1、2019 年河南省信阳市罗山县中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）2 的倒数是（ ）A2 B2 C D2（3 分）据统计，2018 年国庆黄金周期间，河南省旅游人数再创新高，全省共接待游客6186.6 万人次，数据“6186.6 万”用科学记数法可表示为（ ）A6.186610 7 B6.186610 3 C6.186610 8 D6.186610 43（3 分）如图是一个机械铸件，则其主视图是（ ）A B C D4（3 分）下列计算正确的是（ ）A3a2a1 Ba 4a6a 24Ca 2aa D（a+b） 2a 2+b25（3 分）平面直角坐标系中有五个点：
2、（2，3），（3，2），（2，3），（3，2），（1，6），则从中任取一点，该点在反比例函数 图象上的概率是（ ）A B C D6（3 分）某校九年级（1）班全体学生 2015 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50人数（人） 2 5 6 6 8 7 6根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）A该班一共有 40 名同学B该班学生这次考试成绩的众数是 45 分C该班学生这次考试成绩的中位数是 45 分D该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分7（3 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是菱形，点 C 的坐标为（1，2），则菱形
3、OABC 的面积是（ ）A B2 C2 D2 18（3 分）如图，在ABC 中，点 M 是 AC 边上一个动点若 ABAC10，BC 12，则BM 的最小值为（ ）A8 B9.6 C10 D4 59（3 分）如图一个扇形纸片的圆心角为 90，半径为 6将这张扇形纸片折叠，使点 A与点 O 恰好重合，折痕为 CD，则阴影部分的面积为（ ）A B C D10（3 分）如图，物体从 A 点出发，按照 AB（第一步）C（第二步）DAE FGAB 的顺序循环运动，则第 2019 步到达（ ）AC BG CF DD二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算 4sin45的结果是 12（3
4、 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x k0 没有实数根，则 k 的取值范围是 13（3 分）班里有 18 名男生，15 名女生，从中任意抽取 a 人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件，则 a 的取值范围是 14（3 分）如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象在第二象限内分别相交于 A，B 两点、点 A 在点 B 的左侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 4，则k1k 2 的值为 15（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC10，点 N 为边 BC 的中点，点 M 为 AB边上任意一点，连接 MN，把BMN 沿 MN 折叠，使点 B 落在点 E 处，若点 E 恰在
5、矩形 ABCD 的对称轴上，则 BM 的长为 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值： ，其中 17（9 分）“足球运球”被列入郑州市中招体育可选项目为此，某校九年级举行“足球运球”达标测试，将成绩 10 分、9 分、8 分、7 分，对应定为 A，B，C，D 四个等级、九年级一班根据测试成绩绘制如下统计图，请回答下列问题（1）九年级一班的班级总人数为 （2）补全条形统计图（3）该班“足球运球”测试的平均成绩是多少？（4）如果该校九年级共 800 人，且规定等级为 A，B，C 的为优秀，则该校九年级足球运球成绩为优秀的有多少人？18（9 分）如图，在平面直
6、角坐标系中，已知正比例函数 图象与反比例函数的图象交于 A（a， 2），B 两点（1）反比例函数的解析式为，点 B 的坐标为 （2）观察图象，直接写出不等式 的解集为 （3）点 P 是第一象限内反比例函数的图象上一点，过点 P 作 y 轴的平行线，交直线 AB于点 C，连接 PO，若POC 的面积为 1，求点 P 的坐标19（9 分）如图，AB 是半 O 的直径，点 C，D 为半圆 O 上的点，AE|OD，过点 D 的O 的切线交 AC 的延长线于点 E，M 为弦 AC 中点（1）填空：四边形 ODEM 的形状是 ；（2） 若 ，则当 k 为多少时，四边形 AODC 为菱形，请说明理由；当四边
7、形 AODC 为菱形时，若四边形 ODEM 的面积为 4 ，求O 的半径20（9 分）下图是工人在施工时经常用的“人字梯”按规定，“人字梯”的上部夹角的安全范围是 35AOB45且铰链必需牢固，并应有可靠的拉撑措施在人字梯的一 A，B 处和 C，D 处（ABCD）各需系上一根高强度的软钢丝以确保用梯安全现测得 OA OB2 米，在 A，B，C ，D 处固定用去的钢丝忽略不计，则所需钢丝的长度应该在什么范围内？（结果精确到 0.1 米，参考据：sin17.50.30，cos17.50.95，tan17.5 0.32，sin22.5 0.38，Cos 22.50.92， tan22.50.41）2
