1、2019 年河南省信阳市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（3 分）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A|a| 4 Bcb0 Cac0 Da+c02（3 分）根据有关基础资料和国民经济核算方法，我国 2018 年上半年国内生产总值为41.8961 万亿元，其中 41.8961 万亿用科学记数法可表示为（ ）A41.896 110 12 B4.189 6110 13C0.418 96110 14 D4.189 61 10123（3 分）如图，是由 6 个同样大
2、小的正方体摆成的几何体，如果将最上层的正方体分别移到 号、号、号或 号正方体的上面（接触面所有的棱都重合），会得到 4 种新的几何体，那么所得到的 4 种几何体的（ ）A主视图都相同 B左视图都相同C俯视图都相同 D三视图都不相同4（3 分）下列运算正确的是（ ）Ax 2x3x 6 B（x 3） 2x 5C（2x 2y） 38 x 6y3 Dx+2x3x5（3 分）下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄 /岁 13 14 15 16频数 5 15 x 10x对于不同的 x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）A平均数、中位数 B众数、中位数C平均数、方差 D中位数、方差6（3 分）“折竹抵地
3、”问题源自九章算术，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1 丈10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远，则折断处离地面的高度为（ ）A5.8 尺 B4.2 尺 C3 尺 D7 尺7（3 分）已知关于 x 的一元二次方程（2a）x 22x +10 有两个不相等的实数根，则整数 a 的最小值是（ ）A1 B2 C3 D48（3 分）规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如 23，567，3467 等）一不透明的口袋中装有 3 个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字 1，2，3，从袋中随机
4、摸出 1 个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出 1 个小球，其上所标数字作为个位上的数字，则组成的两位数是上升数的概率为（ ）A B C D9（3 分）如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 D，当点 E 恰好落在边 AC 上时，连接 AD，ACB36，ABBC，AC2，则 AB的长度是（ ）A 1 B1 C D10（3 分）如图，锐角三角形 ABC 中，BC 6，BC 边上的高为 4，直线 MN 交边 AB 于点 M，交 AC 于点 N，且 MNBC ，以 MN 为边作正方形 MNPQ，设其边长为x（x0），正方形 MNPQ
5、 与ABC 公共部分的面积为 y，则 y 与 x 的函数图象大致是（ ）A BC D二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算：（ ） 2 2cos60 12（3 分）如图所示，ABEF，B35，E 25，则C+D 的值为 13（3 分）不等式组 的整数解有 个14（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A 30，AC ，分别以点A，B 为圆心， AC，BC 的长为半径画弧，交 AB 于点 D，E，则图中阴影部分的面积是 15（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，AB3，点 M 为 AB 边上一点，AM2，点 N 为 AD 边上的一动点，沿
6、 MN 将AMN 翻折，点 A 落在点 P 处，当点 P在菱形的对角线上时，AN 的长度为 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（8 分）先化简，再求值：（x+y） 2+2（xy ）（x+y）+（xy ） 2y 2，其中 x，y 17（9 分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A由父母一方照看； B由爷爷奶奶照看；C 由叔姨等近亲照看；D直接寄宿学校某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的 20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图（1）该班共有 名留守学生，B 类型留守学生所在扇形的
7、圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有 2400 名学生，现学校打算对 D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？18（9 分）如图 1，在平面直角坐标系中，等腰 RtAOB 的斜边 OB 在 x 轴上，直线y3x 4 经过等腰 RtAOB 的直角顶点 A，交 y 轴于 C 点，双曲线 y 也经过 A点连接 BC（1）求 k 的值；（2）判断ABC 的形状，并求出它的面积（3）若点 P 为 x 正半轴上一动点，在点 A 的右侧的双曲线上是否存在一点 M，使得PAM 是以点 A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 M
