1、第 1 页，共 18 页山东省聊城市 2019 届高三二模数学（文）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 设集合 A=x|2x-40，B=x|1 x4 ，则 AB=（ ）A. B. C. D. 1,+) (2,4) (1,4) (1,2)2. 已知 a，bR，（a-i）i=b-2i，则 a+bi 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 2 2+ 2 2+3. 对于实数 a，b，c，“ab”是“ac 2bc 2”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 连续投掷一颗骰子两次，第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概
2、率是（ ）A. B. C. D. 518 12 512 7125. 已知函数 则 f（2019）=（ ）()=(2),21+2,2.A. 2 B. C. D. 1 2 +46. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，F，F，G，H 分别为棱 A1B1，BB 1，CC 1，C 1D1 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A. 平面 EFGH B. 1/ 1/C. D. 平面 平面/ / 117. 1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘 3 加 1，如果它是偶数，对它除以 2，这样循环，最终结果都能得到 1有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都
3、是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出 i 的值为（ ）A. 8 B. 7 C. 6 D. 58. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图都是两个正方形，俯视图为一个圆及圆中互相垂直的半径，则该几何体的体积为（ ）A. 54B. 32第 2 页，共 18 页C. 74D. 29. 函数 的图象大致为（ ）()=2+()A. B. C. D. 10. 将函数 y=sin2x 的图象向右平移 （ 0）个单位后与 y=-sin2x 的图象重合，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 6 4 3 211.
4、已知ABC 中，AB=AC， D 是边 BC 上一点，若 BD=1，AD =2，DC=3，则 ABC的面积为（ ）A. 2 B. C. 4 D. 23 4312. 已知 f ，若 g()为函数 ()的导数 ， 且 ()=122(0)+(1)1+x，方程 g（x）-ax=0 有且只有一个根，则 a 的取值范围是（ ()=()122）A. ， B. (,0) +) (,C. D. (,0)二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知实数 x，y 满足 则 z=y-2x 的最小值是_2+30.0，1， 14. 已知向量 =（m，1）， =（4，m）， =| | |，则 m=_ 15
5、. 已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 的右焦点，过点 F 的直线在：22+22=1( 0)第一象限与椭圆 C 交与点 P，且 POF 为正三角形，则椭圆 C 的离心率为_16. 已知函数 的最大值是 ，则 tan=_()=(+)(2 2) 23三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知数列 是等比数列，且 a1=3，a 3=72（1）证明：数列a n是等差数列，并求出其通项公式；（2）求数列 1(1)(+1)的前 项和 第 3 页，共 18 页18. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为 CD 的中点，以 AE 为折痕把ADE 折起，使点 D 到达点 P
6、的位置，且PAB =60（1）求证：平面 PEC平面 PAB；（2）若三棱锥 E-PEC 的体积为 ，求该三棱锥的表面积3319. 已知点 F（2，0）是抛物线 C：y 2=2Px（P0）的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线C 交于 A，B 两点（1）若|AB|=16，求直线 l 的方程；（2）点 M 是点 A 关于 x 轴的对称点，O 为坐标原点，试判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由，20. 某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取 100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图 1）：第 4 页，共 18 页质量指标值分组 65，75） 75，85） 85，95
