1、2019 年河南省南阳市内乡县中考数学二模试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1a，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把 a，a，b，b 按照从小到大的顺序排列（ ）Abaab Babab Cbaab Dbbaa2用科学记数法表示数 0.000301 正确的是（ ）A310 4 B30.110 8 C3.0110 4 D3.0110 53如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ）A B C D4将不等式组 的解集在数轴上表示出来，应是（ ）A BC D5不解方程，判别方程 2x23 x3 的根的情况（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C
2、有一个实数根 D无实数根6如图，ab，点 B 在直线 b 上，且 ABBC，若134，则2 的大小为（ ）A34 B54 C56 D667样本数据 3，a，4，b，8 的平均数是 5，众数是 3，则这组数据的中位数是（ ）A2 B3 C4 D88如图是 12 个大小相同的小正方形，其中 5 个小正方形已涂上阴影，现随机丢一粒豆子在这 12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（ ）A B C D9如图，点 A，B，C 是O 上的三点，若BOC50，则A 的度数是（ ）A25 B20 C80 D10010如图，已知ADE 是ABC 绕点 A 逆时针旋转所得，其中点 D 在射线 AC 上，设旋转角
3、为，直线 BC 与直线 DE 交于点 F，那么下列结论不正确的是（ ）ABAC BDAE CCFD DFDC二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11计算 12分式方程 的解为 13如图，正比例函数 ykx 与反比例函数 y 的图象有一个交点 A（2，m），AB x 轴于点B平移直线 ykx，使其经过点 B，得到直线 l，则直线 l 对应的函数表达式是 14如图，把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，使 OA、OC 分别落在 x 轴、y 轴上，连接OB，将纸片 OABC 沿 OB 折叠，使点 A 落在点 A的位置，若 OB ，tan BOC ，则点A的坐标为 15如图，
4、在 RtABC 中，C90，BC4，BA5，点 D 在边 AC 上的一动点，过点 D 作DEAB 交边 BC 于点 E，过点 B 作 BFBC 交 DE 的延长线于点 F，分别以 DE，EF 为对角线画矩形 CDGE 和矩形 HEBF，则在 D 从 A 到 C 的运动过程中，当矩形 CDGE 和矩形 HEBF 的面积和最小时，则 EF 的长度为 三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值：（x+3y） 2（x +3y）（x 3y ），其中 x3，y217（9 分）为了解本校九年级学生期末数学考试情况，小亮在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为 A（10
5、090 分）、B（8980 分）、C（7960 分）、D（590 分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：（1）这次随机抽取的学生共有多少人？（2）请补全条形统计图；（3）这个学校九年级共有学生 1200 人，若分数为 80 分（含 80 分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？18（9 分）如图，已知 ABAC，BAC 120，在 BC 上取一点 O，以 O 为圆心 OB 为半径作圆，且 O 过 A 点，过 A 作 ADBC 交O 于 D，求证：（1）AC 是O 的切线；（2）四边形 BOAD 是菱形19（9 分
6、）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30，测得大楼顶端 A 的仰角为 45（点 B，C ，E 在同一水平直线上）已知 AB80m， DE10m，求障碍物 B，C 两点间的距离（结果保留根号）20（9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+b 与双曲线 y 相交于 A，B 两点，已知 A（2，5）求：（1）b 和 k 的值；（2）OAB 的面积21（10 分）小明购买 A，B 两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：购买数量（件）次数A B购买总费用（元）第一次 2 1 55第二次 1 3
7、 65根据以上信息解答下列问题：（1）求 A，B 两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共 12 件，且 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 2 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由22（10 分）已知如图 1，在ABC 中，ACB 90，BC AC，点 D 在 AB 上，DE AB 交 BC于 E，点 F 是 AE 的中点（1）写出线段 FD 与线段 FC 的关系并证明；（2）如图 2，将BDE 绕点 B 逆时针旋转 （0 90），其它条件不变，线段 FD 与线段 FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将BDE 绕点 B 逆时针旋转一周，如果 BC4，BE2 ，直接