8、 的坐标；若不存在，请说明理由19（9 分）如图，O 与直线 MN 相切于点 A，点 B 是圆上异于点 A 的一点，BAN 的平分线与O 交于点 C，连接 BC（1）求证：ABC 是等腰三角形；（2） 若CAN15，O 的半径为 2 ，则 AB ；当 CAN 时，四边形 OACB 为菱形20（9 分）河南旅游宣传口号“HENAN ，WHERECHINABEGAN”（心灵故乡，老家河南；中国历史开始的地方），荣获 2017 海南世界休闲旅游博览会年度旅游传播口号大奖如图，某河堤上有一个旅游宣传标语牌，小明在河堤底部 A 处测得标语牌顶部 C处的仰角为 45，然后沿坡度为 1：2 的斜坡 AF 攀
9、行 20m，在坡顶 F 处又测得标语牌底部 D 处的仰角为 76，已知 FH 与水平面 AB 平行， CD 与 AB 垂直，且 CD2m，点A，B ，C ，D，F，H 在同一平面内，过点 D 作 DNFH 于点 N，求标语牌顶部到河堤顶部的距离 CN（结果精确到 1m参考数据：sin76 0.97，cos760.24，tan76 4.01， 1.41， 2.24）21（10 分）某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元，经市场调查，每天的销售量 y（千克）与每千克售价 x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价 x（元/千克） 50 60 70
10、销售量 y（千克） 100 80 60（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为 W（元），求 W 与 x 之间的函数表达式（利润收入成本）；（3）试说明（2）中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？22（10 分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程操作发现（1） 如图（ 1），B 为线段 CE 上一点，分别以 BC，BE 为边作正方形 ABCD 与正方形 BEFG，点 P 为 BC 上一点，且 CPBE ，连接 DP，FP，那么 DP 与 FP 有什么关系？直接写出答案如图（ 2），
11、 B 为线段 CE 上一点，分别以 BC，BE 为斜边作等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DBE，点 P 为 CE 的中点，连接 AP，DP，那么 AP 与 DP 有什么数量关系？请给予证明数学思考（2）如图（3），B 为线段 CE 上一点，分别以 BC，BE 为斜边作直角三角形 ABC 与直角三角形 DBE，且ABC DBE，点 P 为 CE 的中点，连接 AP，DP，那么 AP 与 DP有什么数量关系？请给予证明拓展探究（3）如图（4），B 为线段 CE 外一点，连接 BC，BE，分别以 BC，BE 为斜边作直角三角形 ABC 与直角三角形 DBE，且ABC DBE ，点 P 为
12、CE 的中点，连接AP，DP ，那么（2）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由23（11 分）如图，顶点为（2，1）的抛物线 yax 2+bx+c（a0）交 y 轴于点C（0，3），交 x 轴于 A，B 两点，直线 l 过 AC 两点，点 P 是位于直线 l 下方抛物线上的动点，过点 P 作 PQy 轴，交直线 l 于点 Q（1）求抛物线的解析式；（2）求线段 PQ 的最大值及此时点 P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 G，使BCG 为直角三角形？若存在，请直接写出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年河南省信阳市中考数学一模试卷（备用卷）参考答案与
13、试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（3 分）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A|a| 4 Bcb0 Cac0 Da+c0【分析】本题由图可知，a、b、c 绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错【解答】解：4a3|a| 4A 不正确；又a0 c0ac 0C 不正确；又a3 c3a+c 0D 不正确；又c0 b0c b0B 正确；故选：B【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负2（3 分）根据有关基础资料和国民经济核算方法，我国 2
14、018 年上半年国内生产总值为41.8961 万亿元，其中 41.8961 万亿用科学记数法可表示为（ ）A41.896 110 12 B4.189 6110 13C0.418 96110 14 D4.189 61 1012【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：41.8961 万亿41 896 100 000 0004.189 6110 13，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示
15、方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）如图，是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体，如果将最上层的正方体分别移到 号、号、号或 号正方体的上面（接触面所有的棱都重合），会得到 4 种新的几何体，那么所得到的 4 种几何体的（ ）A主视图都相同 B左视图都相同C俯视图都相同 D三视图都不相同【分析】根据三视图观察的角度得出新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图没有发生改变；【解答】解：最上层的正方体分别移到号、 号、号或号正方体的上面（接触面所有的棱都重合），俯视图都相同，均为 1、1、
