402815)( XE17（本小题满分 13 分）解：（）因为 由椭
12、圆方程知： ，0,m224,ambabm，所以122BASab 1.所以椭圆 的方程为 . C214xy由 ， ，得 ，2,1ab22ac3所以椭圆 的离心率为 . 5 分C2（）设点 , 不妨设()Pxy10200(),(),Pxy12(,0)(,A设 ， ，01:A02:2Ax由 得002yx， 04,2.Pxy即004,2=.2PPpxyxy又 ，得 ， 2014xy24()1Pxy化简得2(0).PPx因为 ，所以 ，即1(,0)(,AB15AB(5,0)(,).MN所以点 的轨迹为双曲线 的右支， 两点恰为其焦点， 为双曲线的P24xy, 12,A顶点，且 ，所以 13 分12APN
13、18.（本小题满分 13 分）解：（I）f （x ）的定义域为（0，+ ），又 ，()=+1+12=(1)(+1)2令 f（ x）=0 ，得 x=1 或 x=a-1当 a1，则 a-10，由 f（x）0 得 0x 1，由 f（x）0 得 x1，函数 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+ ）上单调递增当 1a2，则 0a-11，由 f（x ）0 得 a-1x 1，由 f（ x）0 得 0x a-1 或 x1，函数 f（x）在（a-1 ，1）上单调递减，在（0，a-1）和（1，+）上单调递增当 a=2，则 a-1=1，可得 f（x）0，此时函数 f（x）在（0，+ ）上单调递增当 a2 时，
14、则 a-11，由 f（x ）0 得 1xa-1 ，由 f（ x）0 得 0x 1 或 xa-1，函数 f（x）在（1，a-1 ）上单调递减，在（0，1）和（a-1，+）上单调递增（II）当 a=e2+1 时，由（1）得函数 f（x）在（1，e 2）上单调递减，在（0，1）和（e 2，+ ）上单调递增，从而 f（x）在1 ，+）上的最小值为 f（e 2）=- e2-3对任意 x11，+），存在 x21，+），使 g（x 2）f（x 1），即存在 x21，+），g（x 2）函数值不超过 f（x ）在区间1，+）上的最小值-e 2-3由 ex+mx2-2e2-3-e2-3 得 ex+mx2e2， 2
15、2记 ，则当 x1，+ ）时，mp（x） max()=22= ，当 x1，2，显然有 exx+2（e 2-ex）0，()=22(2)(2)2 +2(2)3当 x（2，+），e xx+2（ e2-ex）e xx-2ex0，故 p（x）在区间 1，+）上单调递减，得 ，()=(1)=2从而 m 的取值范围为（-，e 2-e19.（本小题满分 14 分）解：（）因为正方形 中， ， 分别为 的中点，ABCDEFABD、所以 ， .EF 所以 .所以 . 2 分GC又因为 平面 ，EFDCB平面 平面 ，1A平面 平面 ，1EFCBEF所以 平面 . GC1AEF又因为 平面 ，1C所以平面 平面 .
16、4 分1A1EF（）因为 两两垂直，所以，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，1GE、 、 G-Gxyz如图，1 分则 ， ， (0,)G12(0)， ，A 2(0)， ，E2， ，F32(0)(0)2BC， ， ， ， ， ，所以 ， ，1(,)AE(,)2EB由（）知， 是平面 的一个法向量.2 分3(0,)GC1AEF设平面 的法向量为 ，1AEB(,)nxyz则 ， 即 ，10nEB20zxy令 ，则 ， . 所以 . 3 分x=y-z=1(1,)n. 4 分32cos,|GCn由图可知所求二面角为钝角，所以二面角 的余弦值为 . 5 分1FAEB3（）设 （ ）， 1 分1AM=C10
17、F11232(,0)(,)+FA， 2 分23(,)2若使 平面 ，则 . 3 分FM 1AEB0nFM=即 ，解得 .4 分232()2+1=2所以存在点 ，使 平面 ，此时 的值为 . 5 分MF 1AEB1C20.（本小题满分 14 分）解：（）答案不唯一. 如： 3 分（）假设存在 10 行 10 列的完美数表 .A根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即 均变为 ，而 均变为 ），11得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. 5 分完美数表 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：A1
18、1 1 11 111 1 1 1 x共 列 y共 列 z共 列 w共 列在这个新数表中，设前三行中的数均为 1 的有 x 列，前三行中“ 第 1,2 行中的数为1，且第 3 行中的数为-1” 的有 y 列，前三行中“第 1,3 行中的数为 1，且第 2 行中的数为-1”的有 z 列，前三行中“ 第 1 行中的数为 1，且第 2, 3 行中的数为-1” 的有 w 列（如上表所示），则 10xyzw1由 ，得 ； 12pxyz2由 ，得 ； 130w3由 ，得 . 23pxyz4解方程组 ， ， ， ，得 .1 2 3 4 52xyzw这与 矛盾，,xyzwN所以不存在 10 行 10 列的完美数表. 8 分（）记第 1 列前 l 行中的数的和 ，第 2 列前 l 行中的数的和121laaX，第 n 列前 l 行中的数的和 ，122laaX 12nlnaX因为对于任意的 和 ，都有 ，1,2ilL1,2jkLij所以 . 9 分12kXl又因为对于任意 （ ），都有 ，,stt0stp所以 . 11 分221nXl又因为 ，222211nkXXl 所以 ，即 . 13 分2lnk l