1、2019 年福建省宁德市福安市初中生综合文化素质竞赛数学试卷一、精心选一选，慧眼识珠（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分；每小题只有一个正确的选项）1如图是甲，乙，丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处） ，则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A BC D2下列计算正确的是（ ）A6a5a1 B （a 2） 3a 5 Ca 6a3a 2 Da 2a3a 53已知一次函数 ykx+b，y 随着 x 的增大而减小，且 kb0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）A BC D4某班学生分组搞活动，若每组 7 人，则余下 4 人；若每组 8 人，则有一组少 3 人设全班有学生 x 人
2、，分成 y 个小组，则可得方程组（ ）A BC D5直线 l1：y k1x+b 与直线 l2：yk 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图，则关于 x 的不等式 k2xk 1x+b 的解集为（ ）Ax1 Bx1 Cx3 Dx 36若一个图形绕着一个定点旋转一个角 （0 180 ）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形例如：等边三角形绕着它的中心旋转 120（如图） ，能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形下面四个图形中，旋转对称图形个数有（ ）A1 B2 C3 D47如图，在ABC 中，C90
3、，B22.5，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 于 E，若 CE3，则 BE的长是（ ）A3 B6 C2 D38正三角形 ABC 所在平面内有一点 P，使得PAB、PBC、PCA 都是等腰三角形，则这样的 P 点有（ ）A1 个 B4 个 C7 个 D10 个二、细心填一填，点石成金（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点 A 处，则点 A 表示的数是 10分解因式：3ax 2+6axy+3ay2 11已知：一次函数 yx +8 与两坐标轴分别
4、交于 A、B 点，P 为线段 AB 上的任意一点，过 P 点作 PEOA 于点 E，作 PF OB 于 F 点，当长方形 PEOF 的面积最大时，P 点坐标为 12如图三角板 ABC 中，BAC 90，B60，把ABC 绕点 A 逆时针旋转 30得到ADE ，连接 CE，则CED 13对于实数 x，定义 x表示不大于 x 的最大整数，如1.51，5 5，3.34，若 3，则 x 的取值范围是 14在AOB 中，AOB 90，OA3，OB4，将AOB 沿 x 轴依次以点 A、B、O 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图 、图、，则旋转得到的图 的直角顶点的坐标为 三、用心解一解，马到成功（共 3 小
5、题，满分 38 分）15计算： （ ） 1 + 16一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A（4，0）和点 B（0，3） （1）确定此一次函数的解析式；（2）求坐标原点 O 到直线 AB 的距离；（3）点 P 是线段 AB 上的一个动点，过点 P 作 PD 垂直于 x 轴于 D，作 PE 垂直于 y 轴于 E，记 LPD+PE，问 L 是否存在最大值和最小值？若存在，求出此时 P 点到原点 O 的距离，若不存在请说明理由17如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB110，BOC将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC，连接 OD（1）求证：COD 是等边三角形；（2）当 15
6、0时，试判断 AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当 为多少度时， AOD 是等腰三角形？参考答案一、精心选一选，慧眼识珠（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分；每小题只有一个正确的选项）1 【解答】解：根据图示可知甲的体重大于 50 小于 60，所以在数轴上表示为故选：C2 【解答】解：A、应为 6a5aa，故本选项错误；B、应为（a 2） 3a 6，故本选项错误；C、应为 a6a3a 63 a 3，故本选项错误；D、a 2a3a 5，正确故选：D3 【解答】解：一次函数 ykx+b，y 随着 x 的增大而减小k0又kb0b0此一次函数图象过第一，二，四象限故选：A4 【解答】解
7、：根据若每组 7 人，则余下 4 人，得方程 7yx4；根据若每组 8 人，则有一组少 3 人，得方程 8yx+3可列方程组为 故选：C5 【解答】解：当 x1 时，k 2xk 1x+b故选：A6 【解答】解：图 1 绕中心旋转 60后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形；图 2 中，无论怎么样旋转都无法重合，除非旋转 360 度，但超出条件范围，故图 2 不是旋转对称图形；图 3 绕中心旋转 120后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形；图 4 绕中心旋转 72后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形故选：C7 【解答】解：已知C90 ，B22.5，DE 垂
8、直平分 AB故BEAB22.5，所以AEC45又C90，ACE 为等腰三角形所以 CEAC3，故可得 AE3 故选：D8 【解答】解：（1）点 P 在三角形内部时，点 P 是边 AB、BC、CA 的垂直平分线的交点，是三角形的外心；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的每条垂直平分线上得 3 个交点，再加三角形的垂心，一共 10 个故选：D二、细心填一填，点石成金（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9 【解答】解：对角线的长： ，根据旋转前后线段的长分别相等，A 点表示的数对角线的长10 【解答】解：3ax 2+6axy+3ay23a（x 2+
9、2xy+y2）3a（x+y） 2故答案为：3a（x+y ） 211 【解答】解：设点 P 的坐标为（x，x +8） ，长方形 PEOF 的面积为 x（ x+8）x 2+8x（x4 ） 2+16，0x8，当 x4 时，长方形 PEOF 的面积取得最大值，点 P 坐标为（4，4） 故答案为：（4，4） 12 【解答】解：把ABC 绕点 A 逆时针旋转 30得到ADE，由题意可得：AEAC，EAC 30，AED 30，AECACE75，CEDAECAED45故答案为：4513 【解答】解： 3，x 的取值范围是 3 4，解得：3x5故答案为：3x514 【解答】解：AOB90，OA3，OB 4，AB
10、 5，旋转得到图的直角顶点的坐标为（12，0） ；根据图形，每 3 个图形为一个循环组，3+5+412，因为 201536712所以， 的直角顶点在 x 轴上，横坐标为 67112+3+58064，所以，图 的顶点坐标为（8064，0） ，故答案是：（8064，0） 三、用心解一解，马到成功（共 3 小题，满分 38 分）15 【解答】解：原式 430+3230+3216 【解答】解：（1）设一次函数表达式为 ykx+b，经过 A（4，0） 、B（0，3）代入得 ，解得 一次函数解析式为 y x+3（2）设坐标原点 O 到直线 AB 的距离为 d，在 Rt ABO 中，OA4，OB3根据勾股定
11、理得 AB 5，S ABO AOBO ABd即 435d，d ，原点 O 到直线 AB 的距离为 （3）过点 P 作 PDx 轴于 D，作 PEy 轴于 E，设 P（x，y） ，P 点在线段 AB 上，y x+3，其中 4x 0 ，LPD +PE x +yx+ x+3 x+3， 0，L 随 x 的增大而减小当 x4 时，L 最大 4，此时 P 点坐标为（4，0） ，P 点到原点 O 的距离为PO4，当 x0 时，L 最小 3，此时 P 点与 B 点重合，P 点到原点 O 的距离为 BO317 【解答】 （1）证明：将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC，COCD ，OCD 60，C
12、OD 是等边三角形（2）解：当 150时， AOD 是直角三角形理由是：将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC，BOCADC，ADCBOC150，又COD 是等边三角形，ODC60，ADO ADC ODC90，150AOB 110，COD60，AOD 360 AOBCOD 3601501106040，AOD 不是等腰直角三角形，即AOD 是直角三角形（3）解： 要使 AOAD，需AODADO ，AOD 360 11060 190 ，ADO60，19060，125；要使 OAOD ，需OADADOOAD 180 （AOD+ADO）180（190+ 60）50，6050，110；要使 ODAD，需OADAODAOD 360 11060 190 ，OAD 120 ，190120 ，解得 140综上所述：当 的度数为 125或 110或 140时，AOD 是等腰三角形