1、2019 年黑龙江省哈尔滨市第九十九中学校中考数学三模试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）12019 的倒数是（ ）A2019 B C D20192下列运算中，结果正确的是（ ）Aa 2+a3a 5 Ba 3+a2a 6 C（a 3） 2a 6 Da 6+a2a 33下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D4若点 A（x 1，6），B（x 2，2），C（x 3，2）在反比例函数 y （m 为常数）的图象上，则 x1，x 2，x 3 的大小关系是（ ）Ax 1x 2x 3 Bx 2x 1x 3 Cx 2x 3x 1 Dx 3x 2x 15在桌上摆
2、着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为 m，最多个数为 n，下列正确的是（ ）Am5，n13 Bm8，n10 Cm10，n13 Dm 5，n106方程 解是（ ）A Bx4 Cx3 Dx 47在 RtABC 中，B90，AB3，BC 4，则 cosC 的值为（ ）A B C D8如图，点 A、B、C 为O 上的点，AOB 60，则ACB（ ）A20 B30 C40 D609已知，二次函数 y（x +2） 2+k 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，得到二次函数y（x +h） 21，则 h 和 k 的值分别为（ ）A3，4
3、 B1，4 C1，2 D3，210如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 中点，BD 和 CE 相交于点 F，如果 DF2，那么线段 BF的长度为（ ）A2 B3 C4 D5二填空题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）11将 201800000 用科学记数法表示为 12计算 3 的结果是 13函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 14分解因式：3x 23y 2 15如果关于 x 的不等式组 无解，则 a 的取值范围是 16一个扇形的面积为 10，弧长为 4，则此扇形的圆心角度数为 17在某校运动会 4400m 接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个
4、不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为 18某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 21，则每个支干长出 19在正方形 ABCD 中，点 O 为正方形的中心，直线 m 经过点 O，过 A、B 两点作直线 m 的垂线AE、 BF，垂足分别为点 E、F ，若 AE2，BF5，则 EF 长为 20如图，在平面直角坐标系中，OA4，OB 3，连接 AB，点 M 为线段 OA 的中线点，点 N 为线段 AB 的中点，作射线 MN、在射线 MN 上有一动点 P，连接 AP，BP 若ABP 是直角三角形，则线段 PB 的长为 三解答题（共 7
5、小题，满分 60 分）21（7 分）先化简，再求代数式 的值，其中 a tan60+2cos4522（7 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1线段 AB 的两个端点在小正方形的顶点上（1）在图中画一个以 AB 为腰的等腰三角形ABC，点 C 在小正方形的顶点上，且 tanB3；（2）在图中画一个以 AB 为底的等腰三角形ABD，点 D 在小正方形的顶点上，且ABD 是锐角三角形连接 CD，请直接写出线段 CD 的长23（8 分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A由父母一方照看；B由爷爷奶奶照看；C由叔姨等近亲照看； D直接寄宿学校某数学小组随机调查了一个
6、班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的 20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图（1）该班共有 名留守学生，B 类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）已知该校共有 2400 名学生，现学校打算对 D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？24（8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，点 D 在ABC 内，BDBC，DBC60，点 E 在ABC 外，BCE150 ，ABE60（1）求ADB 的度数；（2）判断ABE 的形状并证明；（3）连结 DE，若 DEBD ，DE 6，求 AD 的长25（10 分）振华
7、书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，若购进 40 本甲种图书和 30 本乙种图书共需 1700 元：若购进 60 本甲种图书和 20 本乙种图书共需 1800 元，（1）求甲、乙两种图书每本进价各多少元；（2）该书店购进甲、乙两种图书共 120 本进行销售，且每本甲种图书的售价为 25 元，每本乙种图书的售价为 40 元，如果使本次购进图书全部售出后所得利润不低于 950 元，那么该书店至少需要购进乙种图书多少本？26（10 分）已知，AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，点 P 是 AB 延长线上一点，连接 CP（1）如图 1，若PCBA求证：直线 PC 是O 的切线；若 CPCA ，O
