1、2019 年江苏省镇江市南徐中学中考数学模拟试卷（4 月份）一填空题（共 12 小题，满分 24 分，每小题 2 分）1分数 的相反数是 2当 x 时，分式 有意义3若 x+y1， xy7，则 x2y+xy2 4已知函数 y2x m1 +3 的图象是一条抛物线，则 m 5如图直线 ab，CDa，若145，则2 6如图，在 RtABC 中，C90，BC5，AB6，那么 cosB 7如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 DEBC若 AD2，AB3，DE 4，则BC 的长为 8如图，yx+b（b 为常数）的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B 与反比例函数 y （x0）的图
2、象交于点 C若 ACBC4，则 k 的值为 9已知抛物线 yax 2+bx+c 经过 A（0，2），B（4，2），对于任意 a0，点 P（m ，n）均不在抛物线上若 n2，则 m 的取值范围是 10某校组织了主题为“经典诵读”的小视频征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A、B 、C 、D 四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两副不完整的统计图若该校共征集到800 份作品，请估计等级为 A 的作品约有 份11若直线 l1：y 2x+4 与直线 l2：y 3x2b 的交点在 x 轴上，则 b 12在平面直角坐标系中，以点 Q（2，0）为位似中心，把图形 S1 按相似比 2：1 放大得到图形S2（
3、即所得图形与原图形的相似比为 2：1），P（1，1）在图形 S1 上，则图形 S2 上与点 P 对应的点的坐标为 二选择题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）13共享单车的投放使用为人们的工作和生活带来了极大的便利，不仅有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保，据相关部门 2018 年 11 月统计数据显示，郑州市互联网租赁自行车累计投放超过 49 万辆，将 49 万用科学记数法表示正确的是（ ）A4.910 4 B4.910 5 C0.4910 4 D4910 414下列运算正确的是（ ）Aa 2a3a 6 Ba 3a3a C4a 32a 22a D（a 3） 2a 615
4、施工队要铺设 2000 米的下水管道，因在中考期间需停工 3 天，每天要比原计划多施工 40 米才能按时完成任务设原计划每天施工 x 米，所列方程正确的是（ ）A 3 B 3C 3 D 316如图，ABC 中，ADBC 于点 D，AD2 ，B30，S ABC 10 ，则 tanC 的值为（ ）A B C D17已知二次函数 yax 2+bx+c（a0），函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表所示x 1 0 1 2 3 y 2 3 6 7 6 下列说法错误的是（ ）A图象开口向下B抛物线的对称轴是直线 x2Cb 24ac0D当 1x3 时，y6三解答题（共 9 小题，满分 81 分）18（2
5、0 分）（1）计算： ；（2）先化简，再求值：（x ） ，其中 x ；（3）解方程： ；（4）解不等式组： 19（7 分）如图，点 C 在线段 AB 上，AD EB，ACBE，ADBC，CF 平分DCE求证：CFDE 于点 F20（7 分）不透明的袋子中装有 4 个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、4（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率（2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和等于 4”的概率21（7 分）下图是工人在施工时经常用的“人字梯”按规定，“人字梯”的上部夹角的安全范围是
6、35AOB 45且铰链必需牢固，并应有可靠的拉撑措施在人字梯的一 A，B 处和C，D 处（ABCD）各需系上一根高强度的软钢丝以确保用梯安全现测得 OAOB 2 米，在 A，B ，C ，D 处固定用去的钢丝忽略不计，则所需钢丝的长度应该在什么范围内？（结果精确到 0.1 米，参考据：sin17.50.30，cos17.50.95，tan17.50.32，sin22.50.38，Cos 22.50.92，tan22.50.41）22（7 分）如图所示的抛物线是将 yx 2 经过平移而得到的，这时抛物线经过原点 O，与 x 轴正方向的交点是 N，顶点是 M当OMN 90时，求抛物线的解析式和顶点坐
7、标23（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCO 的对角线 BO 在 x 轴上，若正方形ABCO 的边长为 2 ，点 B 在 x 负半轴上，反比例函数 y 的图象经过 C 点（1）求该反比例函数的解析式；（2）当函数值 y2 时，请直接写出自变量 x 的取值范围；（3）若点 P 是反比例函数上的一点，且PBO 的面积恰好等于正方形 ABCO 的面积，求点 P的坐标24（7 分）如图，ABC 与ADE 中，ACB AED90，连接BD、CE ，EACDAB （1）求证：ABCADE；（2）求证：BADCAE；（3）已知 BC4，AC3，AE 将AED 绕点 A 旋转，当点 E
8、 落在线段 CD 上时，求 BD的长25（9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ymx 28mx +4m+2（m2）与 y 轴的交点为A，与 x 轴的交点分别为 B（x 1，0），C（x 2，0），且 x2x 14，直线 ADx 轴，在 x 轴上有一动点 E（t，0）过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线、直线 AD 的交点分别为 P、Q（1）求抛物线的解析式；（2）当 0t8 时，求APC 面积的最大值；（3）当 t2 时，是否存在点 P，使以 A、P、Q 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由26（10 分）我们把两条中线互相垂直的三角形
