1、2019 届 高 三 湖 北 名 校 联 盟 4 月 份 内 部 特 供 卷理 科 数 学 （ 二 ）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用
2、 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1设全集 UR，集合 4Mx， 2log1Nx，则 UMN（ ）A B 12C 43D 42x2已知复数 z满足 2i，则复数 z在复平面内对应
3、的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）A240，18 B200 ，20 C240，20 D200，184已知函数 21, xff，则 3f（ ）A 78B C1 D75在 C 中， 60A， 3， 4A，点 M满足 2BC，则 ABM等于（ ）A10 B9 C8 D76若实数 x， y满足102xya，如果目标函数 zxy的最大值为 3，则实数 a的值为（ ）A
4、1 B2 C3 D47下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 283B 483C 8D 16898执行如图所示的程序框图，若输入 201N，则输出的结果是（ ）A 2018B2018 C1009 D 1099已知点 ,M在抛物线 2:0Cxpy的准线上， F为 C的焦点，过 M点的直线与 C相切于点 N，则 F 的面积为（ ）A1 B2 C 12D410已知函数 sin2019cos201944fxxx的最大值为 M，若存在实数 m， n，使得对任意实数 总有 fmffn成立，则 mn的最小值为（ ）A 2019B 2019C 2019D 403811已知 22, , ,xyxy
5、xyx，若 ,P，且使 2zya的最大值为 b， （ a， b） ，则 1ab的最小值为（ ）A4 B2 C 43D 2312已知双曲线 210,xyab的左、右焦点分别为 1F、 2， A、 B分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点 O对称的两点，且直线 AB的斜率为 ， M、 N分别为 2F、 的中点，若原点 在以线段 MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A 3B 6C 63D 6第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 1310x的展开式中 2x的系数是_14在 ABC 中， ， 1BC，且 AB 的面积为 32，则 AC_1
6、5已知四棱锥 PD中，底面 是矩形， ， PB 是等边三角形，且平面P平面 ，若四棱锥 的外接球的表面积为 8，则 D_16已知函数 42e,0 xxmf，若 fx的所有零点之和为 2，则实数 m的取值范围为_三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （12 分）已知数列 na和 nb满足 123nba*N ，若数列 na为等比数列，且12a， 32b（1）求数列 na和 n的通项公式；（2）设 1nncb*N，求数列 nc的前 项和 nT18 （12 分）如图所示，在四棱锥 SA
7、BCD中，底面 ABC是正方形，对角线 AC与 BD交于点F，侧面 SBC是边长为 2 的等边三角形， E为 S的中点（1）证明： D 平面 E；（2）若侧面 底面 AB，求斜线 A与平面 B所成角的正弦值19 （12 分）中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道某机构随机抽取了年龄介于 10 岁到 60 岁的消费者 200 人，对他们的主要购物方式进行问卷调查现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如下图表：主要购物方式年龄阶段网络平台购物 实体店购物 总计40 岁以下 7540 岁或 40 岁以上 55总计（1）根据已知条件完成上述列联表，并
8、据此资料，能否在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？（2）用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取 8 人，然后再从这 8 名消费者抽取 5 名进行座谈设抽到的消费者中 40 岁以下的人数为 X，求 的分布列和数学期望附：参考公式 22nadbckd临界值表： 20PKk.50.250.10.50.103.841.46.357.89.8220 （12 分）已知点 E在椭圆 2:10xyCab上，以 E为圆心的圆与 x轴相切于椭圆 C的右焦点 2F，与 y轴相交于 A， B两点，且 AB 是边长为 2 的正三角形（1）求椭圆 C的方程；（2）已知
9、圆 218:5Oxy，设圆 O上任意一点 P处的切线交椭圆 C于 M， N两点，试判断PMN是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由21 （12 分）设函数 2lnfxax， R，（1）讨论函数 f的单调性；（2）设 0a，若存在正实数 m，使得对任意 1,xm都有 2lnfx恒成立，求实数 a的取值范围请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程 】已知极坐标系中，点 42,M，曲线 C的极坐标方程为 221sin，点 N在曲线 C上运动，
