1、2019 年江苏省无锡市广勤中学中考数学模拟试卷（4 月）一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1 的倒数是（ ）A B2 C D22下列运算正确的是（ ）A2a 2+a23a 4 B（2a 2） 38a 6Ca 3a2a D（ab） 2a 2b 23如图，已知 ABCD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，EG 平分BEF，若148，则2 的度数是（ ）A64 B65 C66 D674用一个圆心角为 120，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）A1 B2 C3 D65若关于 x 的不等式组 的解集为 x3，则 k 的取值范围为（ ）A
2、k1 Bk1 Ck1 Dk 16一次函数 ykx+b 的图象经过点（0，5）和点 B（4， 0），则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ ）A6 个 B7 个 C8 个 D9 个7如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，DE：CE3：4，连接 AE 交对角线 BD 于点F，则 SDEF ：S ADF ：S ABF 等于（ ）A3：4：7 B9：16：49 C9：21：49 D3：7：498已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a10 有两根为 x1 和 x2，且 x12x 1x20，则 a 的值是（ ）Aa1 Ba1 或 a2 Ca2 Da1 或
3、 a29在平面直角坐标系中，已知点 P（2，1）、A（1，3），点 A 关于点 P 的对称点为 B，在坐标轴上找一点 C，使得ABC 为直角三角形，这样的点 C 共有（ ）个A5 B6 C7 D810如图，在等边ABC 中，AB10，BD 4，BE 2，点 P 从点 E 出发沿 EA 方向运动，连接PD，以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边DPF，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是（ ）A8 B10 C3 D5二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）11分解因式：3x 23y 2 12一个正数 a 的平方根分别是 2m1 和3m + ，则这个
4、正数 a 为 13如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC6，BD8，E 为 AD 中点，点 P在 x 轴上移动，请你写出所有使POE 为等腰三角形的 P 点坐标 14已知直线 y12x 1 和 y2x1 的图象如图所示，根据图象填空当 x 时，y 1y 2；当 x 时，y 1y 2；方程组 的解是 15如图，点 E 是ABCD 的边 BA 延长线上的一点，联结 CE 交 AD 于 F，交对角线 BD 于 G，若DF2AF，那么 EF：FG：GC 16如图，在 RtABC 中，BAC90，AB3，AC4，D 是 BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折，点 B 落在点
5、E 处，连接 CE，则 CE 的长为 17如图，在 RtABC 中，ACB90，将ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到ABC ，M 是 BC的中点，N 是 AB的中点，连接 MN，若 BC4，ABC60，则线段 MN 的最大值为 18AB 为半圆 O 的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点 P 在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点 Q若 AB6，则线段 BQ 的长为 三解答题（共 10 小题，共 66 分）19（1）解方程： （2）化简： 20如图，在等腰ABC 中，ABAC ，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，DFAB 于点 F，EG AC 于
6、点 G，M 是 BC 的中点，连接 MD，ME，MF，MG 证明：（1）四边形 AFMG 为菱形；（2）DM EM21如图 1、图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点（1）在图 1 中画出等腰直角三角形 MON，使点 N 在格点上，且MON90；（2）在图 2 中以格点为顶点画出一个正方形 ABCD，使正方形 ABCD 面积等于（1）中等腰直角三角形 MON 面积的 4 倍，并将正方形 ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角和一个正方形，且正方形 ABCD 面积没有剩余（画出一种即可）22车辆经过润扬大桥收费站时，4
