1、2019 年陕西省咸阳市武功县中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）（2019） 1 等于（ ）A2019 B2019 C D2（3 分）下列图形中，经过折叠可以得到四棱柱的是（ ）A BC D3（3 分）如图，已知 a、b、c、d 四条直线，ab，cd，1110，则2 等于（ ）A50 B70 C90 D1104（3 分）对于正比例函数 y2x，当自变量 x 的值增加 1 时，函数 y 的值增加（ ）A B C2 D25（3 分）下列运算正确的是（ ）Ax 3x3x 9 Bx 8x4x 2 C（ab 3） 2ab 6 D（2x ） 38x 36（3 分）如图，
2、在 RtABC 中，ACB90，A65，CDAB，垂足为 D，E是 BC 的中点，连接 ED，则EDC 的度数是（ ）A25 B30 C50 D657（3 分）已知一次函数 ykx+b 的图象经过 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），且 x21+x 1 时，y2y 12，则 k 等于（ ）A1 B2 C1 D28（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB4若以 CD 边为底边向其形外作等腰直角DCE，连接 BE，则 BE 的长为（ ）A B C D9（3 分）如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，O 的半径为 3，AOBC，垂足为点 E，若 ADC130，则 的长等于（ ）A
3、B C D10（3 分）已知抛物线 yx 2+（m +1）x+m ，当 x1 时， y0，且当 x2 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm3 C1m3 D3m 4二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）11（3 分）因式分解：x 3y9xy 3 12（3 分）正 n 边形的每个内角都是 120，这个正 n 边形的对角线条数为 条13（3 分）如图，平行于 x 轴的直线与函数 y （k 10，x0）和y （k 20，x0）的图象分别相交于 A，B 两点点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 4，则 k1k 2 的值为 14
4、（3 分）如图在 RtABC 中，AC3，ABC90，BD 是ABC 的角平分线，过点 D 作 DEBD 交 BC 边于点 E若 AD1，则图中阴影部分的面积为 三、解答题（共 78 分）15（5 分）计算：（3） 2|3 |+ +（ ） 2 16（5 分）解分式方程： +2 17（5 分）如图，已知ABC，BAC 90，请用尺规过点 A 作一条直线，使其将ABC 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）18（5 分）如图，点 E，F 分别在菱形 ABCD 的边 DC，DA 上，且 CEAF，求证：ABFCBE19（7 分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居
5、民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为 10 分，最低分为 6 分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了 名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动，得 10 分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？20（7 分）如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 60m，从 C 点测得 A 点的仰角 为 53，从 A 点测得 D 点的俯角 为 37，求两座建筑物的高度（参考数据： sin37 ，co
6、s37 ，tan37 ，sin53 ，cos53 ，tan53 ）21（7 分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地两车行驶的时间为 xh，两车之间的距离为 ykm，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为 km/h，快车的速度为 km/h；（2）解释图中点 C 的实际意义并求出点 C 的坐标；（3）求当 x 为多少时，两车之间的距离为 500km22（7 分）西安地铁的开通运行给西安市民的出行方式带来了一些变化，小颜和小鹏准备利用课余时间，以问卷的方式对西安市民认为地铁站存在的问题进行调查，如图是西安地铁一号线图（部分），小颜和小
7、鹏分别从劳动路站（用 A 表示）、玉样门站（用 B表示）、洒金桥站（用 C 表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点（1）在这三站中，小颜选取问卷调查的站点是玉祥门站的概率是多少？（2）请你用画树状图或列表法，求小颜与小鹏所选取问卷调查的站点相邻的概率（各站点用相应的英文字母表示）23（8 分）如图，O 的半径为 3，C 是 O 外一点，且 OC6，过点 C 作O 的两条切线 CB，CD切点分别为 B，D，连接 BO 并延长交切线 CD 于点 A（1）求 AD 的长；（2）若 M 是O 上一动点，求 CM 长的最大值，并说明理由24（10 分）已知抛物线 L：ymx 28x+3m 与 x 轴