7、） 95，105） 105，115频数 5 20 40 25 10销售时质量指标值在65，75 ）的产品每件亏损 1 元，在75，105）的产品每件盈利 3 元，在105，115|的产品每件盈利 5 元（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该企业为了解年营销费用 x（单位：万元）对年销售量 y（单位：万件）的影响，对近 5 年年营销费用 xi和年销售量 yi（i =1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到如图 2 的散点图及一些统计量的值ui5=1vi5=1 （u i ）（v i-5=1 ） （u i ） 25=1 16.30 23.20 0.81 1.62表中 ui=lnxi，v i=ln
8、yi， = ui， = vi155=1 155=1根据散点图判断，y=ax b可以作为年销售量 y（万件）关于年营销费用 x（万元）的回归力程求 y 关于 x 的回归方程；用所求的回归方程估计该企业应投人多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售利润营销费用，取 e3.01=20）附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），（u n，v n）其回归直线 v=+u 均斜率和截距的最小二乘估计分别为 = ， = 5=1()()5=1()2 21. 已知函数 f（x ）=(1)（1）求函数 f（x ）的单调区间；（2）若 x1 时， 1-xf（x ）e x-1，求
9、 a 的取值范围22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 （ 为参数）以原点 O 为极点，： =1+2,=1+2,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 (+4)=22第 5 页，共 18 页（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 与直线 l 交于 A，B 两点，点 P（1，0），求 的值|+|23. 已知函数 f（x ）=2| x+1|-|x-2|（1）求不等式 f（x ）3 的解集；（2）若 xa， 1，（其中 a1），f（x ）|x-a|恒成立，求实数 a 的取值范围第 6 页，共 18 页答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合 A=
10、x|2x-40=x|x2， B=x|1x4， AB=x|2 x4=（2，4 ） 故选：B 分别求出集合 A，B，由此能求出 AB本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性 质等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题2.【答案】A【解析】解：由（a-i）i=1+ai=b-2i，得 ，a+bi=-2+i，其共轭复数为-2-i故选：A利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得 a，b 的值，则答案可求本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题3.【答案】B【解析】解：主要考查不等式的性质当 C=0 时显然左边无法推导出右边，但右 边可以推出左边 故选：B 不等式的基本性
11、质，“ab”“ac 2bc 2”必须有 c20 这一条件充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件4.【答案】C【解析】解：连续投掷一颗骰子两次，基本事件总数 n=66=36第一次向上的点数比第二次向上的点数小包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共 15 个，第 7 页，共 18 页第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率是 p= 故选：C 基本事件总数 n=66=36利用列举法能求出第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率
12、本题考查概率的求法，考查古典概型、列 举法等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题5.【答案】A【解析】解：根据题意，函数 ，则 f（2019）=f（2017）=f（1），又由 f（1）=e0+1=2；故选：A根据题意，由函数的解析式分析可得 f（2019）=f（2017）=f（1），进而求出f（1）的 值，即可得答案本题考查分段函数的求值计算，关键是分析函数的解析式，属于基础题6.【答案】D【解析】解：在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，F，F，G，H 分 别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1 的中点在 A 中， AD1 与 GH 相交，故 AD1 不平行于平面EFGH，故 A 错