8、1（10 分）列方程组解应用题：开学初，某中学八（1）班学生去商场购买了 A 品牌足球 1 个、B 品牌足球 2 个，共花费 210 元，八（2）班学生购买了 A 品牌足球 3 个、B 品牌足球 1 个，共花费 230 元（1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元？（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费 1500 元全部购买A、B 两种品牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请分别设计出来22（10 分）请完成下面的几何探究过程：（1）观察填空如图 1，在 RABC 中，C90，AC BC4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点A，B 重
9、合），把线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到线段 CE，连 DE，BE，则CBE 的度数为 ；当 BE 时，四边形 CDBE 为正方形（2）探究证明如图 2，在 Rt ABC 中，C90，BC2AC 4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点A，B 重合），把线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90后并延长为原来的两倍到线段 CE，连 DE，BE，则：在点 D 的运动过程中，请判断CBE 与A 的大小关系，并证明；当 CDAB 时，求证：四边形 CDBE 为矩形（3）拓展延伸如图 2，在点 D 的运动过程中，若 BCD 恰好为等腰三角形，请直接写出此时 AD 的长23（11 分）如图，已知
10、平面直角坐标系中，地物线 yax 2+bx+4 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（8，0）（1）求抛物线的解析式；（2）有一动点 D 从点 C 出发，以每秒 个单位的速度在射线 CB 上运动，过点 D 作x 轴的垂线，交抛物线于点 E，交 x 轴于点 F，连接 CE，OD ，设点 D 运动的时间为t（0t4）秒若点 D 在线段 CB 上运动，则当 为何值时，OCD 与CDE 的面积相等？在点 D 的运动过程中，是否存某一时刻，使四边形 DOCE 为平行四边形？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由2019 年河南省信
11、阳市罗山县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）2 的倒数是（ ）A2 B2 C D【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数【解答】解：2 的倒数是 ，故选：D【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键2（3 分）据统计，2018 年国庆黄金周期间，河南省旅游人数再创新高，全省共接待游客6186.6 万人次，数据“6186.6 万”用科学记数法可表示为（ ）A6.186610 7 B6.186610 3 C6.186610 8 D6.186610 4【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1
12、|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：6186.6 万61 866 0006.186610 7，故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）如图是一个机械铸件，则其主视图是（ ）A B C D【分析】找到从前面看所得图形即可得【解答】解：如图是一个机械铸件，则其主视图是故选：A【点评】此题主要考查了简单几何体
13、的三视图，关键是掌握三视图所看的位置4（3 分）下列计算正确的是（ ）A3a2a1 Ba 4a6a 24Ca 2aa D（a+b） 2a 2+b2【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及完全平方公式的知识求解，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用【解答】解：A、3a2aa，故本选项错误；B、a 4a6a 10，故本选项错误；C、a 2aa，故本选项正确；D、（a+b） 2 a2+2ab+b2，故本选项错误故选：C【点评】此题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及完全平方公式的知识此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键5（3 分）平面直角坐标系中有五
14、个点：（2，3），（3，2），（2，3），（3，2），（1，6），则从中任取一点，该点在反比例函数 图象上的概率是（ ）A B C D【分析】根据反比例函数的性质，找出符合点在函数 图象上的点的个数，即可根据概率公式求解【解答】解：k6，236，326，236，3（2）6，1（6）6，反比例函数 图象上的点共有 3 个，故该点在反比例函数 图象上的概率是故选：A【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点用到的知识点还有：概率所求情况数与总情况数之比6（3 分）某校九年级（1）班全体学生 2015 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50人数（