10、以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程为 6xty（ t为参数） （1）求直线 l的普通方程与曲线 C的参数方程；（2）求线段 MN的中点 P到直线 l的距离的最小值23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲 】已知函数 12fxx（1）求不等式 3f的解集；（2）若函数 yfx的图像最低点为 ,mn，正数 a， b满足 2manb，求 1ab的取值范围2019 届 高 三 湖 北 名 校 联 盟 4 月 份 内 部 特 供 卷理 科 数 学 （ 二 ） 答 案一 、 选 择 题 1 【答案】B【解析】集合 14Mx， 2log1Nx，解不等式得到
11、204xx，全集 UR， 2N或，根据集合的交集得到结果为 1故答案为 B2 【答案】A【解析】复数 z满足 2i1， 1i2i13i25z，对应点为 13,5，在第一象限故答案为 A3 【答案】A【解析】样本容量为 1502430%24，抽取的户主对四居室满意的人数为 154018，故选 A4 【答案】C【解析】函数 21, xff，则 31fff，故答案为 C5 【答案】D【解析】根据平面向量的三角形法则以及平面向量基本定理得到 2233ABMABABCABC212133C 119472，故答案为 D6 【答案】A【解析】根据不等式组画出可行域得到：目标函数 zxy，变形为 yxz，根据图
12、像得到当目标函数过直线 10y和 xya的交点时，取得最大值，交点坐标为 1,a代入得到 23a，故答案为 A7 【答案】B【解析】根据三视图得到原图是，边长为 2 的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心，故剩余的体积为： 3414828，故答案为 B8 【答案】D【解析】根据程序框图得到， 0S， 1n，满足判断框的条件，进入循环，01S， 2n，满足判断框的条件，进入循环， 3，满足判断框的条件，进入循环， 4，满足判断框的条件，进入循环， 123562017S， 2018n，满足判断框的条件，进入循环，4， 9，不满足判断框的条件，退出循环，输出 s值得到 34562
13、0178109S 故答案为 D9 【答案】B【解析】点 0,1M在抛物线 2:0Cxpy的准线上，可得到 2p，方程为 24xy，切点 ,Nxy，满足 24xy，过 M点的直线设为 1kx，和抛物线联立得到 0k，21601kk，取 k，此时方程为 240， 2,1N，FMN 的面积为 1122NSFMx，故答案为 B10 【答案】B【解析】函数 2sin2019cos2019sin019cos2cs019in244fxxxxxxsissin，则函数的最大值为 2， 2Mm，存在实数 ， n，使得对任意实数 x总有 ffxfn成立，则区间 ,m长度要大于等于半个周期，即 2019， min20
14、19，故答案为 B11 【答案】C【解析】根据集合的元素，指的是如下图所示的阴影部分所包含的点， ,PxyA， 22226zxyxyaxya，表示的是点 ,到点 ,的距离的平方，再减去 6，减去 ，根据圆的几何意义得到点 ,Pxy到点 2,的距离的最大值，是点 2,到圆心的距离再加半径，由两点间距离公式得到 2，max622zaba，11111423333babab ，故答案为 C12 【答案】C【解析】因为 M、 N分别为 2AF、 B的中点，故 OM平行于 1AF， ON平行于 1BF，因为原点 O在以线段 为直径的圆上，根据圆的几何性质得到 M垂直于 ，故得到 1垂直于 1，由 AB两点
15、关于原点对称得到，四边形 12AFB对角线互相平分，所以四边形 12F是矩形，设角 2O，根据条件得到 tan2， sin3， 1cos3，Ac， ,3c，将点 A代入双曲线方程得到：24244228198018909aceabc 1e解得 263ee，故答案为 C二 、 填 空 题 13 【答案】45【解析】10x的展开式中 1031021CCrrrrTxx，令 1032r，系数为 21045，故答案为 4514 【答案】 7【解析】在 ABC 中， 120， 1BC，且 AB 的面积为 32，由正弦定理的面积公式得到 32S，再由余弦定理得到 22cos107，故得到 7AC，故答案为 7
16、15 【答案】4【解析】面 PB的外接圆的圆心是 N，将圆心 按照垂直于面 PAB的方向提起，底面中心为M点，过点 竖直向上提起，两者的交点即为球心，如图，O是四棱锥 PABCD的外接球（半径为 R）的球心，则 OAPR设 Mh， 为三角形 的高的三分之一，即 32h，设 Ax，外接球的表面积为 28， 7R，229CBxAM，在三角形 OB中，根据勾股定理得到2229344xO，故答案为 416 【答案】 24e,1【解析】当 0x时， 4exxfm，满足 4exfmfx，故函数的对称轴为 2， exxfA， 20，故函数在 ,2,0A，当 0x时， fx，是二次函数，对称轴为 1，两根之和
17、为 2，若 f的所有零点之和为 2，则另外两根之和为 4，根据轴对称性，得到当 0x时，4exxfm，只需要这时的函数有两个零点即可，22440e0e11fm ，故答案为 24e,1三 、 解 答 题 17 【答案】 （1） 2na， 12nb， *N；（2） 12nT【解析】 （1） 123n ， 1ba， ，当 2n时， 1nba ， 1n，令 3，则 3，设 na的公比为 q， 2314a，又由题可知 0na， 2q，数列 n为等比数列， na，1232n nb， 12nb，故 2na， 12nb， *N（2） nnc，设数列 n和 21的前 项和分别为 nA和 B，则 12nnA， 2