9、称为“中垂三角形”例如图 1，图 2，图 3 中，AF，BE 是ABC 的中线，AFBE，垂足为 P像ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”设 BCa，ACb，ABc特例探索（1） 如图 1，当ABE 45，c 2 时，a ，b ；如图 2，当 ABE30， c4 时，求 a 和 b 的值归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你发现的关系式（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为 3 的菱形 ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，E，F 分别为线段 AO，DO 的中点，连接 BE，CF 并延长交于点 M，BM ，CM
10、分别交 AD 于点 G，H，如图 4 所示，求 MG2+MH2 的值2019 年江苏省镇江市南徐中学中考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一填空题（共 12 小题，满分 24 分，每小题 2 分）1【分析】根据相反数的定义解答即可【解答】解：分数 的相反数是 故答案是： 【点评】考查了相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，如 a 的相反数是a，m+n 的相反数是（m +n），这时（m +n）是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号2【分析】直接利用分式的定义分析得出答案【解答】解：分式 有意义，x+30，解得：x3故答案为：3【点评】此题主要考查了分式有意义的条件
11、，正确把握定义是解题关键3【分析】原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：x+y 1，xy 7，原式xy（x+y）7，故答案为：7【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键4【分析】根据二次函数的定义即可求解【解答】解：依题意得：m 12，解得 m3故答案是：3【点评】本题主要考查了二次函数的定义：一般地，形如 yax 2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中 x、y 是变量，a、b、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项y ax 2+bx+c（a、b、c 是常数，a 0）也叫做二次函数的一般形式5
12、【分析】延长 CD 交直线 b 于 B，利用平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到2 的度数【解答】解：如图，延长 CD 交直线 b 于 B，ab，CDa，ABD90，又1BAD45，2ABD+BAD 90+45135，故答案为：135【点评】本题主要考查了平行线的性质定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补6【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案【解答】解：C90， BC5，AB6，cosB 故答案为： 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握定义是解题关键7【分析】由 DEBC 可得出ADEABC，AEDACB，进而可得出ADEABC，再利用相
13、似三角形的性质可得出 ，代入 AD2，AB3，DE 4 即可求出 BC 的长【解答】解：DEBC，ADEABC，AEDACB，ADEABC， ，即 ，BC6故答案为：6【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键8【分析】作 CDx 轴于 D，则 OBCD，得出 ，进一步得出 ，由勾股定理得出 AC2AD 2+CD22（x+b） 2，整理得出 ，即可得出 kx （x+b）2【解答】解：作 CDx 轴于 D，则 OBCD， ，yx+b（b 为常数）的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，A（b，0），B（0，b），OAOB b，AOB 是等腰直角三角形，
14、ADC 也是等腰直角三角形，ADCD，C（x ，x +b），kx（x+b）， ，ACBC4，BC ， ， ，AC 2AD 2+CD22（x+b） 2， ，即 ，x（x+b）2 ，k2故答案为 2【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：平行线分线段成比例定理，勾股定理的应用，熟练掌握图象上点的坐标特征是解本题的关键9【分析】依照题意画出图形，由二次函数图象上点的坐标特征可得出当 n2 时 m0 或 m4，再结合图形即可找出：当 n2 时，若点 P（m ，n）均不在抛物线上，则 0m 4，此题得解【解答】解：依照题意，画出图形，如图所示当 n2 时，m0 或 m4，当 n2
15、时，若点 P（m，n ）均不在抛物线上，则 0m4故答案为：0m4【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键10【分析】求出 A 占的百分比，乘以 800 即可得到结果【解答】解：根据题意得：3025%120（份），则抽取了 120 份作品；根据题意得：800 240（份），则估计等级为 A 的作品约有 240 份故答案为：240【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键11【分析】依据直线 l1：y2x+4，求出当 y0 时 x 的值，得到与 x 轴的交点坐标，代入直线 l2即可得到 b 的值【解