13、误；在 B 中，BD1CD1=D1，CD1GH，故 BD1 不可能平行于 GH，故 B 错误；第 8 页，共 18 页在 C 中，BDA 1B=B，A1BEF，故 BD 与 EF 不可能平行，故 C 错误；在 D 中， EFA1B，FGBC，A1BBC=B，EFFG=F，平面 EFGH平面 A1BCD1，故 D 正确故选：D在 A 中， AD1 与 GH 相交，从而 AD1 不平行于平面 EFGH；在 B 中，BD1CD1=D1，CD1GH，从而 BD1 不可能平行于 GH；在 C 中，BDA1B=B，A1BEF，从而 BD 与 EF 不可能平行；在 D 中，EFA1B，FGBC，从而平面 E
14、FGH平面 A1BCD1本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7.【答案】A【解析】解：a=3， a=1 不满足，a 是奇数满足， a=10，i=2， a=10，a=1 不满足，a 是奇数不满足， a=5，i=3， a=5，a=1 不满足，a 是奇数满足， a=16，i=4， a=16，a=1 不满足，a 是奇数不满足， a=8，i=5， a=8，a=1 不满足，a 是奇数不满足， a=4，i=6， a=4，a=1 不满足，a 是奇数不满足， a=2，i=7， a=2，a=1 不满足，a 是奇数不满足， a=1，i=8， a=1，
15、a=1 满足，输出 i=8， 故选：A根据程序框图进行模拟运算即可本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键比较基础8.【答案】C【解析】第 9 页，共 18 页解：由已知中的三视图可得：该几何体为两个圆柱的组合体；上面的圆柱去掉 部分的组合体，底面半径为：1， 圆柱的高为 1，故体积 V= = ，故选：C 由已知中的三视图可得：该几何体为一个长方体与半球的组合体，进而可得答案本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度不大，属于基础题9.【答案】A【解析】解：f（-x）= =-f（x）则 函数 f（x）是奇函数，排除 C，分母 2+cosx0，则当 0x 时，sinx
16、0，则 f（x）0，排除 D，f（ ）= = f（ ）= ，则 B 不满足条件故选：A利用函数的奇偶性得到图象关于原点对称，利用 f（ ）f（ ），进行排除即可本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键10.【答案】D【解析】解：y=sin2x 的 图象向右平移 （0）个单位后得到 y=sin2（x+）=sin（2x+2）与 y=-sin2x=sin（2x+）的图 象重合，则 2=+2k，即 = +k，当 0 时，当 k=0 时，= 取得最小值，故选：D利用三角函数的图象平移关系建立方程求出 的值即可第 10 页，共 18 页本题主要考查三角函
17、数的图象变换，结合三角函数的性质建立方程是解决本题的关键比较基础11.【答案】B【解析】解：BD=1， AD=2，DC=3，AB=AC，设 AB=AC=x，则在ABD 中，由余弦定理可得：cosADB= = ，在ACD 中，可得：cosADC= = ，cosADB=-cosADC， =- ，解得：x= ，即：AB=AC= ，在ABC 中，由余弦定理可得：cosB= = = ，可得：sinB= = ，SABC= ABACsinB= =2 故选：B 设 AB=AC=x，则在ABD 中，由余弦定理可求 cosADB，cosADC，根据cosADB=-cosADC，解得 x，在 ABC 中，由余弦定理
18、可得 cosB，利用三角函数基本关系式可求 sinB 的值，利用三角形的面 积公式即可计算得解本题主要考查了余弦定理，三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题12.【答案】D【解析】解：由 ，得 f（0）=f（1）e-1f（x）=x-f（0）+f（1）ex-1f（1）=1-f（1）e-1+f（1），f（1）=e则 f（0）=ee-1=1则 f（x）= g +x=ex第 11 页，共 18 页方程 g（x）-ax=0 即 ex=ax，x=0 时 方程显 然无解；x0 时，对于任意 a0，函数 y=ex 与 y=ax 有一个交点，满足题意；x
19、0 时，则 a= ，令 h（x）= ，则 h（x）= 当 x（0，1）时，h（x）0，当 x（1，+）时， h（x）0，h（x）在（ 0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，又当 x0 +时，h（x）+，当 x+时，h（x）+h（x）在（ 0，+）时的图象如图：由图可知，a=e 时，方程 a= 有一根，综上，a 的取值范围为（-， 0）e故选：D由已知求得 f（0），把原函数求导后可得 f（1）=e，求得函数解析式，代入 g+x 化简，方程 g（x）-ax=0 有且只有一个根，分 x=0，x0 及x0 三棱分析，x0 时转化为 a= 有且只有一个实数根，令 h（x）= ，利用导数研究单调性
20、，再数形结合得答案本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题13.【答案】-1【解析】第 12 页，共 18 页解：由已知得到平面区域如图：由 z=y-2x，则 y=2x+z，由它在 y 轴的截距最小，得到 z 最小，由图可知当直线过 A（1，1）时， z 最小，所以最小值为 1-21=-1；故答案为：-1 画出可行域，由 z=y-2x，则 y=2x+z，由它在 y 轴的截距最小，得到 z 最小本题考查了简单线性规划问题；只要正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值即可，属于中档题14.【答案】2【解析】解：向量 =（m，1）， =（4，m），