8、写出线段 BF 的范围23（11 分）已知，抛物线 yax 2+ax+b（a0）与直线 y2x+m 有一个公共点 M（1，0），且ab（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求DMN 的面积与 a 的关系式；（3）a1 时，直线 y2x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、H 关于原点对称，现将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（t0），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的取值范围2019 年河南省南阳市内乡县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，
9、每小题 3 分）1【分析】利用有理数大小的比较方法可得ab，ba，b0a 进而求解【解答】解：观察数轴可知：b0a，且 b 的绝对值大于 a 的绝对值在 b 和a 两个正数中，ab；在 a 和b 两个负数中，绝对值大的反而小，则ba因此，baab故选：C【点评】有理数大小的比较方法：正数大于 0；负数小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小2【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定【解答】解：0.0003013.0110 4 ，故选：C
10、【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中 1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定3【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形【解答】解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形故选：A【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中4【分析】根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据小于等于或大于等于用实心圆点在数轴上表示解答【解答】解：不等式组 的解集为：1x3，故选：A【点评】本题考查的是解一元一此不等式组及在数轴上表示一元一次不等式组
11、的解集，在解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别5【分析】先把方程化为一般式得到 2x23 x30 ，再计算（3 ）242（3）18+24 0，然后根据的意义判断方程根的情况【解答】解：方程整理得 2x23 x30，（3 ） 242（3）18+240，方程有两个不相等的实数根故选：B【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根6【分析】先根据平行线的性质，得出1334，再根据 ABBC，即可得到2903456【解答】解：ab，1334，又ABBC，2903456，故选
12、：C【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等7【分析】先根据平均数为 5 得出 a+b10，由众数是 3 知 a、b 中一个数据为 3、另一个数据为7，再根据中位数的定义求解可得【解答】解：数据 3，a，4，b，8 的平均数是 5，3+a+4+b+825，即 a+b 10，又众数是 3，a、b 中一个数据为 3、另一个数据为 7，则数据从小到大为 3、3、4、7、8，这组数据的中位数为 4，故选：C【点评】此题考查了平均数、众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据
13、中出现次数最多的数8【分析】用涂上阴影的小正方形的个数除以所有小正方形的个数即可求得概率【解答】解：如图所示：12 个大小相同的小正方形，其中 5 个小正方形已涂上阴影，则随机丢一粒豆子在这 12 个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是： 故选：B【点评】此题主要考查了几何概率问题，了解几何概率的求法是解答本题的关键9【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得A BOC25【解答】解：BOC50，A BOC25故选：A【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半10【分析】利用旋转不变性即可解决问题【解答】解：DAE
14、是由BAC 旋转得到，BACDAE，B D，ACBDCF，CFDBAC，故 A，B，C 正确，故选：D【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转不变性解决问题，属于中考常考题型二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11【分析】原式利用乘方的意义，以及零指数幂法则计算即可求出值【解答】解：原式110，故答案为：0【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键12【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2x4x，解得：x4，经检验 x4 是分式方程的解，故答案为：x4【点评】此题
