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广东省揭阳市2019年高考二模理科数学试题(含答案解析)

1、绝密启用前揭阳市 2019 年高考二模数学(理科)2019.4本试卷共 23 题,共 150 分,共 4 页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共

2、60分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 , ,则|1Mx|21NxyMNA B C D|21|0x1|2x答案:A考点:集合的运算。解析: , ,选 A。1|2NxMN1|2x2复数 的共轭复数的虚部为iA B C D1010310310答案:B考点:复数的概念,复数的运算。解析: ,共轭复数: ,虚部为12i5210ii510i103在各项都为正数的等比数列 中,首项 ,前三项和为 21,则na13345aA33 B72 C84 D 189答案:C考点:等比数列的通项公式。解析:因为 21,所以, 21, 代入,得123a211aq13a,各项为正,所以,q

3、2,26084345a123()a4. 已知向量 ,且 ()ab+,则 m=,(,mbA.8 B.6 C. 6 D. 8答案:D考点:平面向量的数量积。解析: ,依题意,有: ,(4,2)ab()0ab所以, ,即 ,解得:m8,30m1245已知双曲线 的虚轴长是 2,则实数 的值为2xyA B C D4141答案:C考点:双曲线的性质。解析:双曲线为: ,虚轴长:2 2,解得:m121xym6某公司 2018 年在各个项目中总投资 500 万元,右图是几类项目的投资占比情况,已知在 1 万元以上的项目投资中,少于 3 万元的项目投资占 ,那821么不少于 3 万元的项目投资共有A56 万元

4、 B 万元 C 万元 D 万元659147 5万1万3%1万5万万46%)答案:B考点:统计图。解析:由图可知,1 万元以上的项目投资占:10.460.330.2121%,5000.21105,少于 3 万元的项目投资占 ,则不少于 3 万元的项目投资占82 132105 65 万元。选 B。217 如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1 截去一个角后的多面体的三视图,尺寸如图所示,则这个多面体的体积为A B C D 126820主主主324答案:D考点:三视图,三棱锥的体积。解析:如下图,该几何体为截去一个三棱锥 DABC 后的几何体,V432 244201238. 我国古代数学专著九

5、章算术中有一个“两鼠穿墙题” ,其内容为:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半。问何日相逢?各穿几何?”右图的程序框图源于这个题目,执行该程序框图,若输入 ,则输出的结果为20xA3 B4 C5 D6 答案:C考点:程序框图产。解析:第 1 步:T2,S2,S20 成立,a2,b= ,n=2,12第 2 步:T2 ,S4 ,S20 成立,a4,b= ,n=3,14第 3 步:T ,S ,S20 成立,a8,b= ,n=4 ,758第 4 步:T ,S ,S20 成立,a16,b= ,n=5,6816第 5 步:T ,S ,S20 不成立,退出循环,输出 n

6、=5,2149设函数 ,则下列结论错误的是:()cos3in(2)fxxA2 为 f(x)的一个周期 By= f(x)的图像关于直线 x= 对称2C f(x)的一个零点为 x= D 的最大值 为 24答案:D考点:三角恒等变换。解析: ,()cos23in(2)fxxcos3s2x()31)cos2fx最小正周期为:T ,显然2 是它的一个周期,A 正确;函数图象的对称轴为: ,即 ,当 k1 时,对称轴为: ,B 正确;k零点为: ,即 ,当 k0 时,点为 x= ,C 正确;2xk14x4的最大值为 ,D 错误,选 D。()f310.以下四个数中,最大的是A B C D3ln1eln15l

7、n30答案:B考点:构造函数法,函数的导数及其应用。解析:构造函数 ,则 , , ,ln()xf3l()f1()feln15ln(),(15)30ff由 知函数 在 上单调递增,在 上单调递减,所以当 时,21l()fx()f0,e,xe有最大值,故选 B11.设 、 是椭圆 的左、右焦点, 为直线 上一点,1F22:1(0)xyEabP2xa21P是底边为 的等腰三角形,且直线 的斜率为 ,则椭圆 的离心率为:1F1PF3EA. B. C. D. 0358352答案:A考点:椭圆的性质,三角函数。解析:由题意可知 2122121244tan,coscs()cos,3 525acPFPFxFP

8、F解得 ,选 A.103ce12.已知函数 的图象上存在点 ,函数 的图象上存在点 Q,2()()fxx()3gxa且 P, Q关于原点对称,则实数 a的取值范围是:A B C D4,050,80,45,48答案:C考点:函数的导数及其应用。解析:设 ,则(,)Pmn1,2(,)Qmn由 得23a2 330,2am令 ,则 , ,1tm3t321,(),()tpttpt在 单调递减,在 单调递增,()p,22且 解得 .(1),(),2,8pa04a二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13若 , 满足约束条件 ,则 的最小值为 xyy02x32zxy答案:0考点:线性规