21、 =| | |，可得 4m+m= ，解得 m=2，m=-2（舍去）故答案为：2直接利用向量的数量积的运算法则，化简求解即可本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查15.【答案】 31【解析】解：椭圆 上存在点 P 使POF 为正三角形，设 F 为 右焦点，|OF|=c，P 在第一象限，点 P 的坐标为（ ， c）代入椭圆方程得： ，e= ，即 + =1，e（0，1）解得 e= -1故答案为： 由于|OF|为半焦距 c，利用等边三角形性质，即可得点 P 的坐标，代入椭圆标准方程即可得椭圆的离心率第 13 页，共 18 页本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其
22、求法，属基础题16.【答案】24【解析】解：因为 f（x）=sin（x+）cosx= sin（2x+）+sin，又 y=f（x）的最大值为 ，得 （1+sin）= ，所以 sin= ，又因为- ，所以 cos= ，所以 tan= = ，故答案为： 由积化和差公式得：f（x）=sin（x+）cosx= sin（2x+）+sin，由三角函数的最值得：y=f（x）的最大值为 ，得 （1+sin）= ，所以 sin= ，又因为-，所以 cos= ，所以 tan= = ，得解本题考查了积化和差公式及三角函数的最值，属中档题17.【答案】解：（1）证明：数列 是公比为 q（q0）的等比数列，且2a1=3，
23、a 3=7可得 2 =2 q2=8q2=128，3 1解得 q=4，即有 =q=4，即 an-an-1=2，221可得数列a n是首项为 3，公差为 2 的等差数列，可得 an=3+2（n-1 ）=2 n+1；（2） = = （ - ），1(1)(+1) 12(2+2)14 1 1+1则数列 = （1- + - + - ）1(1)(+1)的前 项和 14 121213 1 1+1= （1- ）= 14 1+1 4(+1)【解析】第 14 页，共 18 页（1）数列 是公比为 q（q0）的等比数列，运用等比数列的定义和通项公式可得数列a n是首项为 3，公差 为 2 的等差数列，可得所求通项公式
24、；（2）求得 = = （ - ），运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和本题考查等比数列和等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题18.【答案】证明：（1）四边形 ABCD 是正方形，折起后 PEPA，且 PA=AB，PAB=60，PAB 是正三角形， PB=PA，正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，EA=EB，PAEPBE，EPB= EPA，PEPB，PAPB=P，PE平面 PAB，又 PE平面 PEC， 平面 PEC平面 PAB解：（2）设正方形的边长为 a，由（1）知 PE平面 PAB，且PAB 是边长为 a 的正三角形，三棱锥
25、E-PEC 的体积为 ， = ，解得 a=233 =133422 33该三棱锥的表面积：S=SPAE+SPBE+SPAB+SEAB=1221+1221+3422+1222=4+ 3【解析】（1）折起后 PEPA，且 PA=AB，从而 PAB 是正三角形，推导出 PEPB，从而 PE平面 PAB，由此能证明平面 PEC平面 PAB（2）由三棱锥 E-PEC 的体积为 ，求出正方形的 边长为 2，由此能求出该三棱锥的表面积本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查运算求解能力，是中档题第 15 页，共 18 页19.【答案】解：由点F
26、（2，0）是抛物线的焦点，得 =2，p=4，2所以抛物线的方程为y2=8x设直线 l 的方程为：x=my+2，与 y2 联立消x，得 y2-8my-16=0，设 A（x 1，y 1），B（x 2， y2），则y1+y2=8m，y 1y2=-16（1）|AB|=x1+x2+p= + +4= +4= +4=16，218228 (1+2)22128 (8)2+328解得 m=1 或 m=-1，即直线 l 的方程为 x-y-2=0 或 x+y-2=0（2）点 M 是点 A 关于 x 轴的对称点，所以 M（x ），11所以 =（x 1，-y 1）（x 2，y 2）= x1x2-y1y2= +16=20，
27、 16264即 为定值 20【解析】由 =2，得 p=4，得抛物线方程为 y2=8x，设出直线 l：x=my+2 代入抛物线，根据韦达定理得 y1+y2，y1y2（1）根据抛物线的定义以及|AB|=16 可求得 m，可得直线 l 的方程；（2）根据 A 的对称点以及向量数量积公式可得本题考查了直线与抛物线的综合，属中档题20.【答案】解：（1）抽取的 100 件产品平均一件的利润为11005(1)+853+105=3即可估计该企业生产的产品平均一件的利润为 3 元；（2）y=ax b得， lny=lna+blnx，令 u=lnx，v=lny ，c =lna，则 v=c+bu，由表中数据可得，