16、答】解：直线 l1：y 2x+4 中，令 y0，则 x2，直线 l1 经过（2，0），又直线 l2：y 3x2b 也经过（2，0），03（2）2b，解得 b3，故答案为：3【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能熟练地根据性质进行推理和计算是解此题的关键12【分析】分两种情形画出点 P 的对应点 P，P即可解决问题【解答】解：有两种情形：当点 P在 QP 的延长线上时，P（4，2）当点 P在 PQ 的延长线上时，P（8，2）综上所述，满足条件的点 P 的对应点坐标为（4，2）或（8，2）故答案为（4，2）或（8，2）【点评】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识
17、，解题的关键是熟练掌握位似变换的性质，属于中考常考题型二选择题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）13【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a| 10，n 为整数，据此判断即可【解答】解：49 万4.910 5故选：B【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中 1|a| 10，确定 a 与 n 的值是解题的关键14【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案【解答】解：A、a 2a3a 5，故此选项错误；B、a 3a31，故此选项错误；C、4a 32a 2，无法计算，故此选项
18、错误；D、（a 3） 2a 6，故此选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项法则、幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键15【分析】根据“原计划所用时间实际所用时间3”可得方程【解答】解：设原计划每天施工 x 米，根据题意，可列方程： 3，故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程16【分析】首先解直角ABD，求得 BD，再根据 SABC 10 ，求出 BC，那么CDBCBD，然后在直角ACD 中利用正切函数定义即可求得 tanC 的值【解答】解：在ABD 中，ADB90，AD2 ，B30，BD 6S AB
19、C BCAD10 ， BC2 10 ，BC10，CDBCBD1064，tanC 故选：D【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出 CD的长17【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线 x 2，故选项 B 正确，该函数的顶点坐标是（2，7），有最大值，开口向下，故选项 A 正确，该函数与 x 轴有两个交点，故 b24ac0，故选项 C 正确，当 1x3 时，6y 7，故选项 D 错误，故选：D【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答
20、本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答三解答题（共 9 小题，满分 81 分）18【分析】（1）按实数混合运算法则进行计算（2）先把分式通分、因式分解再化简，然后进行计算（3）先确定最简共分母为（x+2）（x2），再按分式方程的解法步骤计算，注意解完方程必须检验（4）分别计算两个不等式的解集，再求其公共解集【解答】解：（1）原式 1+（ ） 261+ （2）（x ） x原式 1（3）两边同时乘以（x+2）（x 2），得：4+（x+2）（x2）x （x +2）4+x24x 2+2x2x0x0检验：当 x0 时，（x +2）（x 2）0原方程的解为 x0（4）解不等式：7（x+1 ）5x+3
21、7x+75x+37x5x372x4x2解不等式 ：3x4（x1）3x4x43x4x4x4不等式组的解集为3x4【点评】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，分式的运算，解分式方程，解一元一次不等式组，是常考题，解题关键细心计算19【分析】根据平行线性质得出AB，根据 SAS 证ACDBEC，推出 DCCE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可【解答】证明：ADBE ，AB ，在ACD 和BEC 中，ACDBEC（SAS），DCCE，CF 平分DCE，CFDE【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出 DCCE，主要考查了学生运用定理
22、进行推理的能力20【分析】（1）画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，找出两次取的球标号相同的结果数，然后根据概率公式求解（2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和等于 4 的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）画树状图为：共有 16 种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为 4，所以“两次取的球标号相同”的概率 ；（2）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和等于 4 的结果数为 2，所以“两次取出的球标号和等于 4”的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选
23、出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率21【分析】人字梯可简化为一个等腰三角形如右图，先作 OEAB 于 E，由等腰三解形三线合一的性质可知 OE 是AOB 的平分线，再根据题意判断出AOD 的取值范围，利用锐角三角函数的定义即可求出钢丝 AB 的取值范围从而求出所需的钢丝的长度【解答】解：如图作辅助线 OEAB 于，OAB 中，OA OB，且 OEAB，AOEBOE AOB，AEEB AB在 Rt OAE 中，sinAOEAEOA sinAOE由题意知：35AOB45当AOE17.5时，AE OAsinAOE 2sin17.50.6 米此时，