15、人） 2 5 6 6 8 7 6根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）A该班一共有 40 名同学B该班学生这次考试成绩的众数是 45 分C该班学生这次考试成绩的中位数是 45 分D该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解【解答】解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+640，得 45 分的人数最多，众数为 45，第 20 和 21 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为： 45，平均数为： 44.425故错误的为 D故选：D【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键7（3 分）如图，在平面直角坐标系
16、中，四边形 OABC 是菱形，点 C 的坐标为（1，2），则菱形 OABC 的面积是（ ）A B2 C2 D2 1【分析】作 CHx 轴于 H利用勾股定理求出 OA 的长即可解决问题；【解答】解：作 CHx 轴于 H四边形 OABC 是菱形，OAOC，C（1，2），OH1，CH2，OC ，菱形 OABC 的面积 22 故选：B【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题8（3 分）如图，在ABC 中，点 M 是 AC 边上一个动点若 ABAC10，BC 12，则BM 的最小值为（ ）A8 B9.6 C10 D4 5【分析】作
17、 ADBC 于 D，则 ADB90，由等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，当 BMAC 时，BM 最小；由 ABC 的面积的计算方法求出 BM 的最小值【解答】解：作 ADBC 于 D，如图所示：则ADB90，ABAC，BD BC6，由勾股定理得：AD 8，当 BMAC 时， BM 最小，此时，BMC90，ABC 的面积 ACBM BCAD，即 10BM 128，解得：BM9.6，故选：B【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由三角形面积的计算方法求出 BM 的最小值是解决问题的关键9（3 分）如图一个扇形纸片的圆心角为 90，半径为
18、 6将这张扇形纸片折叠，使点 A与点 O 恰好重合，折痕为 CD，则阴影部分的面积为（ ）A B C D【分析】连接 OD，如图，利用折叠性质得由弧 AD、线段 AC 和 CD 所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC OC，则 OD2OC6，CD3 ，从而得到CDO30，COD60，然后根据扇形面积公式，利用由弧 AD、线段 AC 和 CD所围成的图形的面积S 扇形 AODS COD ，能进而求出答案【解答】解：连接 OD，如图，扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合，折痕为 CD，ACOC，OD2OC6，CD 3 ，CDO30，COD60，由弧 AD、线段 AC 和 CD 所围成的图
19、形的面积S 扇形 AODS COD 33 6 ，阴影部分的面积为 2（6 ）9 3，故选：A【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积记住扇形面积的计算公式也考查了折叠的性质，注意：圆心角是n，半径为 r 的扇形的面积 S 10（3 分）如图，物体从 A 点出发，按照 AB（第一步）C（第二步）DAE FGAB 的顺序循环运动，则第 2019 步到达（ ）AC BG CF DD【分析】根据物体的运动规律可知：每 8 步一个循环，结合 20198252+3 可知第2019 步和第 3 步到达同一点，进而即可得出结论【解答】解：根据物体的运动规律可知
20、：每 8 步一个循环，20198252+3，第 2019 步到达 C 点故选：A【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据物体的运动规律找出每 8 步一个循环是解题的关键二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算 4sin45的结果是 【分析】分别进行二次根式的化简、特殊角的三角函数值等运算，然后按照实数的运算法则计算即可【解答】解：原式3 4 故答案为： 【点评】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题12（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x k0 没有实数根，则 k 的取值范围是 k1 【分析】根据关于 x 的一元二次方
21、程 x22x k0 没有实数根，得出4+4k 0，再进行计算即可【解答】解：一元二次方程 x22xk 0 没有实数根，（2） 241（k）4+4k0，k 的取值范围是 k1；故答案为：k1【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根13（3 分）班里有 18 名男生，15 名女生，从中任意抽取 a 人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件，则 a 的取值范围是 18a33 的整数 【分析】根据必然事件的定义求解可得【解答】解：因为班里共有 18 名男生，若要使女生被抽到是必然事件
