1、张家口市、沧州市 2019 届高三 3 月模拟联考数学试卷（理科） （A 卷）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 Ax| x ，Bx|1 2，则（ RA）B（ ）1212x（ ）A x| x0 B x| x0 Cx| 1x D x|1x 2 22【答案】B【解析】 ，所以，对于集合 B，有： ，12x（ ） 012x所以，B x|1x 0，又 ；所以， （ RA）Bx| x0 ，故选：B22复数 z ，则| z|（ ）A B 5 C D【答案】A【解析】z 2+i，则|z| ，故选：A3随着时代的发展，移动通
2、讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害， “低头族” 由此而来为了了解某群体中“低头族” 的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1500 人中采用分层抽样的方法抽取 50 人进行调查，已知这 50 人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为（ ）A490 B390 C1110 D410【答案】B【解析】由图可知这 50 人里老、中、青三个年龄段的分配比例为 26%：34% ：40%，则这个群体里老年人人数为 26%1500390，故选：B4已知直线 a，b 和平面
3、 ，a ，则 b是 b 与 a 异面的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当 b，则 a 与 b 可能相交，即 b 与 a 异面不一定成立，即充分性不成立，若 b 与 a 异面，则 b成立，即必要性成立，即 b是 b 与 a 异面的必要不充分条件，故选：B5若变量 x，y 满足 ，则使 zx +2y 取得最小值的最优解为（ ）A （3，1） B （ ） C （2，1） D （ ）【答案】C【解析】作出变量 x，y 满足 对应的平面区域如图：由 zx +2y 得 y x+ ，平移直线 y x+ 由图象可知当直线 y x+ 经过点 A 时，直线 y x
4、+ 的截距最小，此时 z 最小，由 ，解得 A（2，1） ，则 zx +2y 取得最小值的最优解为（2，1） ，故选：C6在ABC 中，O 为ABC 的重心，若 + ，则 2（ ）A B 1 C D【答案】D【解析】设 AC 的中点为 D，因为 O 为ABC 的重心，所以 + ，所以 ， ，所以 2 ，故选：D7已知函数 f（x ）2sin（ ）cos（ ） （0） ，且满足 f（x+ ）f（x） ，把f（x）的图象上各点向左平移 个单位长度得到函数 g（x） ，则 g（x）的一条对称轴为（ ）Ax0 B x Cx Dx【答案】D【解析】由 f（x + ）f（x） ，得 f（x+）f （x+
5、）f（x） ，即函数的周期是 ，且函数关于（ ，0）对称，f（x）2sin（ ）cos（ ）sin（2x ） ，T ，即 1，则 f（x）sin（2x ） ，将 f（x）的图象上各点向左平移 个单位长度得到函数 g（x） ，即 g（x）sin2（x + ） sin2x ，由 2xk+ ，kZ，即 x + ，当 k1 时，对称轴为 x + ，故选：D8已知函数 f（x ）（ ） |x|x ，且满足 f（2a1）f（3） ，则 a 的取值范围为（ ）Aa1 或 a2 B1a2 Ca2 Da2【答案】B【解析】f（x）（ ） |x|x （ ） |x| ，则 f（x）f（x） ，即函数 f（x）是偶函
6、数，当 x0时，f（x）（ ） xx 为减函数，则不等式 f（2a1）f（3） ，等价为 f（|2 a1|）f （3） ，即|2 a 1|3，得32a13，得1a2，故选：B9已知点 F（c ，0）为双曲线 1（a0，b0）的左焦点，圆 O：x 2+y2c 2 与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于 A，B 两点若 AFOB，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【答案】C【解析】点 F（c ，0）为双曲线 1（a0，b0）的左焦点，圆 O：x 2+y2c 2 与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于 A，B 两点若 AFOB，如图：可得渐近线的倾斜角为60或 120，可得 ，b 23
7、a 2，所以 c24a 2，可得 e 2故选：C10中国最早的天文学和数学著作周髀算经里提到了七衡，即七个等距的同心圆七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，设内一衡直径为 a1，衡间距为 ，则次二衡直径为 a2a 1+d，次三衡直径为 a1+2d，执行如图程序框图，则输出的 Ti 中最大的一个数为（ ）AT 1 BT 2 CT 3 DT 4【答案】D【解析】模拟程序的运行，可得i1 时，T 1a 1a7a 1（a 1+6d）a 12+6da1，i2 时，T 2a 2a6（a 1+d） （a 1+5d）a 12+6da1+5d2，i3 时，T 3a 3