7、 个收费通道 A、B、C、D 中，可随机选择其中一个通过（1）一辆车经过此收费站时，选择 A 通道通过的概率是 （2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率23已知边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 在射线 BC 上，且 BE2CE，连结 AE 交射线 DC 于点F，将 ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 B1 处（1）如图 1，若点 E 在线段 BC 上，求 CF 的长；（2）求 sinDAB 1 的值24某地质公园为了方便游客，计划修建一条栈道 BC 连接两条进入观景台 OA 的栈道 AC 和 OB，其中 ACBC，同时为减少对地质地貌的破坏，设立一
8、个圆形保护区 M（如图所示），M 是OA 上一点，M 与 BC 相切，观景台的两端 A、O 到M 上任意一点的距离均不小于 80 米经测量，OA60 米，OB 170 米，tanOBC （1）求栈道 BC 的长度； （2）当点 M 位于何处时，可以使该圆形保护区的面积最大？25已知点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，线段 OB 的长是方程 x22x80 的解，tan BAO （1）求点 A 的坐标；（2）点 E 在 y 轴负半轴上，直线 ECAB，交线段 AB 于点 C，交 x 轴于点 D，S DOE 16若反比例函数 y 的图象经过点 C，求 k 的值；（3）在（2）条件
9、下，点 M 是 DO 中点，点 N，P，Q 在直线 BD 或 y 轴上，是否存在点 P，使四边形 MNPQ 是矩形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由26已知如图 1，RtABC 中，BCA90，A30，BC2cm，射线 CK 平分BCA，点 O从 C 出发，以 cm/秒的速度沿射线 CK 运动，在运动过程中，过 O 作 ODAC ，交 AC 边于D，当 D 到 A 时，点 O 停止运动，以 O 为圆心，OD 为半径画圆 O（1）经过 秒，O 过点 A，经过 秒O 与 AB 边相切；（2）求经过几秒钟，点 O 运动到 AB 边上；（3）如图 2，当O 在 RtABC 内部时
10、，在 O 出发的同一时刻，若有一点 P 从 B 出发，沿线段 BC 以 0.5cm/秒的速度向点 C 运动，过 P 作 PQAB，交 CD 于 Q，问经过几秒时，线段 PQ与 O 相切？27问题：如图（1），点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF45，试判断BE、 EF、FD 之间的数量关系【发现证明】小聪把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EFBE+FD ，请你利用图（1）证明上述结论【类比引申】如图（2），四边形 ABCD 中，BAD90，ABAD ，B+D180，点E、F 分别在边 BC、CD 上，则当EAF 与BAD 满足 关系时，仍有 E
11、FBE+FD【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD已知ABAD 80 米，B60，ADC120，BAD150，道路 BC、CD 上分别有景点E、F，EAF75且 AEAD，DF 40（ 1）米，现要在 E、F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF 的长（结果取整数，参考数据： 1.41， 1.73）28如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx4k+4 与抛物线 y x2x 交于 A、B 两点（1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；（2）点 P 在抛物线上，当 k 时，解决下列问题：在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使得PAB 的面积等于 20；连接
12、 OA，OB，OP，作 PCx 轴于点 C，若POC 和 ABO 相似，请直接写出点 P 的坐标2019 年江苏省无锡市广勤中学中考数学模拟试卷（4 月）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，直接解答即可【解答】解： （2）1， 的倒数是2，故选：D【点评】本题主要考查倒数的定义，解决此类题目时，只要找到一个数与这个数的积为 1，那么此数就是这个数的倒数，特别要注意：正数的倒数也一定是正数，负数的倒数也一定是负数2【分析】根据合并同类项，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法，完全平方公式，可得答案【解答】解：A、