22、，则抽取的人数不少于 19 人，又总人数为 33 人，所以 18a33，故答案为：18a33 的整数【点评】本题主要考查随机事件，解题的关键是掌握确定性事件和随机事件的定义14（3 分）如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象在第二象限内分别相交于 A，B 两点、点 A 在点 B 的左侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 4，则k1k 2 的值为 8 【分析】ABC 的面积 AByA，先设 A、B 两点坐标（其 y 坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解【解答】解：设：A、B 两点的坐标分别是 A（ ，m）、B（ ，m ），则：ABC 的面积 AByA （ ）m
23、 4，则 k1k 28故答案为：8【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式也考查了三角形的面积15（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC10，点 N 为边 BC 的中点，点 M 为 AB边上任意一点，连接 MN，把BMN 沿 MN 折叠，使点 B 落在点 E 处，若点 E 恰在矩形 ABCD 的对称轴上，则 BM 的长为 5 或 【分析】由于矩形的对称轴有两条，所以分两种情况：当 E 在矩形的对称轴直线 PN上时，如图 1，证明四边形 BMEN 是正方形，则 BMBN5；当 E 在矩形的对称轴直线 FG 上时，如图 2，在 RtFE
24、M 中，利用勾股定理求解即可【解答】解：当 E 在矩形的对称轴直线 PN 上时，如图 1此时MENB90，ENB90，四边形 BMEN 是矩形又MEMB，四边形 BMEN 是正方形BMBN5 当 E 在矩形的对称轴直线 FG 上时，如图 2，过 N 点作 NH FG 于 H 点，则 NH4根据折叠的对称性可知 EN BN5，在 RtENH 中，利用勾股定理求得 EH3FE532设 BMx，则 EMx，FM4x，在 Rt FEM 中， ME2FE 2+FM2，即 x24+（4x ） 2，解得 x ，即 BM 故答案为 5 或 【点评】本题以矩形为背景考查折叠的对称性，以矩形的对称轴为依托进行分类
25、讨论，解题的关键是画出图形，依据图形特征求解三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值： ，其中 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角的三角函数值得出 y 的值，最后将 x、y 的值代入计算可得【解答】解：原式 （ ） xy，当 x +1，ytan45 1 时，原式 +11 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值17（9 分）“足球运球”被列入郑州市中招体育可选项目为此，某校九年级举行“足球运球”达标测试，将成绩 10 分、9 分、8 分、7 分，对应定为 A，B，C，
26、D 四个等级、九年级一班根据测试成绩绘制如下统计图，请回答下列问题（1）九年级一班的班级总人数为 40 （2）补全条形统计图（3）该班“足球运球”测试的平均成绩是多少？（4）如果该校九年级共 800 人，且规定等级为 A，B，C 的为优秀，则该校九年级足球运球成绩为优秀的有多少人？【分析】（1）根据 A 的人数除以占的百分比求出调查学生的人数；（2）求出 C 等级的人数，补全条形统计图即可；（3）根据加权平均数的计算公式计算可得；（4）根据总人数优秀人数的百分比可得结论【解答】解：（1）该班级的总人数为 410%40，故答案为：40；（2）C 等级的人数为 40（ 4+16+8）12，补全统计
27、图如下：（3）该班“足球运球”测试的平均成绩是 8.4（分），（4）800（120%）640 ，答：该校九年级足球运球成绩为优秀的有 640 人【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，弄清题意是解本题的关键18（9 分）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数 图象与反比例函数的图象交于 A（a， 2），B 两点（1）反比例函数的解析式为，点 B 的坐标为 （4，2） （2）观察图象，直接写出不等式 的解集为 x 4 或 0x4 （3）点 P 是第一象限内反比例函数的图象上一点，过点 P 作 y 轴的平行线，交直线 AB于点 C，连接 PO，若POC 的面积为 1，求点 P 的坐标【分析】（
28、1）把 A（a，2）代入 y x，可得 A（4 ，2），把 A（4，2）代入 ，可得反比例函数的表达式为 y ，再根据点 B 与点 A 关于原点对称，即可得到 B 的坐标；（2）观察函数图象，由交点坐标即可求解；（3）设 P（m， ），则 C（m ， m），根据POC 的面积为 1，可得方程m| m |1，求得 m 的值，即可得到点 P 的坐标【解答】解：（1）把 A（a，2）代入 y x，可得 a 4，A（4，2），把 A（4，2）代入 ，可得 k8，反比例函数的表达式为 y ，点 B 与点 A 关于原点对称，B（4，2）故答案为：（4，2）；（2）根据图象，可得不等式 的解集是 x4 或