9、划。解析:不等式表示的平面区域如下图所示,目标函数 经过点 O(0,0 )时,取得最小值为 0。32zxy14 展开式中 的系数为 421()x2x答案:5考点:二项式定理。解析: ,系数为 5。24421C()xx215已知等差数列 na的前 项和为 nS,若 ,当 时, 的最大值为 4810,36SnN3naS答案:17考点:等差数列的通项公式,前 n 项和,函数的单调性。解析:由 解得 , ,1460823ad1,ad1()nan(1)2S3 2,()7n nS 由函数 的单调性可知当 或 4 时, 取得最大值 .12()fx33naS1716.已知底面为矩形的四棱锥 的各个顶点都在半径

10、为 2 的球面上,且 ,SABCD 3,ABC则四棱锥 体积的最大值为 S答案: 3考点:四棱锥与球的结构特征,棱锥的体积。解析:显然球心 O 在平面 ABCD 的射影为 AC 的中点 M,则 22223()3,(3)1,ACM所以四棱锥 的高的最大值为 3,SABCD此时四棱锥 体积的为 1三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17 题 第 21 题:为必考题,每个试题考生都必须做答第 22 题 第 23 题为选考题,考生根据要求做:答(一)必考题:共 60 分17.( 12 分)已知 的三个内角 、B、C 的对边分别为 、 、 , 的面积为 S,且 .ABC

11、AabcABC243aS(1 )若 且 ,求 边的值;061ba(2 )当 时,求 的大小.3c18.(12 分)已知如图,四棱锥 中,底面 为矩形, 平面 ,PABCDABPABCDE、F 分别为 PC 的三等分点(1)证明: 平面 ;/E(2)已知 , ,求二面角 的余弦值.12EDEFCBDAP19 ( 12 分)已知抛物线 的焦点为 F,过点 的直线 与抛物线 交于 两点.2:4xy(2,)PlC,AB(1) 当点 为 A、B 的中点时,求直线 的方程;PAB(2 )求 的最小值 .F20.(12 分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表:质量指标值 m25

12、3或152m354或015m465等级 一等品 二等品 三等品某企业从生产的这种产品中抽取 100 件产品作为样本,检测其质量指标值,得到右图的频率分布直方图. (同一组数据用该区间的中点值作代表):(1 )根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合 “一、二等品至少要占全部产品 82%”的规定?(2 )该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足 ,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升或降X2(31,)N:低多少?650.5万万0.12 5435251550.18万/万0.20.6(3)若企业每件一等品售价 180

13、元,每件二等品售价 150 元,每件三等品售价 120 元,以样本中的频率代替相应概率,现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为 (单位:元) ,求X的分布列及数学期望.X21.( 12 分)已知函数 .()(1)()xfemR(1 )若函数 的极小值为 1,求实数 的值;(2 )当 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.0x()ln()02fxm(二)选考题:共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系 中,直线 ,圆 ,以坐标原点为极点,xOy1:3Cyx222:15y轴的正

14、半轴为极轴建立极坐标系.x(1)求 的极坐标方程 ;12,C(2)若直线 的极坐标方程为 ,设 与 的交点为 圆 与 的交点为3R61C2,OA2C3,求 的面积.,OBA23. 选修 4 5:不等式选讲 (10 分)已知正实数 x, y 满足 1x(1 )解关于 x 的不等式 ; 522y(2 )证明: .219揭阳市 2019 高考二模数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分

15、,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B C D C B D C D B A C二、填空题题序 13 14 15 16答案 0 5 17317 解:(1)解法 1:由 和 得 ,-2 分sin2SabC243S2sinabC又 且 , ;-5 分06C3【解法 2:由正弦定理 和 得-2 分sinicA1sin2cA由 -4 分2433siaSabaC又 且 , -5 分】06,i3,(2 )解法

16、 1:由 和 得-7 分22cos2sinbcA-9 分23sinc(in)()66bcA-11 分21,342b又 所以 A 的值为 .-12 分2sin(),60,3【解法 2:由 和 得 ,1sinSbcA243aS2sinabcA又 ,所以 ,-7 分2oa2icos两边除以 得 ,-8 分23si1()cosbb又 ,得 ,2cb(in843(2)csAA所以 ,即 ,-10 分3sincosA2scoin6得 ,又 ,所以 ,i()16762得 .-12 分】318.解:(1)证明:连接 AC 交于 BD 点 O,连接 EO.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 AC 的中点又 E