13、系数相加字母及指数不变，故 A 不符合题意；B、积的乘方等于乘方的积，故 B 不符合题意；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 C 符合题意；D、（ab） 2a 22ab+b 2，故 D 不符合题意；故选：C【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键3【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义求解【解答】解：ABCD，BEF 180118048132，EG 平分BEF，BEG132266，2BEG66故选：C【点评】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义4【分析】易得扇形的弧长，除以 2即为圆锥的底面半径【解答】解
14、：扇形的弧长 4，圆锥的底面半径为 422故选：B【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长5【分析】不等式整理后，由已知解集确定出 k 的范围即可【解答】解：不等式整理得： ，由不等式组的解集为 x3，得到 k 的范围是 k1，故选：C【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键6【分析】把点（0，5）和点（4，0）代入一次函数 ykx +b 求出 k 与 b 的值，再根据一次函数与坐标轴的交点即可求解【解答】解：把点（0，5）和点（4，0）代入一次函数 ykx +b，解得 k ，b5，ykx+b x+5，横坐标和纵坐标都是正整
15、数的点是：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）故选：A【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，难度不大，关键是利用一次函数解析式正确解题7【分析】根据平行四边形的性质得到 ABCD，ABCD，根据已知条件得到 DE：CD3：7，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB CD ，DE：CE3：4，DE：CD3：7，DE：AB3：7，ABCD，DEFBAF， ，S DEF ：S ADF ：3：7， SDEF ：S ABF （ ） 2 ，S DEF ：S ADF ：S ABF 等于 9：21：49，故选：
16、C【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键8【分析】根据 x12x 1x2 0 可以求得 x10 或者 x1x 2，所以把 x10 代入原方程可以求得a1； 利用根的判别式等于 0 来求 a 的值【解答】解：解 x12x 1x20 ，得x10，或 x1x 2，把 x10 代入已知方程，得a10，解得：a1；当 x1x 2 时，44（a1）0，即 84a0，解得：a2综上所述，a1 或 a2故选：D【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于 0 来求 a 的另一值9【分析】首
17、先画出坐标系，然后再确定 A、B、P 的位置，以 P 为圆心，AB 为直径画圆，与坐标轴有 3 个交点，再以 B 为直角顶点 AB 为直角边，可确定 2 个 C 点位置，再以 A 为直角顶点，AB 为直角边，可确定 2 个 C 点位置，共确定 7 个 C 的位置【解答】解：如图所示：，故选：C【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是要分情况讨论，分别以 A、B 为直角顶点，再以 AB 为直径画圆可得 C 的位置10【分析】连结 DE，作 FHBC 于 H，如图，根据等边三角形的性质得 B60，过 D 点作DE AB，则 BE BD2，则点 E与点 E 重合，所以BDE30，DE BE2
18、，接着证明DPE FDH 得到 FHDE2 ，于是可判断点 F 运动的路径为一条线段，此线段到 BC 的距离为 2 ，当点 P 在 E 点时，作等边三角形 DEF1，则DF1BC ，当点 P 在 A 点时，作等边三角形 DAF2，作 F2QBC 于 Q，则DF 2QADE，所以 DQAE 8 ，所以 F1F2DQ8，于是得到当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长为 8【解答】解：连结 DE，作 FHBC 于 H，如图，ABC 为等边三角形，B60，过 D 点作 DEAB ，则 BE BD2，点 E与点 E 重合，BDE30，DE BE2 ，DPF 为等边三角形，PDF60，
19、DP DF，EDP+HDF90HDF +DFH90，EDPDFH，在DPE 和FDH 中，DPEFDH，FHDE 2 ，点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径为一条线段，此线段到 BC 的距离为 2 ，当点 P 在 E 点时，作等边三角形 DEF1，BDF 130+6090，则 DF1BC ，当点 P 在 A 点时，作等边三角形 DAF2，作 F2QBC 于 Q，则DF 2QADE，所以DQAE1028，F 1F2DQ8，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长为 8故选：A【点评】本题考查了轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律