8、A2，求 CP 的长；（2）如图 2，若点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N，MNMC9，求 BM 的值27（10 分）如图，已知直线：y x+6 与 x、y 轴相交于点 C、B ，在等边ODE 中，OD12，满足点 C、A、E 都在 x 轴上，且 A、O 重合， ABC 以每秒 1 个单位的速度沿射线CE 平移设运动时间为 t（1）当 t0 时，点 M 是坐标轴上一点，且满足 MBMC，求出此时点 M 的坐标；（2）在运动过程中，当点 A 与点 E 重合时，停止运动记ABC 和ODE 的重叠面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式（3）当点 A 运动至 OE 中点
9、时，停止运动此时，将 ABC 绕着点 A 旋转，连接 EB、EC，当EBC 恰好是直角三角形时，请直接写出此时点 B 的坐标；2019 年黑龙江省哈尔滨市第九十九中学校中考数学三模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案【解答】解：2019 的倒数是： 故选：C【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键2【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算分别计算得出答案【解答】解：A、a 2+a3，无法计算，故此选项错误；B、a 3+a2，无法计算，故此选项错误；C、（a 3） 2a 6，故此选项正确；D
10、、a 6+a2，无法计算，故此选项错误故选：C【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键3【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合4【分析】根据反比例函数的性质
11、，可以判断出 x1，x 2，x 3 的大小关系，本题得以解决【解答】解：反比例函数 y （m 为常数），m 2+10，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，点 A（x 1， 6），B（x 2， 2），C（x 3，2）在反比例函数 y （m 为常数）的图象上，6202，x 2x 1x 3，故选：B【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答5【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最少及最多有几个正方体组成即可【解答】解：底层正方体最少的个数应是 3 个，第二层正方体最少的个数应该是 2 个，因此这个几何体最少有 5 个小正方体组成；
12、易得第一层最多有 9 个正方体，第二层最多有 4 个正方体，所以此几何体最多共有 13 个正方体即 m5、n13，故选：A【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”找到所需正方体的个数6【分析】根据解分式方程的步骤：去分母； 求出整式方程的解； 检验；得出结论求解可得【解答】解：两边都乘以（x1）（x+2），得：2（x 1）x+2，解得：x4，检验：x4 时，（x 1）（x+2）36180，原分式方程的解为 x4，故选：B【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论7【分析】先根据
13、勾股定理求出斜边 AC 的长，再根据余弦函数的定义求解可得【解答】解：RtABC 中，B90，AB3，BC 4，AC 5，cosC ，故选：A【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握余弦函数的定义与勾股定理8【分析】根据圆周角定理即可解决问题【解答】解： ，ACB AOB ，AOB60，ACB30，故选：B【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9【分析】根据“左加右减”的规律进行解答即可【解答】解：抛物线 y（x+2） 2+k 的顶点坐标是（2，k），则向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后的坐标为：（3，k3），平移后抛物线的解析式
14、为 y（x+3） 2+k3又平移后抛物线的解析式为 y（x+h） 21即 h3，k2故选：D【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键10【分析】由矩形的性质可知 ADBC，那么DEFBFC，利用相似三角形对应边成比例即可求出线段 BF 的长【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ADBCDEFBFC， ，点 E 为 AD 中点， ， ， ，BF2DF 224故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质正确列出相似三角形对应边成比例是解题的关键二填空题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）11【分析】科学记数法的表示形式