28、则 = 23.2050.516.305=3.01v=3.01+0.5u，即 lny=3.01+0.5lnx=ln（e 3.01x0.5）e3.01=20， y=20x0.5第 16 页，共 18 页故所求的回归方程为 y=20x0.5；设年收益为 z 万元，则 z=3y-x=320x0.5-x令 t=x0.5，则 z=60t-t2=-（t-30） 2+900当 t=30 时，即 x=900 时，z 有最大值 900即该企业应该投入 900 万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大 900 万元【解析】（1）由频率分布表结合已知数据即可求解；（2）由 y=axb 得，lny=lna+bl
29、nx，令 u=lnx，v=lny，c=lna，则 v=c+bu，结合表中数据求得 与 的值，得到 v=3.01+0.5u，进一步求得 y 关于 x 的回归方程；设年收益为 z 万元，则 z=3y-x=320x0.5-x，然后利用换元法求解本题考查线性回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题21.【答案】解：（1）f（x）= ，(1)函数 f（x）的定义域为（0， +），且 f（x）= 12令 f（x）0 ，得 lnx1-a，解得 0xe 1-a，令 f（x）0 ，得 lnx1-a，解得 xe 1-a函数 f（x）的单调递增区间为（ 0，e 1-a），递减区间为（e 1-a，
30、+ ）；（2）当 x1 时， 1-xf（x ）e x-1 等价于 ex-1+lnx-ax+a-10设 g（x）= 1+1=+1则 g（x）= ，设 h（x）=g（x），有 h（x）= 1+1 112当 x1 时，h（x ）0，h（x）在1，+）上单调递增，即 g（x）在1，+ ）上单调递增，因此 g（x） min=g（1）=2-a当 a2 时，g（1）0，g（x）0 在1，+）上恒成立，g（ x）在1 ， +）上单调递增又 g（1）=0， g（x）0 在1，+ ）上恒成立，符合题意当 a2 时，g（1）0，存在 x0（1，+），使得当 x（1，x 0）时，g（x）0，从而 g（x）在1 ，x
31、0上单调递减，又g（1）=0 ，当 x（1，x 0）时，g（x）0，不合题意综上，a 的取值范围为（-，2 【解析】（1）求出原函数的导函数，分别由导函数大于 0 和小于 0 求解原函数的增区第 17 页，共 18 页间与减区间；（2）当 x1 时，1-xf（x）e x-1 等价于 ex-1+lnx-ax+a-10，设 g（x）=，利用两次求导求解 a 的取值范围本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题22.【答案】解：（1）消去参数 可得曲线 C 的普通方程为：（x-1） 2+（y+1） 2=4，利用互化公式可将直线 l 的极坐标方程 cos
32、（+ ）= 化为直角坐标方程为 x-y-1=04 22（2）点 P（1，0）在直线 l 上，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），=1+22=22 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程化简得 t2+ t-3=0，2设点 A，B 所对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1+t2=- ，t 1t2=-3，2所以 + = + = = = = | | |1|2| |2|1|21+22|12| (1+2)2212|12| (2)22(3)|3| 83【解析】（1）消去参数 可得曲线 C 的普通方程为：（x-1） 2+（y+1）2=4，利用互化公式可将直线 l 的极坐标方程 cos（+ ）=
33、化为直角坐标方程为 x-y-1=0；（2）利用直线参数方程中参数 t 的几何意义可得本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23.【答案】解：（1）函数 f（x ）=2|x+1|-|x-2|= ；+4， 23， 1 24， 1当 x2 时，不等式 f（x）3 化为 x+43，解得 x-1，所以 x2；当-1x 2 时，不等式 f（x ） 3 化为 3x3，解得 x1 ，所以 1x2；当 x-1 时，不等式 f（x）3 化为-x-43，解得 x-7 ；综上所述，不等式 f（x ）3 的解集为 x|x-7 或 x1；（2）xa，1时，不等式 f（x ）|x-a|等价于 2|x+1|-（2-x）x-a，等价于 xa， 1时，2|x +1|2-a 恒成立，等价于 xa， 1时，a-22x +22-a 恒成立，即 x- 恒成立；42 2所以 a，且 1- ，42 2解得-4a-2 ，所以实数 a 的取值范围是-4，-2【解析】第 18 页，共 18 页（1）利用分类讨论法去掉绝对值，求出不等式 f（x）3 的解集即可；（2）xa，1时不等式等价于 2|x+1|-（2-x）x-a，即 2|x+1|2-a，解得 x-，再转化为 a，且 1- ，从而求得 a 的取值范围本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题