29、0x4故答案为：x4 或 0x 4；（3）设 P（m， ），则 C（m ， m），依题意，得 m| m |1，解得 m2 或 m2 ，（负值已舍去）P（2 ， ）或 P（2 ， ）【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式19（9 分）如图，AB 是半 O 的直径，点 C，D 为半圆 O 上的点，AE|OD，过点 D 的O 的切线交 AC 的延长线于点 E，M 为弦 AC 中点（1）填空：四边形 ODEM 的形状是 矩形 ；（2） 若 ，则当 k 为多少时，四边形 AODC 为菱形，请说明理由；当四边形 AODC 为
30、菱形时，若四边形 ODEM 的面积为 4 ，求O 的半径【分析】（1）运用切线定理、垂径定理、平行线的性质证明四个角均为 90，即可说明四边形 ODEM 为矩形；（2） 当 k 为 1 时，四边形 AODC 为菱形连接 CD，CO由四边形 AODC 为菱形，可得 AOOD CDAC，由 OM 垂直平分 AC，得到 OAOC，所以 OAOCAC，因此OAC 为等边三角形，于是CAO60，CDO60，ECD30，所以 CE CD AC，又 CM AC，因此 CECM，即 ，所以当 k 为 1 时，四边形 AODC 为菱形；由四边形 ODEM 的面积为 4 ，可知 ODMO43，由四边形 AODC
31、为菱形时，MAO60，所以 ，MO AOsin60 AO，因此ODMOOA OA4 ，所以 OA ，【解答】解：（1）DE 是O 的切线，ODDE ， ODE90，M 为弦 AC 中点，OM AC，OME90，AE|OD ，E90，MOD 90 ，四边形 ODEM 是矩形；（2） 当 k 为 1 时，四边形 AODC 为菱形理由如下：连接 CD，CO 四边形 AODC 为菱形，AOOD CDAC，OM 垂直平分 AC，OAOC，OAOCAC，OAC 为等边三角形，CAO60，CDO60，ECD30，CE CD AC，CM AC，CECM， ，当 k 为 1 时，四边形 AODC 为菱形；四边形
32、 ODEM 的面积为 4 ，ODMO 43 ，由四边形 AODC 为菱形时，MAO60， ，MO AOsin60 AO，ODMO OA OA4 ，OA ， O 的半径为 【点评】本题是圆的综合题，熟练掌握矩形、菱形、三角函数、垂径定理等是解题的关键20（9 分）下图是工人在施工时经常用的“人字梯”按规定，“人字梯”的上部夹角的安全范围是 35AOB45且铰链必需牢固，并应有可靠的拉撑措施在人字梯的一 A，B 处和 C，D 处（ABCD）各需系上一根高强度的软钢丝以确保用梯安全现测得 OA OB2 米，在 A，B，C ，D 处固定用去的钢丝忽略不计，则所需钢丝的长度应该在什么范围内？（结果精确到
33、 0.1 米，参考据：sin17.50.30，cos17.50.95，tan17.5 0.32，sin22.5 0.38，Cos 22.50.92， tan22.50.41）【分析】人字梯可简化为一个等腰三角形如右图，先作 OEAB 于 E，由等腰三解形三线合一的性质可知 OE 是AOB 的平分线，再根据题意判断出 AOD 的取值范围，利用锐角三角函数的定义即可求出钢丝 AB 的取值范围从而求出所需的钢丝的长度【解答】解：如图作辅助线 OEAB 于，OAB 中，OA OB，且 OEAB，AOEBOE AOB，AEEB AB在 Rt OAE 中，sinAOEAEOA sinAOE由题意知：35A
34、OB45当AOE17.5时，AE OAsinAOE 2sin17.50.6 米此时，AB1.2 米，所需要的钢丝为 2.4 米当AOE22.5时，AE OAsinAOE 2sin22.50.76 米此时，AB1.52 米，所需要的钢丝为 3.1 米故所需钢丝的长度应该在 2.4 米到 3.1 米之间【点评】此题主要考查利用锐角三角函数解直角三角形利用锐角三角函数时要分清所求的锐角在直角三角形中的对边、斜边及邻边的位置21（10 分）列方程组解应用题：开学初，某中学八（1）班学生去商场购买了 A 品牌足球 1 个、B 品牌足球 2 个，共花费 210 元，八（2）班学生购买了 A 品牌足球 3
35、个、B 品牌足球 1 个，共花费 230 元（1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元？（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费 1500 元全部购买A、B 两种品牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请分别设计出来【分析】（1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元，根据“购买了 A 品牌足球 1 个、B 品牌足球 2 个，共花费 210 元，购买了 A 品牌足球 3 个、B 品牌足球 1 个，共花费 230 元”可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设第二次购买 A 种足球 a 个，
36、则购买 B 种足球 b 个，根据“使用专项经费 1500 元全部购买 A、B 两种品牌的足球供学生使用”可得出关于 a，b 的二元一次方程，由此即可得出结论【解答】解：（1）设 A 品牌需要要 x 元，B 品牌 y 元，解得 ，答：购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需 50 元，80 元；（2）设购买 A 种产品 a 个，B 种 b 个50a+80b1500，其中 a0，b0b0 ，a30b5 ，a22b10 ，a 14b15 ，a 6【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于 x、y 的二元一次方程组；（2）根据数量