17、、F 分别为 PC 的三等分点,E 为 CF 的中点,所以 AFEO . -2 分因为 EO平面 BDE,AF 平面 BDE,所以 平面 .-4 分/AFBD(2 )以 A 为原点,AD 、AB、AP 的分别为 轴方向建立空间直角坐标系,如图所示由条件可得,xyz,-5 分1,0,21,01CP,-6 分44,33PEE, 为平面 ABD 的一个法向量,-8 分,DB1,0n设面 BDE 的一个法向量为 ,则2nxyzyCBADPEFxzCBADPEFO,即 ,取 ,则 ,20nDBE20143xyz1y2,xz所以 ,-10 分2,,1212cos,3|n所以二面角 的余弦值为 .-12 分

18、DAEC219 解 (1)解法 1:设 , , ,-1 分1,xy2,By214,xy显然 ,两式相减得 -4 分21224k所以直线 的方程为 .即 .-5 分A()yx0y【解法 2:设 , ,显然直线 有斜率,1,x2,Bl设 的方程为 -1 分l()k联立方程 ,消去 整理得24yxx2 2414()0ykyk由 解得 ( 明显不成立)-4 分11k1k0所以直线 的方程为 .即 .-5 分】AB2()y【解法 3:设 , ,显然直线 有斜率,设 的方程为 -11,x,ll(2)ykx分联立方程 ,得 ,2()4yk248(1)0xk所以 ,又 ,解得 ,-4 分1x12所以直线 的方

19、程为 ,即 .-5 分】AB()yxy(2)解法 1:显然直线 有斜率,设 的方程为 -5 分ll(2)kx设 , ,由抛物线定义可知 , ,-,xy2, 1AF21By-6 分所以 -7 分12122AFByy联立方程 ,消去 整理得2()4ykxx 2414()0kyk, -9 分1212()yk所以 212 3981984AFBk所以当 时, 取得最小值,且最小值为 .-12 分34kAFB 92【解法 2:由抛物线定义可知 , , -6 分1y21Fy所以 ,-7 分122AFBy,由(1)知 ,得 ,214xy18()xk2124()k,-9 分224k4所以23989AFBk 所以

20、当 时, 取得最小值,为 .-12 分】34kF20 解:(1)根据抽样调查数据知,样本中一等品和二等品共有:(件)0.5+8.2108(在样本中所占比例为 80%,因此不能认为这种产品符合规定-2 分(2)由频率分布直方图知,活动前样本的均值为,.530.1240.65.2603.8活动后的均值为 ,所以均值降低了 1.8;-4 分1(3)由样品估计总体知,该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为 二等品的概率为 ,1,310三等品的概率为 -5 分,5随机变量 的所有可能取值为 240,270,300 ,330,360. -6 分X1213(240),(70),25PPXC393,5C12

21、1(0),(60).024X所以 的分布列为:-10 分的数学期望X-12 分132931240706038.514EX21. 解:(1 ) ,若 ,则 ,()xfem()fx在 单调递增,所以 无极值-2 分,240 270 300 330 360()P214若 ,当 时, ,当 时, ,0mlnx()0fxlnm()0fx在 单调递减,在 单调递增,()f,)l,)所以 的极小值为 由 ,解得 -5 分x(l),fm(11(2 )方法 1:令 ( )-6 分()1ln)2xgex0,令 ,2()x()(1)he,令 ,21()()xemh2()xpxm显然 在 单调递增, .-8 分p0,

22、(0当 时, , 在 单调递增,2(),x()h)hx,),即 , 在 单调递增,()1mhg(g所以 ,此时符合题意;-10 分(0)gx当 时, 使 ,故 在 恒为负值,2,p0(,)x0()px()px0,)在 单调递减,此时 ,()hx0,) 12mh所以 在 单调递减,所以 ,此时不符合题意,g(x()gx故所求 的取值范围为 .-12 分m(,2【方法 2:把 代入不等式 得 ,下面验证当 时,0x)ln(1)0mfx22m不等式 对 恒成立,-7 分(1)2ex令 -8 分()l()xg,令 ,2(1)xme2(1)xmhe,当 时, ,又 ,2()()xh0,又 , , 在 单

23、调递增,-11 分21()mxxe()hx()0,),所以 在 单调递增,()012mhx()gx0,),故所求 的取值范围为 -12 分】()0g(,222.解:(1 )因为 cosx, siny,-1 分所以 1C的极坐标方程为 ,即 ,-3 分i3co03R2的极坐标方程为 . -4 分2s4i即 -5 分cos4in0(2 ) 代入 ,解得 .-7 分32cosin0123代入 ,解得 .-8 分62故 的面积为 .-10 分OAB53123sin6423.( 1)解: ,0,xyy且-2 分152522x01011()xxx解得 ,所以不等式的解集为 -5 分6x,)6(2 )解法 1: 且 , 1,y0,y2222()()()xxyx. -9 分22y 22()()yxy5x259xy当且仅当 时,取“=”. -10 分1x【解法 2: 且 ,,y0,y-6 分22211()xx-8 分2()y 22(1)()xyx1yx当且仅当 时,取“=”. -10 分】21xy219()y12xy