8、a5（a 1+2d） （a 1+4d）a 12+6da1+8d2，i4 时，T 4a 4a4（a 1+3d） 2a 12+6da1+9d2，可得：T 4T 3T 2T 1故选：D11在锐角三角形 ABC 中，cos （A+ ） ，AB7，AC2 ，则 （ ）A40 B40 C34 D34【解析】由 cos（A+ ） 得：cos Acos sinAsin ，得 cosA sinA ，两边平方得： cos2A sin2A sinA+ ，整理得 sin2A sinA+ 0，解得 sinA 或 sinA （舍去） ，又 A 为锐角，cosA ，BC 2AB 2+AC22AB ACcosA7 2+（2
9、） 22 43，BC ，cosB ， ABBCcos （B）7 （ ） 40故选：A12某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A8 B 9 C D 【答案】C【解析】作出该棱锥的实物图如下图所示，该几何体为三棱锥 PABC，且ABC 为等腰直角三角形，腰长为 BC2，如下图所示，过点 P 作 PD 平面 ABC，则 ADCD，以点 D 为坐标原点，DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyx，则点 A（1，0，0） 、B（2，1，0） 、C（0，1，0 ） 、P（0，0，2） ，设球心的坐标为（x，y ，z） ，则 ，解得 ，所以，该棱锥
10、的外接球的半径为 ，因此，该棱锥的外接球的表面积为 故选：C二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有 3 次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投 3 次为止，每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为 p，若该同学本次测试合格的概率为 0.784，则 p 0.4 【解析】每位同学有 3 次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投 3 次为止，每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为 p，该同学本次测试合格的概率为 0.784，p+（1p）p+ （1p） 2p0.784，解得 p0.4故答案为
11、：0.414在（ ） 6 的展开式中 x3 的系数为 【解析】 （ ） 6 的展开式的通项公式为 Tr+1 （1） rx123r ，令123r3，求得 r3，故展开式中 x3 的系数为 （1） ，故答案为： 15点 F 为抛物线 y22px （ p0）的焦点，E 为其准线上一点，且 EF 若过焦点 F 且与EF 垂直的直线交抛物线于 A，B 两点，且 3 ，则 p 1 【解析】设|BF|m过抛物线 C：y 22px（p0）的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，|AF|3|BF |，O 为坐标原点，| AF|3m如图，作出准线 l，AM l，BMl ，过 B 作 BHAM，交 AM 于
12、H，由抛物线的性质得：|AB|4m ，| AH|2m BAH60， EFK30 FKp，p 故答案为：116已知函数 f（x ） ，g（x）ax2（aR） ，满足：当x0 时，方程 f（x）g（x）无解；当 x0时，至少存在一个整数 x0 使 f（x 0）g（x 0） 则实数a 的取值范围为 （ ，3 【解析】当 x0 时，f（x）g（x）即ln|x| ax2 无解，即 ax2ln（ x） ，a 无解设 h（x） ，则 h（x） ，由 h（x）0 得 ln（x）30，得 ln（x ）3，得xe 3，即 xe 3，此时函数 h（x）为增函数由 h（x）0 得 ln（x）30，得 ln（x ）3，
13、得xe 3，即e 3x0，此时函数 h（x）为，减函数，即当 xe 3 时，函数 h（x ）取得极大值 h（e 3） ，当 x0 且 x0，f（x），则要使 a 无解，则 a ，当 x0时，f （x）的图象如图：当 a0时，满足 f（x 0）g（x 0）的整数由很多，满足条件，当 a0 时，函数 f（x ）过 A（1，1） ，要至少存在一个整数 x0 使 f（x 0）g（x 0） 则 g（1）a21，即 0a3，综上 a3，同时满足的实数 a 的范围满足 ，即 a3，即实数 a 的取值范围是（ ，3，故答案为：（ ，3，三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721