16、2，最上层的正方体分别移到号、 号、号时，主视图为 1，2，1，移到号正方体的上面时，主视图为 1，1，2，最上层的正方体分别移到号、 号时，左视图为 2，1，1，放在 号时，左视图为1，2，1，放在号时，左视图为 1，1，2，故选：C【点评】本题考查了从不同方向观察物体和几何，是训练学生的观察能力、分析能力和动手操作能力4（3 分）下列运算正确的是（ ）Ax 2x3x 6 B（x 3） 2x 5C（2x 2y） 38 x 6y3 Dx+2x3x【分析】根据整式运算的法则即可求出答案【解答】解：（A）原式x 5，故 A 错误；（B）原式x 6，故 B 错误；（D）原式x，故 D 错误；故选：C
17、【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型5（3 分）下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄 /岁 13 14 15 16频数 5 15 x 10x对于不同的 x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）A平均数、中位数 B众数、中位数C平均数、方差 D中位数、方差【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为 10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第 15、16 个数据的平均数，可得答案【解答】解：由表可知，年龄为 15 岁与年龄为 16 岁的频数和为 x+10x10，则总人数为：5+15+1030，故该组数据的众数为 14 岁，中位数
18、为： 14 岁，即对于不同的 x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键6（3 分）“折竹抵地”问题源自九章算术，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1 丈10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远，则折断处离地面的高度为（ ）A5.8 尺 B4.2 尺 C3 尺 D7 尺【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10x）尺，利用勾
19、股定理解题即可【解答】解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10x）尺，根据勾股定理得：x 2+42（10x） 2解得：x4.2，折断处离地面的高度为 4.2 尺，故选：B【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题7（3 分）已知关于 x 的一元二次方程（2a）x 22x +10 有两个不相等的实数根，则整数 a 的最小值是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式b 24ac0，建立关于 a的不等式，求出 a 的取值范围还要注意二次项系数不为 0，最后确定最小整数值【解答】解：关于 x 的一元二次方程
20、（2a）x 22x +10 有两个不相等的实数根，44（2a）0，且 2a0，解得 a1，且 a2，则 a 的最小整数值是 3故选：C【点评】考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根8（3 分）规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如 23，567，3467 等）一不透明的口袋中装有 3 个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字 1，2，3，从袋中随机摸出 1 个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出 1 个小球，其上所标数字作为个位上的数字，则组成的两
21、位数是上升数的概率为（ ）A B C D【分析】画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，找出组成的两位数是上升数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 6 种等可能的结果数，其中组成的两位数是上升数的结果数为 3，所以组成的两位数是上升数的概率 故选：C【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件B 的概率9（3 分）如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 D，当点 E 恰好落在边 AC 上时，连接 AD，
22、ACB36，ABBC，AC2，则 AB的长度是（ ）A 1 B1 C D【分析】首先证明 DAEDEC ，设 ABx，则 ADDEECx，由DAECAD，可得 AD2AE AC，由此构建方程即可解决问题【解答】解：ABBC，ACB 36，BACACB36，BCED108，AED72，CACD，ACD36，CADCDA72，ADEACD36，DAED EC ，设 ABx，则 ADDE ECx，DAECAD，ADE ACD，DAECAD，AD 2AEAC ，x 2（2x）2，x 1 或 1（舍弃），AB 1，故选：A【点评】本题考查相似三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似