8、相交于 A 和 B（1，0）两点，并与y 轴相交于点 C抛物线 L与 L 关于坐标原点对称，点 A、B 在 L上的对应点分别为A、B （1）求抛物线 L 的函数表达式；（2）在抛物线 L上是否存在点 P，使得PAA 的面积等于CBB 的面积？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由25（12 分）题型探究：（1）如图 ，四边形 ABCD 为正方形，请在射线 CD 上找一点 P，使BCP 的面积恰好等于四边形 ABCD 的面积；（2）如图 ，在矩形 ABCD 中，AB ，BC4请在直线 BC 上方找一点 Q，使得BQC 是以 BC 为底的等腰三角形，且它的面积等于矩形 ABCD 的面积，并
9、求出此时BQC 的度数；问题解决：（3）如图 ，在 ABC 中，C 120，AB12在 ABC 所在平面上是否存在点M，使ABM 的面积等于ABC 的面积，且AMB60？若存在，画出该点的位置，若不存在，请说明理由2019 年陕西省咸阳市武功县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）（2019） 1 等于（ ）A2019 B2019 C D【分析】直接利用负指数幂的性质化简得出答案【解答】解：（2019） 1 故选：D【点评】此题主要考查了负指数幂的性质，正确化简是解题关键2（3 分）下列图形中，经过折叠可以得到四棱柱的是（ ）A BC D【分析
10、】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题【解答】解：A、经过折叠，不能围成封闭的长方体；B、两个正方形围起来构成长方体的上下底面，四个长方形围成长方体的侧面，故可以围成一个四棱柱；C、经过折叠，不能围成封闭的长方体；D、经过折叠，不能围成封闭的长方体；故选：B【点评】本题主要考查了展开图折成几何体，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧3（3 分）如图，已知 a、b、c、d 四条直线，ab，cd，1110，则2 等于（ ）A50 B70 C90 D110【分析】根据平行线的性质得到31，43，然后由邻补角的定义即可得到结论【解答】解：ab，cd，31，43，1411
11、0，2180470，故选：B【点评】本题考查了平行线的性质，注意：两直线平行，同位角相等是解答此题的关键4（3 分）对于正比例函数 y2x，当自变量 x 的值增加 1 时，函数 y 的值增加（ ）A B C2 D2【分析】本题中可令 x 分别等于 a，a+1；求出相应的函数值，再求差即可解决问题【解答】解：令 xa，则 y2a；令 xa+1，则 y2（a+1 ）2a2，所以 y 减少 2；故选：D【点评】本题考查了正比例函数的性质，只需进行简单的推理即可解决问题5（3 分）下列运算正确的是（ ）Ax 3x3x 9 Bx 8x4x 2 C（ab 3） 2ab 6 D（2x ） 38x 3【分析】
12、根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，积的乘方一一判断即可【解答】解：A、错误应该是 x3x3x 6；B、错误应该是 x8x4x 4；C、错误（ab 3） 2a 2b6D、正确故选：D【点评】本题考查同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，积的乘方等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题6（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A65，CDAB，垂足为 D，E是 BC 的中点，连接 ED，则EDC 的度数是（ ）A25 B30 C50 D65【分析】根据三角形内角和定理求出B，根据直角三角形的性质得到 EDEB，得到EDBB，计划图形计算，得到答案【解答】解：ACB90，A65，B2
13、5，CDAB ，E 是 BC 的中点，ED BCEB，EDBB25，EDC902565，故选：D【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半7（3 分）已知一次函数 ykx+b 的图象经过 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），且 x21+x 1 时，y2y 12，则 k 等于（ ）A1 B2 C1 D2【分析】将已知点坐标代入一次函数解析式中求出 k 的值即可【解答】解：把 A（x 1，y 1）， B（x 2，y 2），代入 ykx+b 中，且 x21+x 1 时，y2y 12，可得：kx 1+b2k（1+x 1）+b，可得：k2，