15、为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：201800000 用科学记数法表示为：2.01810 8，故答案为：2.01810 8【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可【解答】解：原式3 2 故答案为：2 【点评】本题考查的是二次根式的加
16、减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键13【分析】根据分式的分母不为 0 解答即可【解答】解：由分式分母不为 0 可知：x+50解得：x5故答案为：x5【点评】本题主要考查的是函数自变量的取值范围，明确分式的分母不为 0 是解题的关键14【分析】原式提取 3，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式3（x 2y 2）3（x +y）（xy），故答案为：3（x+y ）（x y）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键15【分析】解出不等式组的解集（含
17、a 的式子），与不等式组 无解比较，求出 a 的取值范围【解答】解：不等式组 无解，根据“大大小小解不了”则 a+23a2，所以 a 的取值范围是 a2【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数16【分析】设扇形的圆心角是 n，扇形面积公式求出 R，再根据扇形面积公式求出 n 即可【解答】解：设扇形的圆心角是 n，半径为 R，扇形的面积为 10，弧长为 4， 10 ，解得：R5，由扇形的面积公式得： 10，解得：n144，即扇形的圆心角是 144，故答案为：144【点评】本题考查了扇形的面积公式和弧长
18、公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角是 n，半径为 r 的扇形的面积 S 17【分析】画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 6 种等可能的结果数，其中甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数为 4，所以甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率 故答案为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率18【分析】设每个支干长出 x 个小支干，根据主干、支干和小分支的总数
19、是 21，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设每个支干长出 x 个小支干，根据题意得：1+x+x 221，解得：x 15（舍去），x 24故答案为：4 个小支干【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键19【分析】依据已知条件求出AEOBFO90，EAOFOB，根据 AAS 证EAOFOB，推出 AEOF2， OEBF5，即可得到 EF 的长【解答】解：如图，当直线 m 与线段 AB 不相交时，AEm，BFm，AOB 90，AOE+EAO 90AOE +BOF ，AEOOFB，EAOFOB，又正方形 ABCD 中，AO
20、 OB，EAOFOB，AEOF 2，BFEO5，EFEO +FO5+27；如图，当直线 m 与线段 AB 相交时，AEm，BFm，AOB 90，AOE+EAO 90AOE +BOF ，AEOOFB，EAOFOB，又正方形 ABCD 中，AO OB，EAOFOB，AEOF 2，BFEO5，EFEO FO523；故答案为：3 或 7【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质的运用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL本题要注意思考全面，两种情况，不能遗漏20【分析】根据勾股定理得到 AB5，根据三角形中位线的性质得到AMOM2，MN1.5， ANBN2.5，当A
21、PB 90 时， 当ABP90时，如图，过 P 作 PCx 轴于 C，根据矩形的性质和勾股定理、相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：OA4，OB3，AB5，点 M，N 分别是 OA，AB 的中点，AMOM2，MN1.5，ANBN ，如图 1，当 APB90时，ANBN，PNAN ，PMMN+PN4，过 P 作 PCx 轴于 C，则 PCOM 2，OCPM 4，BC1，PB ；当 ABP90时，如图 2，过 P 作 PCx 轴于 C，则四边形 MOCP 是矩形，PCOM 2，PCBAOB90，OAB+ABO ABO +PBC90，OABPBC，ABOBPC， ，BP ，综上所述，线段 PB
22、的长为 或 ，故答案为： 或 【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键三解答题（共 7 小题，满分 60 分）21【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角的三角函数值求得 a的值，代入计算可得【解答】解：原式 ，a ，原式 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值22【分析】（1）因为 AB 为腰、tanB3 的等腰ABC，由此即可画出图形；（2）因为 AB 为底、ABD 是锐角三角形的等腰ABC，所以点 C 在线段 AB 的垂直平分线上，