24、AB1.2 米，所需要的钢丝为 2.4 米当AOE22.5时，AE OAsinAOE 2sin22.50.76 米此时，AB1.52 米，所需要的钢丝为 3.1 米故所需钢丝的长度应该在 2.4 米到 3.1 米之间【点评】此题主要考查利用锐角三角函数解直角三角形利用锐角三角函数时要分清所求的锐角在直角三角形中的对边、斜边及邻边的位置22【分析】OMN 为等腰直角三角形，则可设 M 点坐标为（ m，m），将 M 点坐标代入二次函数表达式即可求解【解答】解：由题意得：OMN 为等腰直角三角形，则可设 M 点坐标为（m，m），则二次函数表达式为 y（xm ） 2+m，把 O 点坐标（0，0）代入上
25、式得： m1，m0（舍去），答：抛物线的解析式为 y（x1） 2+1 和顶点坐标（1，1）【点评】本题考查的是二次函数表达式求解方法，利用顶点式方程即可求解23【分析】（1）求出 C 点的坐标，即可求出函数解析式；（2）根据反比例函数的性质求出即可；（3）根据面积求出 P 点的纵坐标，再代入函数解析式求出横坐标即可【解答】解：（1）过 C 作 CEx 轴于 E，则CEB90，正方形 ABCO 的边长为 2 ，CO2 ， COE45 ，CEOE 2，即 k2（2）4，所以反比例函数的解析式是 y ；（2）把 y2 代入 y 得： x2，所以当函数值 y2 时，自变量 x 的取值范围是 x2 或
26、x0；（3）设 P 点的纵坐标为 a，正方形 ABCO 的边长为 2 ，由勾股定理得：OB 4，PBO 的面积恰好等于正方形 ABCO 的面积， 4|a|2 ，解得：a4，即 P 点的纵坐标是 4 或4，代入 y 得：x 1 或1，即 P 点的坐标是（1，4）或（1，4）【点评】本题考查了正方形的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键24【分析】（1）由已知可得CABEAD，ACB AED90，则结论得证；（2）由（1）知 ，EAC DAB ，则结论得证；（3）先证ABCADE，求出 AE、AD 的长，则 BD 可求【解答】证明：（
27、1）EACDAB，CABEAD，ACBAED90，ABCADE；（2）由（1）知ABCADE， ，EACBAD，BADCAE；（3）ACB90，BC4，AC 3，AB 5，ABCADE， ，AD ，如图，将AED 绕点 A 旋转，当点 E 落在线段 CD 上时，AECADB90，BD 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识25【分析】（1）直接根据题意列出方程组，求出 B，C 两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；（2）分 0t6 时和 6t8 时两种情况进行讨论，由此即可求出三角形的最大值；（3）以点 D 为分界点，分 2t8 时和 t8 时两
28、种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解【解答】解：（1）由题意知 x1、x 2 是方程 mx28mx+4m+20 的两根，x 1+x28， ，解得： ，B（2，0）、C（6，0），则 4m16m+4m+2 0，解得：m ，该抛物线解析式为：y ；（2）可求得 A（0，3），设直线 AC 的解析式为：y kx+ b， ， ，直线 AC 的解析式为：y x+3，要构成APC，显然 t6，分两种情况讨论：当 0 t6 时，设直线 l 与 AC 交点为 F，则：F（t ， ），P（t， ），PF ，S APC S APF +SCPF ， ，此时最大值为： ，当 6 t8 时，设直线 l 与
29、AC 交点为 M，则：M （t ， ），P（t， ），PM ，S APC S APF S CPF ， ， ，当 t8 时，取最大值，最大值为： 12，综上可知，当 0t8 时， APC 面积的最大值为 12；（3）如图，连接 AB，则AOB 中，AOB 90，AO3，BO2，Q（t，3），P（t， ），当 2 t6 时，AQt，PQ ，若：AOBAQP ，则： ，即： ，t0（舍），或 t ，若AOBPQA，则： ，即： ，t0（舍）或 t2（舍），当 t 6 时，AQt，PQ ，若：AOBAQP ，则： ，即： ，t0（舍），或 t ，若AOBPQA，则： ，即： ，t0（舍）或 t14，t
30、 或 t 或 t14【点评】本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考查了三角形相似的问题，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想解决问题26【分析】（1）在图 1 中，PBABsin45 2PA，即可求解；同理可得：a2 ，b2；（2）PBABcosc cos，PAcsin ，PF PA csin，PE csin，则 a2+b2（2AE ）2+（2BF） 2，即可求解；（3）证明：MG ME MB，MH MC，则 MG2+MH2 （MB 2+MC2），即可求解【解答】解：如图 1、2、3、4，连接 EF，则 E
31、F 是ABC 的中位线，则 EF AB，EF AB，EFP BPA， ，（1）在图 1 中，PBAB sin452PA，由得： PF1，b2BF2 2 a；同理可得：a2 ，b2 ；（2）关系为：a 2+b25c 2，证明：如图 3，设：EAB，则：PBABcosc cos，PAcsin ，由得： PF PA csin，PE csin，则 a2+b2（2AE） 2+（2BF） 2c 25（sin ） 2+（cos ） 25c 2；（3）AEOE EC，AGBC ，AG BC AD，则 EF BC AD，同理 HG AD，GH AD，GH EF，GHBC，EFBC，HGEF，MG ME MB，同理：MH MC，则 MG2+MH2 （MB 2+MC2） 5BC25【点评】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中（3），直接利用（2）的结论是本题的新颖点和突破点