18、1nb，2113231nB n ， 21nn， 2nnTAB，故 12nT， n*N18 【答案】 （1）见解析；（2） 05si3【解析】 （1）连接 EF，易证 EF为 BDS 的中位线，所以 EFDS 又 平面 AC， 平面 AC， 平面 AEC（2）取 的中点为 O， 的中点为 M，连结 O，则 B，因为侧面 SB底面 ，所以 面 SB，又 O，所以可建立如图所示的坐标系，则 0,12A， 31,02E， 3,0S， ,10， ,2D，从而 ,， ,BD， ,B，设平面 BDS的法向量为 ,xyzm，则 30xyz，取 1x，则 3y， z，所以 1,，设斜线 AE与平面 SB所成的角
19、为 ， ,AE，斜线 与平面 D所成角的正弦值，sinicos2AEm， 23105sin57，19 【答案】 （1）可以在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关；（2）见解析【解析】 （1）根据直方图可知 40 岁以下的消费者共有 20.12.310人，40 或 40 岁以上的消费者有 80 人，故根据数据完成列联表如下：主要购物方式 网络平台购物 实体店购物 总计年龄阶段40 岁以下 75 45 12040 岁或 40 岁以上 25 55 80总计 100 100 200依题意， 2K的观测值 2207545718.50.21801，故可以在犯错误的概率不
20、超过 .%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关（2）从通过网络平台购物的消费者中随机抽取 8 人，其中 40 岁以下的有 6 人，40 岁或 40 岁以上的有 2 人，从这 8 名消费者抽取 5 名进行座谈，设抽到的消费者中 40 岁以下的人数为 X，则 的可能取值为 3，4，5，且 23658C014PX； 142658C0P； 05268C3PX，则 的分布列为： X3 4 5P5112832851334.7284EX，故 X的数学期望为 .7520 【答案】 （1） 96xy；（2） 5MN【解析】 （1）由题意可知 2EFx轴，则2,bEca，又 ABE 是边长为 2 的正三角
21、形，则 23bAa，解得 29a， 26b，所以椭圆的方程为2196xy（2）当过点 P且与圆 O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 185x，由（1）知， 18,5M， 18,5N， 18,5OM， 18,5ON， 0ON， O，此时 2Pr 当过点 P且与圆 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为 ykxm设 1,Mxy， 2,xy，则 2185mk，即 2218联立直线和椭圆的方程 2196xy，得 223630kxm，得 0， 1223kmx，2183xk ,OMy， ,Ny， 121212xxkxm2 211kxmx223863mk 225188033k， ON， 2POr综上所
22、述， 185M为定值21 【答案】 （1）见解析；（2） 4a【解析】 （1） fx， （ 0x）若 0a，则 0，故 f在 ,为增函数；若 时，则 2afx， 02afxx ，故 fx在 0,2a为减函数，在 ,为增函数（2）若 ，则 1，由（1）知 fx在 ,为增函数，又 10f，所以 0fx对 1,恒成立，则 2ln2ln2lnffxa，设 gxa， （ 1） ，则 lfx等价于 0gx，2xaagx ， 20agx， 201agxx ，故 在 1,递减，在 2,递增，而 1，显然当 ,， 0gx，故不存在正实数 m，使得对任意 1,xm都有 2lnfx恒成立，故 02a不满足条件；若
23、，则 1，由（1）知 fx在 1,2a为减函数，在 ,2a为增函数， 10f，当 ,2ax时， 0f，此时 lnlnfxfx2ln0x，设 2lhax， 1,2a，此时 2lnfx等价于 0hx，xx ， ,，（i）若 24a， 1， 20a， hx在 1,2a为增函数， 10h， ,x， hx，故不存在正实数 m，使得对任意 1,m都有 2lnfx恒成立，故 24a不满足条件，（ii）若 ，易知 hx在 21,a为减函数，在 ,2a为增函数， 10h， ,2， 0x，故存在正实数 m， （可取 2a）使得对任意 ,xm都有 lnf恒成立，故 4a满足条件22 【答案】 （1） :60ly，
24、23cos:ixCy；（2） 【解析】 （1）直线 l的参数方程为 6xty（ 为参数） 直线的普通方程为 60xy曲线 C的极坐标方程为 22sin10，曲线 的直角坐标方程为 3xy，即214xy曲线 的参数方程为 2cosin， （ 为参数） （2）设 3cos,iN， （ 0） ，点 M的极坐标 42,化为直角坐标为 4,，则 3cos2,inP，点 P到直线 l的距离263cosin6d，当 cos16时，等号成立，点 P到 l的距离的最小值为 223 【答案】 （1） 40,3；（2） ,【解析】 （1）当 x时， 31fx，得 23x，所以 x；当 时， f，得 0，所以 1；当 1x时， 31fx，得 43x，所以 43x，综上， 40，不等式的解集为 0,（2）由 311xf x的图像最低点为 1,2，即 1m， 2n，所以 2ab，因为 0a， b，所以 21214142baab，当且仅当 时等号成立，所以 21ab的取值范围 4,