23、三角形解决问题，属于中考常考题型10（3 分）如图，锐角三角形 ABC 中，BC 6，BC 边上的高为 4，直线 MN 交边 AB 于点 M，交 AC 于点 N，且 MNBC ，以 MN 为边作正方形 MNPQ，设其边长为x（x0），正方形 MNPQ 与ABC 公共部分的面积为 y，则 y 与 x 的函数图象大致是（ ）A BC D【分析】根据题意画出符合的两种情况：分别求出函数的解析式，再判断图象即可【解答】解：作 ADBC 于 D 点，交 MN 于 E 点，公共部分分为三种情形：在三角形内； 刚好一边在 BC 上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形情况中 0x 2.4，公共
24、部分是正方形时的面积，yx 2，是 2.4x6，公共部分是矩形时如图所示：作 ADBC 于 D 点，交 MN 于 E 点，设 DEa，MNBC， ，即 ，ED4 x，yx（4 x） x2+4x，y 与 x 的函数图象大致是 D，故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的对边平行且相等，正方形的对边平行且相等的性质，根据相似三角形的对应高的比等于对应边的比列出比例式是解题的关键二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算：（ ） 2 2cos60 3 【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值【解答】解：原式413，故
25、答案为：3【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键12（3 分）如图所示，ABEF，B35，E 25，则C+D 的值为 240 【分析】过 C 作 CGAB，过 D 作 DHEF，依据 AB EF，可得ABEFCG DH，进而得出 1B35，2 E25，GCD+HDC180，可得 BCD+ CDE35+180+25240【解答】解：如图所示，过 C 作 CGAB，过 D 作 DH EF，ABEF，ABEFCGDH，1B35，2E25，GCD +HDC 180，BCD+CDE35+180+25 240，故答案为：240【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用：两直线
26、平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等13（3 分）不等式组 的整数解有 4 个【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，即可得出答案【解答】解：解不等式得：x1.6，解不等式 得： x3，不等式组的解集是1.6x3，不等式组的整数解为1，0，1，2，共 4 个，故答案为：4【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键14（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A 30，AC ，分别以点A，B 为圆心， AC，BC 的长为半径画弧，交 AB 于点 D，E，则图中阴影部分的面积是 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形
27、 ACE 与扇形 BCD 的面积之和与RtABC 的面积之差【解答】解：在 RtABC，C90，A30，AC ，B60，BCtan30AC 1，阴影部分的面积 SS 扇形 ACE+S 扇形 BCDS ACB + ，故答案为： 【点评】本题考查扇形面积的计算、含 30角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答15（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，AB3，点 M 为 AB 边上一点，AM2，点 N 为 AD 边上的一动点，沿 MN 将AMN 翻折，点 A 落在点 P 处，当点 P在菱形的对角线上时，AN 的长度为 2 或 5 【分析】分两种情况：当点 P 在菱形对
28、角线 AC 上时，由折叠的性质得：ANPN，AMPM ，证出 AMNANM60，得出 ANAM2；当点 P 在菱形对角线 BD 上时，设 ANx，由折叠的性质得：PMAM2，PNANx ，MPNA60，求出 BMABAM1，证明PDNMBP ，得出 ，求出 PD x，由比例式 ，求出 x 的值即可【解答】解：分两种情况：当点 P 在菱形对角线 AC 上时，如图 1 所示：由折叠的性质得：ANPN，AMPM，四边形 ABCD 是菱形，BAD60，PAM PAN30，AMNANM903060，ANAM2 ；当点 P 在菱形对角线 BD 上时，如图 2 所示：设 ANx，由折叠的性质得：PMAM 2
29、，PNAN x ，MPNA60，AB3，BMABAM 1，四边形 ABCD 是菱形，ADC18060120，PDNMBP ADC60，BPNBPM+60 DNP+60，BPM DNP ，PDNMBP， ，即 ，PD x， x解得：x5 或 x5+ （不合题意舍去），AN5 ，综上所述，AN 的长为 2 或 5 ；故答案为：2 或 5 【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是关键三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（8 分）先化简，再求值：
30、（x+y） 2+2（xy ）（x+y）+（xy ） 2y 2，其中 x，y 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和合并同类项可以化简题目中的式子，然后将x、y 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（x+y ） 2+2（xy ）（x+y）+（xy） 2y 2x 2+2xy+y2+2x22y 2+x22 xy+y2y 24x 2y 2当 x ，y 时，原式4（ ） 2（ ）23+2 +2（32 +2）3+2 +23+2 24 【点评】本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法17（9 分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A由父母一