15、考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验13【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出 A 点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案【解答】解：正比例函数 ykx 与反比例函数 y 的图象有一个交点 A（2，m），2m6，解得：m3，故 A（2，3），则 32k，解得：k ，故正比例函数解析式为：y x，ABx 轴于点 B，平移直线 ykx，使其经过点 B，B（2，0），设平移后的解析式为：y x+b，则 03+b，解得：b3，故直线 l 对应的函数表达式是： y x3故答案为：y x3【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出 A，B 点坐标
16、是解题关键14【分析】如图，作辅助线；根据题意首先求出 AB、BC 的长度；借助面积公式求出 AD、OD的长度，即可解决问题【解答】解：如图，过点 A作 AD x 轴与点 D；设 AD ，OD ；四边形 ABCO 为矩形，OABOCB90；四边形 ABAD 为梯形；设 ABOC，BCAO；OB ，tanBOC ， ，解得：2， 1；由题意得：AOAO1；ABOA BO ；由勾股定理得： 2+21，由面积公式得： ；联立并解得： ， 故答案为（ ， ）【点评】该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等几何知识点；对分析问题解决问题的能力
17、提出了较高的要求15【分析】利用勾股定理求得 AC3，设 DCx ，则 AD3x，利用平行线分线段成比例定理求得 CE 进而求得 BE4 ，然后根据 S 阴 S 矩形 CDGE+S 矩形 HEBF 得到 S 阴 x28x+12，根据二次函数的性质即可求得 CD，进而求得 BE 和 BF，然后根据勾股定理求得即可【解答】解：在 RtABC 中，C90，BC4，BA5，AC 3，设 DCx，则 AD3x，DFAB， ，即 ，CEBE4 ，矩形 CDGE 和矩形 HEBF，ADBF，四边形 ABFD 是平行四边形，BFAD 3x，则 S 阴 S 矩形 CDGE+S 矩形 HEBFDC CE+BEBF
18、x x+（3x）（4 x） x28x+12， 0，当 x 时，有最小值，DC ，有最小值，BE4 2，BF3 ，EF ，即矩形 CDGE 和矩形 HEBF 的面积和最小时，则 EF 的长度为故答案为 【点评】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，表示出线段的长度是解题的关键三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：x3，y 2，原式x 2+6xy+9y2（x 2 9y2）6xy+18y 263（2）+18（2） 236+18436【点评】本题整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型17【分析】（1）
19、根据 C 等级的人数和所占的百分比求出这次随机抽取的学生数；（2）用抽取的总人数乘以 B 等级所占的百分比，从而补全统计图；（3）用该校九年级的总人数乘以优秀的人数所占的百分比，即可得出答案【解答】解：（1）这次随机抽取的学生共有：2050%40（人）；（2）B 等级的人数是：4027.5%11 人，如图：（3）根据题意得： 1200480（人），答：这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有 480 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键18【分析】（1）根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出ABC 和C 的度
20、数，求出BAO，求出 OAC90，根据切线的判定求出即可；（2）连接 AE，求出AEB 的度数，根据平行线求出DAO，根据圆内接四边形性质求出D ，根据四边形的内角和定理求出DAO，根据平行四边形的判定得出平行四边形 BOAD，根据菱形的性质求出即可【解答】（1）证明：ABAC，BAC 120，ABCC （180BAC ）30，OAOB ，ABOBAO30，OAC1203090，即 OAAC，OA 为 O 的半径，AC 是O 的切线（2）证明：连接 AE，AOBC+OAC30 +90120，由圆周角定理得：AEB AOB60，D、B、E 、A 四点共圆，D+AEB180，ADB120，ADBC
21、，DAO +BOA 180，DAO 60 ，DBO 360 60120 12060，即DBOA，DBO DAO，四边形 BOAD 是平行四边形，OAOB ，平行四边形 BOAD 是菱形【点评】本题考查的知识点有等腰三角形性质、三角形的内角和定理、切线的判定、平行四边形的判定、平行线性质、菱形的判定、圆周角定理、圆内接四边形，本题主要考查了学生的推理能力，是一道比较好的题目19【分析】过点 D 作 DFAB 于点 F，过点 C 作 CHDF 于点 H，则 DEBFCH10m ，根据直角三角形的性质得出 DF 的长，在 RtCDE 中，利用锐角三角函数的定义得出 CE 的长，根据 BCBE CE
22、即可得出结论【解答】解：过点 D 作 DFAB 于点 F，过点 C 作 CHDF 于点 H则 DEBFCH10m，在 Rt ADF 中，AF ABBF70m ，ADF45，DFAF70m在 Rt CDE 中， DE10m，DCE30，CE 10 （m），BCBECE（7010 ）m答：障碍物 B，C 两点间的距离为（ 7010 ）m 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键20【分析】（1）由直线 yx+b 与双曲线 y 相交于 A，B 两点，A（2，5），即可得到结论；（2）过 A 作 ADy 轴于 D， BEy 轴于 E 根据