37、关系找出关于 a，b 的二元一次方程22（10 分）请完成下面的几何探究过程：（1）观察填空如图 1，在 RABC 中，C90，AC BC4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点A，B 重合），把线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到线段 CE，连 DE，BE，则CBE 的度数为 45 ；当 BE 2 时，四边形 CDBE 为正方形（2）探究证明如图 2，在 Rt ABC 中，C90，BC2AC 4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点A，B 重合），把线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90后并延长为原来的两倍到线段 CE，连 DE，BE，则：在点 D 的运动过程中，请判断CBE 与A
38、 的大小关系，并证明；当 CDAB 时，求证：四边形 CDBE 为矩形（3）拓展延伸如图 2，在点 D 的运动过程中，若 BCD 恰好为等腰三角形，请直接写出此时 AD 的长【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AABC45，由旋转的性质得：ACDBCE，CDCE，证明BCEACD，即可得出结果；由得CBE45，求出DBEABC+CBE 90，作 EMBC 于 M，则BEM 是等腰直角三角形，证出CME 是等腰直角三角形，求出BEC90，证出四边形 CDBE 是矩形，再由垂直平分线的性质得出 BECE，即可得出结论；（2） 证明 BCEACD，即可得出CBEA；由垂直的定义得出ADCBDC9
39、0，由相似三角形的性质得出BECADC90，即可得出结论；（3）存在两种情况：当 CDBD 时，证出 CDBDAD ，由勾股定理求出 AB，即可得出结果；当 BDBC 4 时，得出 ADAB BD 2 4 即可【解答】解：（1）ACB90，AC BC，AABC45，由旋转的性质得：ACDBCE，CD CE ，在BCE 和ACD 中， ，BCEACD（SAS），CBEA45；故答案为：45；当 BE2 时，四边形 CDBE 是正方形；理由如下：由得： CBE 45，DBEABC+ CBE90，作 EMBC 于 M，如图所示：则BEM 是等腰直角三角形，BE2 ，BMEM2，CMBCBM 2，BM
40、CMEM，CME 是等腰直角三角形，CEM45，BEC45+45 90 ，又ACB90，四边形 CDBE 是矩形，又EM 垂直平分 BC，BECE，四边形 CDBE 是正方形；故答案为：2 ；（2） CBE A ，理由如下：由旋转的性质得：BCEACD，BC2AC，CE2CD， 2，BCEACD，CBEA；CDAB，ADCBDC90，由得： BCE ACD，BECADC90，又DCE90，四边形 CDBE 是矩形；（3）在点 D 的运动过程中，若 BCD 恰好为等腰三角形，存在两种情况：当 CDBD 时，则DCBDBC，DBC+A90，ACD+DCB90，AACD，CDAD，CDBDAD，AD
41、 AB，AB 2 ，AD ；当 BDBC 4 时，AD ABBD 2 4；综上所述：若BCD 恰好为等腰三角形，此时 AD 的长为 或 2 4【点评】本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定、正方形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形相似是解决问题的关键，注意分类讨论23（11 分）如图，已知平面直角坐标系中，地物线 yax 2+bx+4 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（8，0）（1）求抛物线的解析
42、式；（2）有一动点 D 从点 C 出发，以每秒 个单位的速度在射线 CB 上运动，过点 D 作x 轴的垂线，交抛物线于点 E，交 x 轴于点 F，连接 CE，OD ，设点 D 运动的时间为t（0t4）秒若点 D 在线段 CB 上运动，则当 t2 为何值时，OCD 与CDE 的面积相等？在点 D 的运动过程中，是否存某一时刻，使四边形 DOCE 为平行四边形？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）代入点 A、B 坐标可求出抛物线解析式（2） OCD 与CDE 的面积相等，可推出 OCED，点坐标转换为线段长度，可求出 t 的值四边形 DOCE 为平行四边形，可推出 OC
43、ED，点坐标转换为线段长度，可求出 t 的值【解答】解：（1）A（2，0），B（8，0），则有解得抛物线的解析式为 y x2+ x+4（2） 当OCD 与CDE 的面积相等时，COED，点 C 到 ED 的距离等于点 D 到 CO 的距离，OCED，令 x0，y4，OC4，C （ 0，4），设直线 BC 的解析式为 ykx +b，则有解得直线 BC 的解析式为 y x+4，CD t，D（2t，4t），E（2t，t 2+3t+4），DE| t 2+4t|，0t4，4t 2+4t，解得 t2，故答案为：2存在四边形 DOCE 为平行四边形，DEOC，DEt 2+4t，OC4，4t 2+4t，解得 t2，当 t 的值为 2 时，四边形 DOCE 为平行四边形【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转化为线段长度，平行四边形与二次函数结合的问题关键在于把面积相等和平行四边形转换为 DE 和 OC 相等