31、方照看； B由爷爷奶奶照看；C 由叔姨等近亲照看；D直接寄宿学校某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的 20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图（1）该班共有 10 名留守学生，B 类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为 144 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有 2400 名学生，现学校打算对 D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？【分析】（1）依据 C 类型的人数以及百分比，即可得到该班留守的学生数量，依据 B类型留守学生所占的百分比，即可得到其所在扇形的圆心角的度数；（2）依据 D 类型留守学生
32、的数量，即可将条形统计图补充完整；（3）依据 D 类型的留守学生所占的百分比，即可估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益【解答】解：（1）220% 10（人），100%360144，故答案为：10，144；（2）102422（人），如图所示：（3）2400 480（人），答：估计该校将有 480 名留守学生在此关爱活动中受益【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据18（9 分）如图 1，在平面直角坐标系中，等腰 RtAOB 的斜边 OB 在 x 轴上，直线y3x 4 经过等腰 RtAOB
33、 的直角顶点 A，交 y 轴于 C 点，双曲线 y 也经过 A点连接 BC（1）求 k 的值；（2）判断ABC 的形状，并求出它的面积（3）若点 P 为 x 正半轴上一动点，在点 A 的右侧的双曲线上是否存在一点 M，使得PAM 是以点 A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）过点 A 分别作 AMy 轴于 M 点，AN x 轴于 N 点，根据直角三角形的性质可设点 A 的坐标为（a，a），因为点 A 在直线 y3x4 上，即把 A 点坐标代入解析式即可算出 a 的值，进而得到 A 点坐标，然后再利用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）利
34、用勾股定理逆定理即可判断出三角形 ABC 是直角三角形，利用三角形的面积公式即可得出结论（3）由 SAS 易证AOP ABQ ，得出OAPBAQ，那么APQ 是所求的等腰直角三角形根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果【解答】解：（1）如图 1，过点 A 分别作 AQy 轴于 Q 点，AN x 轴于 N 点，AOB 是等腰直角三角形，AQAN设点 A 的坐标为（a，a），点 A 在直线 y3x 4 上，a3a4，解得 a2，则点 A 的坐标为（2，2），双曲线 y 也经过 A 点，k4；（2）由（1）知，A（2，2），B（4，0），直线 y3x4 与 y 轴的交点为 C，C（0
35、，4），AB 2+BC2（42） 2+22+42+（4） 240，AC 22 2+（2+4） 240，AB 2+BC2AC 2，ABC 是直角三角形；SABC ABBC 8，（3）如图 2，假设双曲线上存在一点 M，使得PAM 是等腰直角三角形PAM 90 OAB ，APAM连接 AM，BM，由（1）知，k4，反比例函数解析式为 y ，OAPBAM，在AOP 和ABM 中， ，AOPABM（ASA），AOPABM，OBMOBA+ABM 90，点 M 的横坐标为 4，M（4，1）即：在双曲线上存在一点 M（ 4，1），使得PAM 是以点 A 为直角顶点的等腰三角形【点评】此题是反比例函数综合题，
36、主要考查了反比例函数解析式的确定、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力19（9 分）如图，O 与直线 MN 相切于点 A，点 B 是圆上异于点 A 的一点，BAN 的平分线与O 交于点 C，连接 BC（1）求证：ABC 是等腰三角形；（2） 若CAN15，O 的半径为 2 ，则 AB 2 ；当 CAN 30 时，四边形 OACB 为菱形【分析】（1）先利用切线的性质判断出CAN+CAD 90，再判断出CAD+ADC90，得出CANADC，进而得出 CAN B，即可得出结论；（2） 先求出 BAN30，进而判断出AOC 是等边三角形即可得出结论；先
37、判断出 AOC 是等边三角形，进而求出OAC60，得出BAN30，即可得出结论【解答】解：（1）如图 1，连接 AO 并延长交O 于 D，连接 CD，MN 是O 的切线，DAN90，DAC+CAN90，AD 是 O 的直径，ACD90，ADC+DAC90，CAN ADC ，ADCB，BCAN，AC 是BAN 的角平分线，CAN CAB，CABB，ACBC，ABC 是等腰三角形；（2） 如图 2，连接 OA，MN 是O 的切线，OAN90AC 是BAN 的角平分线，CAN15，BAN2CAN30，OAB60，OAOB ，OAB 是等边三角形，ABOA 2 ，故答案为 2 ；如图 3，连接 OC，
38、OAOC，四边形 OACB 是菱形，OAAC，OAACOC，OAC 是等边三角形，OAC60，OAN90，CAN 90 6030 ，故答案为：30【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，作出辅助线是解本题的关键20（9 分）河南旅游宣传口号“HENAN ，WHERECHINABEGAN”（心灵故乡，老家河南；中国历史开始的地方），荣获 2017 海南世界休闲旅游博览会年度旅游传播口号大奖如图，某河堤上有一个旅游宣传标语牌，小明在河堤底部 A 处测得标语牌顶部 C处的仰角为 45，然后沿坡度为 1：2 的斜坡 AF 攀行 20m，在坡顶 F 处又测得标