23、 yx+3，y ，得到 B（5，2），C（3，0），求出 OC3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：（1）直线 yx+b 与双曲线 y 相交于 A，B 两点，已知 A（2，5），52+b，5 解得：b3，k10（2）如图，过 A 作 ADy 轴于 D，过 B 作 BEy 轴于 E，AD2b3，k10，yx+3，y 由 得： 或 ，B 点坐标为（5，2）BE5设直线 yx+3 与 y 轴交于点 CC 点坐标为（0，3）OC3S AOC OCAD 323，SBOC OCBE 35 S AOB S AOC +SBOC 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形面积的计算，正确
24、的识别图形是解题的关键21【分析】（1）根据表格中数据进而得出等式组成方程组求出答案；（2）利用 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 2 倍，得出商品数量的取值范围，进而求出答案【解答】解：（1）设 A 种商品的单价为 x 元，B 种商品的单价为 y 元，根据题意可得：，解得： ，答：A 种商品的单价为 20 元，B 种商品的单价为 15 元；（2）设第三次购买商品 A 种 a 件，则购买 B 种商品（12a）件，根据题意可得：a2（12a），得：8a12，m20a+15（ 12a）5a+180当 a8 时所花钱数最少，即购买 A 商品 8 件，B 商品 4 件【点评】此题主要考查了二元
25、一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等量关系是解题关键22【分析】（1）结论：FDFC，DFCF理由直角三角形斜边中线定理即可证明；（2）如图 2 中，延长 AC 到 M 使得 CMCA，延长 ED 到 N，使得 DNDE，连接BN、BMEM、AN，延长 ME 交 AN 于 H，交 AB 于 O想办法证明ABNMBE，推出ANEM，再利用三角形中位线定理即可解决问题；（3）分别求出 BF 的最大值、最小值即可解决问题；【解答】解：（1）结论：FDFC，DFCF理由：如图 1 中，ADEACE90，AFFE，DFAFEFCF，FADFDA，FACFCA，DFEFDA+FAD 2FA
26、D，EFC FAC+FCA2FAC ，CACB，ACB90，BAC45，DFCEFD+EFC2（FAD+FAC ）90，DFFC，DFFC（2）结论不变理由：如图 2 中，延长 AC 到 M 使得 CMCA，延长 ED 到 N，使得 DNDE，连接BN、BMEM、AN，延长 ME 交 AN 于 H，交 AB 于 OBCAM，ACCM，BABM，同法 BEBN，ABM EBN90，NBAEBM，ABNMBE，ANEM， BANBME，AFFE，ACCM，CF EM，FCEM ，同法 FD AN，FDAN ，FDFC，BME +BOM90，BOMAOH ，BAN+ AOH90，AHO 90 ，AN
27、MH ，FDFC （3）如图 3 中，当点 E 落在 AB 上时，BF 的长最大，最大值3如图 4 中，当点 E 落在 AB 的延长线上时，BF 的值最小，最小值 综上所述， BF 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题23【分析】（1）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到 b 与 a 的关系，可用 a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点 D 的坐标；（2）把点 M（1，0）代入直线解析式可先求得 m 的值，联立直线与抛物线解析式，消
28、去 y，可得到关于 x 的一元二次方程，可求得另一交点 N 的坐标，根据 ab，判断 a0，确定D、M、N 的位置，画图 1，根据面积和可得 DMN 的面积即可；（3）先根据 a 的值确定抛物线的解析式，画出图 2，先联立方程组可求得当 GH 与抛物线只有一个公共点时，t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点时 t 的取值范围【解答】解：（1）抛物线 yax 2+ax+b 有一个公共点 M（1，0），a+a+b0，即 b2a，yax 2+ax+bax 2+ax2a a（x+ ） 2 ，抛物线顶点 D 的坐标为（ ， ）；（2）直线 y2
29、x +m 经过点 M（1，0），021+m，解得 m2，y2x2，则 ，得 ax2+（a2）x 2a+2 0，（x1）（ax+2a2）0，解得 x1 或 x 2，N 点坐标为（ 2， 6），ab，即 a2a，a0，如图 1，设抛物线对称轴交直线于点 E，抛物线对称轴为 x ，E（ ，3），M（1，0），N（ 2， 6），设DMN 的面积为 S，SS DEN +SDEM |（ 2）1| （3）| ，（3）当 a1 时，抛物线的解析式为：yx 2x +2（x+ ） 2+ ，有 ，x 2x+2 2x，解得：x 12，x 21，G（1，2），点 G、H 关于原点对称，H（1，2），设直线 GH 平移后的解析式为：y2x +t，x 2x+2 2x+t，x2x2+t0，14（t2）0，t ，当点 H 平移后落在抛物线上时，坐标为（ 1，0），把（1，0）代入 y2x +t，t2，当线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是 2t 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识在（1）中由 M 的坐标得到 b 与 a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于 x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得 GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大