20、也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）11【分析】原式提取 3，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式3（x 2y 2）3（x +y）（xy），故答案为：3（x+y ）（x y）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12【分析】直接利用平方根的定义得出 2m1+ （3m+ ）0，进而求出 m 的值，即可得出答案【解答】解：根据题意，得：2m 1+ （3m + ）0，解得：m ，正数 a（2 1） 24，故答案为：4【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键13【分
21、析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出 OA、OD ，再利用勾股定理列式求出 AD，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 OE，然后分OEOP 时，求出点 P 的坐标，OEPE 时点 P 和点 D 重合，OP OE 时，点 P 在 OE 的垂直平分线上，求出 OP 的长度，然后写出点 P 的坐标即可【解答】解：在菱形 ABCD 中对角线 AC6，BD 8，OA3，OD4，AD 5，E 为 AD 中点，OE AD 52.5，OEOP 时，OP2.5，点 P 的坐标为（2.5，0）或（2.5，0），OEPE 时点 P 和点 D 重合，P（4，0），OPPE 时，点 P 在 OE 的垂直平
22、分线，OP （ 5） ，点 P（ ，0），综上所述，点 P 的坐标为（2.5，0）或（2.5，0）或（4，0）或（ ，0）故答案为：（2.5，0）或（2.5，0）或（4，0）或（ ，0）【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论14【分析】根据直线 y12x1 和 y2x1 的图象即可直接得出答案【解答】解：由图象可知当 x0 时，两直线相交，所以当 x0 时，y 1y 2；当 x0 时，y 1y 2；方程组 的解是 ，故答案为：x0，x 0， 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键是正确根据图象进行求解
23、15【分析】设 AFx ，则 DF2x，由四边形 ABCD 是平行四边形得BCADAF +DF3x ，AD BC，证DFGGBC、AEFDFC，从而得出答案【解答】解：设 AFx ，则 DF2x，ABCD，EBCD，ADBC，AD BCAF+DF3xAEF DCF，DFGGBC， ， ，EF：FG ：GC5：4：6，故答案为：5：4：6【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键16【分析】连接 BE 交 AD 于 O，作 AHBC 于 H首先证明 AD 垂直平分线段 BE，BCE 是直角三角形，求出 BC、BE，在 RtBCE 中，
24、利用勾股定理即可解决问题【解答】解：如图所示：连接 BE 交 AD 于 O，作 AHBC 于 H在 Rt ABC 中，AC4，AB3，BC 5，CDDB，ADDCDB ， BCAH ABAC，AH ，AEAB，点 A 在 BE 的垂直平分线上，DEDB DC，点 D 在 BE 使得垂直平分线上，BCE 是直角三角形，AD 垂直平分线段 BE， ADBO BDAH，OB ，BE2OB ，在 Rt BCE 中，CE ；故答案为： 【点评】本题考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型17【分析】连接 CN根据直角三角形斜边中线的性质
25、求出 CN AB4，利用三角形的三边关系即可解决问题【解答】解：连接 CN在 Rt ABC 中，ACB 90，BC4B60，A30，ABAB 2BC8，NBNA，CN AB 4，CMBM2，MNCN+CM6，MN 的最大值为 6，故答案为 6【点评】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型18【分析】连接 AQ，BQ，根据圆周角定理可得出QABP45，AQB90，故ABQ 是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论【解答】解：连接 AQ，BQ，P45，QABP45，AQB90，ABQ 是等腰直角三角形AB6，2
26、BQ 236，BQ3 故答案为：3【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键三解答题（共 10 小题）19【分析】（1）两边都乘以（x+2）（x2），化分式方程为整式方程，解之求得 x 的值，再检验即可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得【解答】解：（1）两边都乘以（x+2）（x2），得：x（x+2）+6（x2）（x+2）（x2），解得：x1，检验：x1 时，（x +2）（x 2）30，所以方程的解为 x1；（2）原式（ ） 【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论20【分