39、语牌底部 D 处的仰角为 76，已知 FH 与水平面 AB 平行， CD 与 AB 垂直，且 CD2m，点A，B ，C ，D，F，H 在同一平面内，过点 D 作 DNFH 于点 N，求标语牌顶部到河堤顶部的距离 CN（结果精确到 1m参考数据：sin76 0.97，cos760.24，tan76 4.01， 1.41， 2.24）【分析】如图，作 FEAB 于 E，延长 CN 交 AB 于 M则四边形 EFNM 是矩形设FNEMxm根据 AMCM 构建方程即可解决问题【解答】解：如图，作 FEAB 于 E，延长 CN 交 AB 于 M则四边形 EFNM 是矩形设 FNEM xm 在 Rt AF
40、E 中，AEF90，AF20，FE：AE 1：2，EF4 ，AE8 ，在 Rt DFN 中， DNFNtan764.01x（m），在 Rt ACM 中，CAM45，AMMC，8 +x4 +4.01x+2，x2，CN2+8.0210（m），答：标语牌顶部到河堤顶部的距离 CN 为 10m【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题21（10 分）某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元，经市场调查，每天的销售量 y（千克）与每千克售价 x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表
41、：售价 x（元/千克） 50 60 70销售量 y（千克） 100 80 60（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为 W（元），求 W 与 x 之间的函数表达式（利润收入成本）；（3）试说明（2）中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可以设出 y 与 x 之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得 y 与 x 之间的函数表达式；（2）根据题意可以写出 W 与 x 之间的函数表达式；（3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，
42、且不高于 80 元，即可得到利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，以及售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少【解答】解：（1）设 y 与 x 之间的函数解析式为 ykx+b（k0），得 ，即 y 与 x 之间的函数表达式是 y2x+200；（2）由题意可得，W（x 40）（2x+200）2x 2+280x8000，即 W 与 x 之间的函数表达式是 W2x 2+280x8000；（3）W2x 2+280x80002（x70） 2+1800，40 x 80，当 40x70 时，W 随 x 的增大而增大，当 70x80 时，W 随 x 的增大而减小，当 x70 时，W 取得最大值，此时 W
43、1800，答：当 40x70 时，W 随 x 的增大而增大，当 70x80 时，W 随 x 的增大而减小，售价为 70 元时获得最大利润，最大利润是 1800 元【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答22（10 分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程操作发现（1） 如图（ 1），B 为线段 CE 上一点，分别以 BC，BE 为边作正方形 ABCD 与正方形 BEFG，点 P 为 BC 上一点，且 CPBE ，连接 DP，FP，那么 DP 与 FP 有什么关系？直接写出答案如图（ 2）
44、， B 为线段 CE 上一点，分别以 BC，BE 为斜边作等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DBE，点 P 为 CE 的中点，连接 AP，DP，那么 AP 与 DP 有什么数量关系？请给予证明数学思考（2）如图（3），B 为线段 CE 上一点，分别以 BC，BE 为斜边作直角三角形 ABC 与直角三角形 DBE，且ABC DBE，点 P 为 CE 的中点，连接 AP，DP，那么 AP 与 DP有什么数量关系？请给予证明拓展探究（3）如图（4），B 为线段 CE 外一点，连接 BC，BE，分别以 BC，BE 为斜边作直角三角形 ABC 与直角三角形 DBE，且ABC DBE ，点 P 为
45、 CE 的中点，连接AP，DP ，那么（2）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由【分析】（1）如图 1 中，结论：PD PF，PDPF证明 DCPPEF（SAS）即可解决问题如图 2 中，结论： PAPD 作 AMBC 于 M，DN BE 于 N，设BC2a，BE 2b证明AMPPND（SAS）即可解决问题（2）如图 3 中，结论：PAPD取 BC 的中点 M，BE 的中点 N，连接AM，DN ，PM，PN设 BC 2a，BE 2b证明AMPPND（SAS）即可解决问题（3）如图 4 中，结论：PAPD取 BC 的中点 M，BE 的中点 N，连接AM，DN ，PM，PN设 BC 2a，BE 2b证明AMPPND（SAS）即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，结论：PD PF，PD PF理由如下：四边形 ABCD，四边形 BEFG