14、 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n满足 an+1a n0（nN *） ，且 a2，a 3+2，a 4 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）令 bn （nN *） ，数列 bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的取值范围【解析】 （1）数列a n满足 an+1a n0（nN *） ，可得数列a n为公比为 2 的等比数列，a2，a 3+2，a 4 成等差数列，可得 2（a 3+2）a 2+a4，即有 2（4a 1+2）2a 1+8a1，解得 a12，则 an2 n；（2）b n ，
15、可得 Tn + + + 1，由 2n+14，可得 （0， ，则 Tn 的取值范围为（1， 18 （12 分）如图，在三棱台 ABCA 1B1C1 中，底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形，上、下底面的面积之比为 1：4，侧面 A1ABB1底面 ABC，并且 A1AA 1B1，AA 1B90（1）平面 A1C1B平面 ABCl，证明：A 1C1l；（2）求平面 A1C1B 与平面 ABC 所成二面角的正弦值【解析】 （1）证明：三棱台 ABCA 1B1C1 中，A 1C1AC，且 A1C1平面 ABC，AC 平面 ABC，所以 A1C1平面 ABC，又平面 A1C1B平面 ABCl，所以 A
16、1C1平面 A1C1B，且 l平面 A1C1B，所以 A1C1l；（2）根据题意，以 AB 的中点为原点，AB 为 x 轴，OC 为 y 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示；由题意知，平面 ABC 的法向量为 （0，0，1） ，AB2，AA 1A 1B11，AA 1B90，B（1，0，0） ，A 1（ ，0， ） ，C 1（0， ， ） ；则 （ ，0， ） ， （1， ， ） ；设平面 A1C1B 的法向量为 （x，y，z） ，则 ，即 ，化简得 ；令 x1，得 z ，y ， （1， ， ） ；cos ， ，sin ， ，即平面 A1C1B 与平面 ABC 所成二面角的正弦值为 19
17、 （12 分）近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、 “农家乐”等形式开始在很多平台上线某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐” 跟踪调查了 100 天，得到的统计数据如表，x 为收费标准（单位：元/日） ，t 为入住天数（单位：天） ，以频率作为各自的“入住率”，收费标准 x 与“入住率” y 的散点图如图（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记 为“入住率”超过 0.6 的农家乐的个数，求 的概率分布列；（2）令 zlnx，由散点图判
18、断 bx+ 与 z+ 哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程 （ 结果保留一位小数）（3）若一年按 365 天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额 L 最大？（年销售额 L365入住率收费标准 x） x 50 100 150 200 300 400t 90 65 45 30 20 20参考数据： ， ， 200， xiyi377.5， x 325000， 5.1， yizi12.7， z 158.1，e 3148.4【解析】 （1） 的所有可能取值为 0，1，2，则 P（0） ，P（1） ，P（2） 的分布列为： 0 1 2P（2）由散点图可知， z+
19、 更适合于此模型其中 ， ，所求回归方程为 ；（3）L365（0.5lnx+3）x ，L ，令 L0，得 lnx5，xe 5148.4若一年按 365 天计算，当收费标准约为 148.4 元/日时，年销售额 L 最大，最大值约为 27083元20 （12 分）如图，菱形 ABCD 的面积为 8 ， 4，斜率为 k 的直线 l 交 y 轴于点 P，且 2 ，以线段 BD 为长轴， AC 为短轴的椭圆与直线 l 相交于 M，N 两点（M 与 A 在 x 轴同侧） （1）求椭圆的方程；（2）求证：AN 与 CM 的交点在定直线 y1 上【解析】 （1）设BAD2，菱形 ABCD 的边长为 m，菱形