23、由此即可画出图形，利用勾股定理计算 CD 的长；【解答】解：（1）如图所示：ABC 即为所求：（2）如图所示：ABD 即为所求，由勾股定理可得：CD 【点评】本题考查应用与作图设计、勾股定理、等腰三角形的性质和判定解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型23【分析】（1）依据 C 类型的人数以及百分比，即可得到该班留守的学生数量，依据 B 类型留守学生所占的百分比，即可得到其所在扇形的圆心角的度数；（2）依据 D 类型留守学生的数量，即可将条形统计图补充完整；（3）依据 D 类型的留守学生所占的百分比，即可估计该校将有多少名留守学生
24、在此关爱活动中受益【解答】解：（1）220% 10（人），100%360144，故答案为：10，144；（2）102422（人），如图所示：（3）2400 480（人），答：估计该校将有 480 名留守学生在此关爱活动中受益【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据24【分析】（1）首先证明DBC 是等边三角形，推出BDC60，再证明ADBADC，推出ADB ADC 即可解决问题（2）结论：ABE 是等边三角形只要证明ABDEBC 即可（3）首先证明DEC 是含有 30 度角的直角三角形，求出
25、EC 的长，理由全等三角形的性质即可解决问题【解答】（1）解：BDBC，DBC60，DBC 是等边三角形，DBDC，BDCDBC DCB60，在ADB 和ADC 中，ADBADC（SSS），ADBADC，ADB （36060）150（2）解：结论：ABE 是等边三角形理由：ABEDBC60，ABDCBE，在ABD 和EBC 中，ABDEBC（AAS），ABBE，ABE 60，ABE 是等边三角形（3）解：连接 DEBCE150，DCB60，DCE90，EDB90，BDC60，EDC30，EC DE3，ABDEBC，ADEC3【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30
26、度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型25【分析】（1）设每本甲种图书的进价为 x 元，每本乙种图书的进价为 y 元根据“购进 40 本甲种图书和 30 本乙种图书共需 1700 元：若购进 60 本甲种图书和 20 本乙种图书共需 1800 元”列出方程组求解即可；（2）设该书店购进乙种图书 a 本，购进甲种图书（120a）本，根据“总利润甲种图书的总利润+乙种图书的总利润以及总利润不低于 950 元”列出不等式【解答】（1）解：设每本甲种图书的进价为 x 元，每本乙种图书的进价为 y 元根据题意得 解得 答：每本甲种图书的进价为 20 元
27、，每本乙种图书的进价为 30 元（2）解：设该书店购进乙种图书 a 本，购进甲种图书（120a）本，根据题意得 （2520）（120a）+（4030）a950解得 a70答：该书店至少购进 70 本【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键26【分析】（1）欲证明 PC 是O 的切线，只要证明 OCPC 即可；想办法证明P30即可解决问题；（2）如图 2 中，连接 MA由AMCNMA，可得 ，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：如图 1 中，OAOC，AACO，PCBA，ACOPCB，AB 是O 的直径，ACO+OC
28、B90，PCB+ OCB90，即 OCCP ，OC 是O 的半径，PC 是O 的切线CP CA ，PA ，COB2A2P，OCP90，P30，OCOA2，OP2OC4， （2）解：如图 2 中，连接 MA点 M 是弧 AB 的中点， ，ACMBAM，AMCAMN，AMCNMA， ，AM 2MCMN，MCMN9，AM3，BMAM3【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题27【分析】（1）求出点 B、C 的坐标，则CBA60，MBMC，则MBO60CBM60BCA30
29、，用 OMOBtan30，即可求解；（2）分 当 0t6 时、当 6 时、 当 6 t12 时，三种情况分别求解即可；（3）当EBC 恰好是直角三角形时，分BEC 90、BCE 90两种情况，求解即可【解答】解：（1）令 x0，y6，令 y0，x6 ，即点 B、C 的坐标分别为（0 ，6）、（6 ，0），则CBA60，如图连接 MB，MBMC，MBO60CBM60BCA30，OMOBtan302 ，同理当点 M 在有轴上时，点 M 坐标为（0，18）或（0， 6），故点 M 的坐标为（2 ， 0）或（0，18）或（0，6）；（2） 当 0 t6 时，如下图，设 AB 交 OD 于点 F，S O
30、AAF OAOAtan60 t2；当 6 时，SS ABC ABAC18 ；当 6 t12 时，同理可得：S t+ ，12 t12+6 时，同理可得：s （t126 ） 2；故 S 与 t 之间的函数关系式为： S ；（3）当EBC 恰好是直角三角形时，则BEC 90BAC ，故 A、B、C 、E 四点公圆，过这四点作圆 O，连接 AO，AB6AE，AC6 ， ABC60，设：ABE AEBACB30，则AOB60，OAB 为等边三角形，BCEACB+ECA ACB +60，而OABBCE60，过点 B 作 BH x 轴交于点 H，BHABsin60 3 ，AH3，故点 B 的坐标为（3，3 ）同理当BCE90时，点 B 坐标为（6，6），故点 B 的坐标为（3，3 ）或（6，6）【点评】本题为一次函数综合题，主要考查了圆的基本知识、解直角三角形等知识点，其中（3）A、B 、C、E 四点公圆，是本题的难点，本题难度较大