27、析】（1）由 M 是 BC 的中点，得到 BMCM，根据等腰直角三角形的性质得到AF BF，AGCG，根据三角形的中位线的性质得到 FM ABAF，GM ACAG，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到 AMBC，推出四边形 ADBM 四点共圆，得到AMDABD45 于是得到结论【解答】解：（1）M 是 BC 的中点，BMCM，ADB 与ACE 是等腰直角三角形，DF AB 于点 F， EGAC 于点 G，AFBF，AGCG，FM ABAF ，GM ACAG，AFFMGMAG，四边形 AFMG 是菱形；（2）连接 AM，AB AC，BMCM，AMBC，AMB AMC90，ADB90，点
28、A，D，B，M 四点共圆，AMDABD45AM 是对称轴，AME AMD45，DME90，MD ME【点评】本题考查了菱形的判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键21【分析】（1）过点 O 向线段 OM 作垂线，此直线与格点的交点为 N，连接 MN 即可；（2）根据勾股定理画出图形即可【解答】解：（1）如图 1 所示：MON 90；（2）如图 2、3 所示；【点评】本题考查的是作图应用与设计作图，熟知勾股定理是解答此题的关键22【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论【解答】解：（1）选择 A 通道通过的概率 ，故答案为： ；（2）
29、设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有 16 种可能的结果，其中选择不同通道通过的有 12 种结果，选择不同通道通过的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键23【分析】（1）利用平行线性质以及线段比求出 CF 的值；（2）根据平行线分线段成比例定理得到 ，根据勾股定理和三角函数的定义即可得到结论【解答】解：（1）ABDF， ，BE2CE，AB3， ，CF ；（2）若点 E 在边 BC 上，延长 AB1 交 DC 于 H，BAEB 1AEDFE，AHFH ，AE ， ，设 DHx，CH3x ，CF1，5，AHFH x ，AD 2+DH2AH
30、2，3 2+x2（ x） 2，x ，DH ，AH ，sinDAB 1 ；若点 E 在边 BC 的延长线上，如图，设直线 AB1 与 CD 延长线相交于点 N同理可得：ANNFBE2CE，BCCEADADBE， ，DFFC ，设 DNx，则 ANNFx + 在 Rt ADN 中， AD2+DN2AN 2，3 2+x2（x+ ） 2，x DN ，AN ，sinDAB 1 【点评】本题考查正方形的性质，线段比以及勾股定理等相关知识的综合运用，注意两种情况的分析探讨24【分析】（1）过 C 点作 CEOB 于 E，过 A 作 AFCE 于 F，设出 AF，然后通过解直角三角形求得 CE，进一步得到 B
31、E，然后由勾股定理得出答案；（2）设 BC 与M 相切于 Q，延长 QM 交直线 BO 于 P，设 OMx ，把 PB、PQ 用含有 x 的代数式不是，再结合观景台的两端 A、O 到M 上任意一点的距离均不小于 80 米列式求得 x 的范围，得到 x 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大【解答】解：（1）如图 1，过 C 点作 CEOB 于 E，过 A 作 AFCE 于 F，ACB90BEC90，ACFCBE，tanACF tanOBC ，设 AF4x，则 CF3x，AOEAFEOEF 90，OEAF4x，EFOA 60，CE3x+60，tanOBC BE CE x+45，OBOE
32、+BE4x + x+45，4x+ x+45170，解得：x20，CE120（米），BE90（米），BC 150（米）（2）如图 2，设 BC 与M 相切于 Q，延长 QM 交直线 BO 于 P，POMPQB90，PMOCBO，tanOBC tanPMO 设 OM x，则 OP x，PM x，PB x+170，在 RTPQB 中， tanPBQ ，PQ （ x+170） x+136，设 M 的半径为 R，RMQ x+136 x 136 x，A、O 到 M 上任意一点的距离均不小于 80 米，RAM80，ROM80，136 x（60x ）80 ，136 xx 80，解得：10x35，当且仅当 x1
33、0 时 R 取最大值，OM 10 米时，保护区的面积最大【点评】本题考查了圆的切线，考查了直线和圆的位置关系，解题的关键在于对题意的理解25【分析】（1）解方程求出 OB 的长，解直角三角形求出 OA 即可解决问题；（2）求出直线 DE、AB 的解析式，构建方程组求出点 C 坐标即可；（3）分四种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）线段 OB 的长是方程 x22x80 的解，OB4，在 Rt AOB 中，tan BAO ，OA8，A（8，0）（2）ECAB，ACDAOBDOE 90，OAB+ADC90，DEO+ODE 90，ADCODE，OABDEO，AOBEOD， ，OE：OD OA