20、ABCD 的面积为 8 ， 4，|AB|AD|sin2m 2sin2 8 ， | | |cos2m 2cos24，m 212，tan22 ，tan2 2 ，tan ，线段 BD 为长轴，AC 为短轴的椭圆，BD2a，AC2b， ，a 2+b212，a 28，b 24，椭圆的方程为 + 1，证明（2） 2 ，|OA|2，|OP |4，直线 l 的方程为 ykx+4，由（1）可得 A（0，2） ，C（ 0，2） ，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，联立方程组 ，消 y 可得（1+2k 2）x 2+16kx+240，（16k） 2424（1+2k 2）32（2k 23）0，解得 k
21、 或 k ，又 x1+x2 ，x 1x2 ，直线 AN 的方程为 y x+2，即 x直线 CM 的方程为 y x2，即 x消 x 整理可得 ，即 ，整理可得y +1+11，故 AN 与 CM 的交点在定直线 y1 上21 （12 分）已知函数 f（x ）e x（ax+1） （1）讨论 f（x ）在（0，+ ）上的单调性；（2）令 g（x）xlnx x2x+e，当 a ，0m 时，证明：对x 1，x 2（0，e 2，使g（x 1）f（x 2） 【解析】 （1）f（x ）e x（ax+ a+1） ， （x 0） ，当 a0时，由于 x0，故 f（x）0 恒成立，f（x ）在（0，+）递增，当 a0
22、 时，若 1+a0，a1，f（x）0 恒成立，f （x ）在（0，+）递减，若 1+a0，a1，令 f（x）0，得 x ，故 f（x）在（0 ， ）递增，在（ ，+）递减，综上，当 a0时，f（x）在（0，+）递增，当1a0 时，f（x ）在（0， ）递增，在（ ，+）递减，a1 时，f（x）在（0，+）递减，（2）证明：此时原题目等价于 g（x） minf （x） max，当 a 时，f（x ）e x（ x+1） ，由（1）知 f（x ）在（0，1）递增，在（1，e 2递减，故 f（x） maxf（1） ，g（x）lnxmx，令 p（x）lnxmx，p（x） m ，令 p（x）0，解得：x
23、e 2，故 p（x）0 在（0，e 2恒成立，p（x）在（0，e 2递增，即 g（x）在（0，e 2递增，当 x0 时，g（x ）， g（e 2）lne 2me 22me 2，由于 0m ，故 g（e 2） 0，故存在 x0 使得 g（x 0）0，即 lnx0mx 00，m ，g（1）m 0，g （e ）1me0，故 x0（1，e） ，g（x ）在（ 0，x 0）递减，在（x 0，e 2递增，g（x） ming（x 0）x 0lnx0 x 0+e x 0+e，令 h（x） x +e（1 xe） ，h（x） 0 恒成立，故 h（x）在（1，e ）递减，h（x）h（e） ，从而 g（x ） min
24、 ，故命题成立(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一道作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分)22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的极坐标方程为 （1cos2）8cos，直线 cos1 与曲线 C 相交于 M，N 两点，直线 l 过定点 P（2 ，0）且倾斜角为 ， l 交曲线 C 于 A，B 两点（1）把曲线 C 化成直角坐标方程，并求 |MN|的值；（2）若|PA|，| MN|，|PB|成等比数列，求直线 l 的倾斜角 【解析】 （1）由 （1cos2 ）8cos
25、得 2 2cos2+2sin28cos，x 2+y2x 2+y28x，即 y24x由 cos1 得 x1，由 的 M（1，2） ，N（1，2） ，|MN| 4（2）直线 l 的参数方程为： ，联立直线 l 的参数方程与曲线 C：y 24x，得 t2sin24tcos80，设 A，B 两点对应的参数为 t1，t 2，则 t1+t2 ，t 1t2 ，因为|PA|，| MN|，|PB|成等比数列，|PA|PB| |MN| 216，|t 1|t2|16， | t1t2|16， 16，sin 2 ，sin ，0， 或 选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |x1|+|x2|（1）解不等式 f（x
26、）2 ；（2）若 f（x） 2x 2+m，求实数 m 的最大值【解析】 （1）f（x ）2 ，即| x1|+| x2|2，x2时，x1+x 22，解得： x ，1x2 时，x1+2 x 2不成立，x1时，1x+2x 2，解得： x ，故不等式的解集是（， ，+） ；（2）f（x）2x 2+m，即| x1|+|x 2|2x 2+m，x2时，x1+x 22x 2+m，即 m2x2+2x3，而 y2x 2+2x32 ，故 m ，1x2 时，x1+2 x 2 x2+m，即 m2x2+1，故 m1，x1时，1x+2x 2x 2+m，即 m2x22x+3，而 y2x 22x+32 + ，故 m ，故 m 的最大值是