34、 ：OB 2，设 ODm，则 OE2m， m2m16，m4 或4（舍弃），D（4，0），E（0，8 ），直线 DE 的解析式为 y2x8，A（8，0），B（0，4），直线 AB 的解析式为 y x+4，由 ，解得 ，C（ ， ），若反比例函数 y 的图象经过点 C，k （3）如图 1 中，当四边形 MNPQ 是矩形时，ODOB4，OBD ODB45，PNBONM45，OM DM ON2，BN2，PB PN ，P（1，3）如图 2 中，当四边形 MNPQ 是矩形时（点 N 与原点重合），易证DMQ 是等腰直角三角形，OPMQDM2，P（0，2）；如图 3 中，当四边形 MNPQ 是矩形时，设 P
35、M 交 BD 于 R，易知 R（1，3），可得 P（0，6）如图 4 中，当四边形 MNPQ 是矩形时，设 PM 交 y 轴于 R，易知 PRMR，可得 P（2，6）综上所述，满足条件的点 P 坐标为（1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）；【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题26【分析】（1）根据题意画出图形，证明COD 是等腰直角三角形，求出 CO 的长度，再除以运动速度即可；根据题意画出图形，证明四边形 HCDO 是正方形，设O 半径为 r
36、，根据切线长定理列出关于 r 的等量关系，即可求出 r 的值，进一步坟出 CO 的长度及运动时间；（2）根据题意画出图形，在等腰 RtOCD 及直角三角形 ODQ 中通过三角函数即可求出 OC 的长度，然后求出运动时间；（3）设运动时间为 t，将线段 BP，CP ，DQ，QP 等线段分别用含 t 的代数式表示，再通过三角函数及切线长定理构造等量关系，即可求出 t 的值【解答】解：（1）如图 1，BCA90，射线 CK 平分BCA ，OCD45，又ODAC，COD 是等腰直角三角形，OC AC，在 Rt ABC 中，A30，BC2，AB 4，AC2 ，OC AC2 2 ，经过 2 秒， O 过点
37、 A；如图 2，当O 与 AB 边相切于点 N 时，过点 O 作 OHBC 于点 H，OK 是BCA 的平分线，OD AC，OHOD，BC，AC 均与O 相切，OHCHCDCDO90，四边形 HCDO 是矩形，又OHOD，矩形 HCDO 是正方形，设 OHHCCDODr，BHBN2r，ADAN2 r，（2r）+（ 2 r）4，解得，r 1，OC r，经过（ 1）秒 O 与 AB 边相切；（2）如图 3，当点 O 运动到 AB 边上时，由（1）知，COD 是等腰直角三角形，ODCDr，在 Rt ODA 中，A30，AD OD r，r+ r2 ，r3 ，CO r，经过（3 ）秒，点 O 运动到 A
38、B 边上；（3）如图 4，设点 O 运动时间为 t 秒时，线段 PQ 与O 相切，则 BP t，CO t，HC CDt ，PQ，PC，CQ 都是O 的切线，PHPN2 t，在 Rt PCQ 中，PQCA30，QC PC （2 t）2 t，QNQD2 tt，PQPN+ NQ2 +2 t t，PQ2PC，2 +2 t t2（2 t）解得，t经过 秒时，线段 PQ 与 O 相切【点评】本题考查了锐角三角函数，切线长定理等，解题的关键是能够根据题意画出图形27【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到ADGABE，则 GFBE+DF，只要再证明AFG AFE 即可【类比引申】延长 CB 至 M，使 B
39、MDF，连接 AM，证 ADFABM，证FAEMAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到ABE 是等边三角形，则 BEAB80 米把ABE 绕点 A 逆时针旋转 150至ADG，只要再证明GAFFAE 即可得出 EFBE +FD【解答】解：【发现证明】如图（1），ADG ABE，AGAE，DAGBAE，DGBE，又EAF 45，即DAF+BEAEAF45，GAFFAE，在GAF 和FAE 中，AGAE，GAFFAE，AFAF，AFGAFE（SAS）GFEF又DGBE，GFBE+DF，BE+DFEF 【类比引申】BAD2EAF理由如下：如图（2），延长 CB 至 M，使 B
40、MDF，连接 AM，ABC+ D180，ABC +ABM 180，DABM，在ABM 和 ADF 中， ，ABM ADF（SAS），AFAM，DAF BAM，BAD2EAF，DAF+BAEEAF ，EAB +BAMEAMEAF，在FAE 和MAE 中， ，FAE MAE（SAS ），EFEMBE+BM BE +DF，即 EFBE+DF故答案是：BAD2EAF【探究应用】如图 3，把ABE 绕点 A 逆时针旋转 150至ADG，连接 AFBAD150，DAE 90，BAE 60又B60，ABE 是等边三角形，BEAB80 米根据旋转的性质得到：ADGB60，又ADF120，GDF 180 ，即点 G 在 CD 的延长线上易得，ADG ABE，AGAE，DAGBAE，DGBE，又EAGBAD 150，FAE75GAFFAE，