14、故选：D【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键8（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB4若以 CD 边为底边向其形外作等腰直角DCE，连接 BE，则 BE 的长为（ ）A B C D【分析】作 EFBC 于 F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得 DECE2 ，再利用正方形的性质得 CBCD4，进而利用勾股定理解答即可【解答】解：作 EFBC 于 F，在正方形 ABCD 中，AB 4若以 CD 边为底边向其形外作等腰直角DCE，CEDE2 ，DCE45，ECF45，CFEF ，BE ，故选：C【点评】本题考查了正
15、方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质也考查了等腰直角三角形的性质9（3 分）如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，O 的半径为 3，AOBC，垂足为点 E，若 ADC130，则 的长等于（ ）A B C D【分析】连接 OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出 ABC，根据圆周角定理求出AOC，根据等腰三角形的性质求出BOC，根据弧长公式计算，得到答案【解答】解：连接 OB、OC，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，ABC+ ADC180，ABC180ADC5
16、0，AOC100，EOC80，AOBC，OBOC，BOC2EOC160， 的长 ，故选：D【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键10（3 分）已知抛物线 yx 2+（m +1）x+m ，当 x1 时， y0，且当 x2 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm3 C1m3 D3m 4【分析】根据“当 x1 时，y0，且当 x2 时，y 的值随 x 值的增大而减小”列出不等式组并解答【解答】解：依题意得： 解得 m1故选：A【点评】考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象与系数的关系，解题时，需要熟悉抛物线的对称性和增减性
17、二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）11（3 分）因式分解：x 3y9xy 3 xy（x +3y）（x3y ） 【分析】先提取公因式 x，再利用平方差公式分解即可【解答】解：x 3y9xy 3xy（x +3y）（x3y）故答案是：xy（x+3y）（x 3y）【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解12（3 分）正 n 边形的每个内角都是 120，这个正 n 边形的对角线条数为 9 条【分析】根据题意利用多边形内角和公式先判断该多边形为正六边形，再由等量关系“多边形对角线条数
18、 ”求解即可【解答】解：由多边形内角和公式列方程，180（n2）120n解得，n6该正多边形为正六边形所以该六边形对角线条数 9故答案为 9【点评】本题考查了多边形的边数的确定方法以及边数与对角线的关系13（3 分）如图，平行于 x 轴的直线与函数 y （k 10，x0）和y （k 20，x0）的图象分别相交于 A，B 两点点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 4，则 k1k 2 的值为 8 【分析】ABC 的面积 AByA，先设 A、B 两点坐标（其 y 坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解【解答】解：设：A、B 、C 三点的坐标分别是 A
19、（ ，m ）、B（ ，m），则：ABC 的面积 AByA （ ）m 4，则 k1k 28故答案为 8【点评】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设 A、B 两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题14（3 分）如图在 RtABC 中，AC3，ABC90，BD 是ABC 的角平分线，过点 D 作 DEBD 交 BC 边于点 E若 AD1，则图中阴影部分的面积为 1 【分析】作 DHBC 于 H，由题意可得，BDE 是等腰直角三角形，设DHBH EH a，证明CDH CAB ，可得 AB a，CE a，在 RtABC 中，由勾股定理
20、可得 AB2+BC2AC 2，即 ， ，根据阴影部分的面积三角形 ABC 的面积三角形 BDE 的面积，即可得出图中阴影部分的面积【解答】解：如图，作 DHBC 于 H，ABC90，BD 是ABC 的角平分线，DBCABD45，DEBD ，DEB45，BDE 是等腰直角三角形，设 DHBH EH a，DHABCDHCAB， ，AD1，AC3， ，AB a，CEa，AB 2+BC2AC 2， ， ，图中阴影部分的面积 故答案为：1【点评】本题考查三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是用 a 来表示出直角边 AB，BC 的长三、解答题（共 78 分）15（5 分）计算：（
21、3） 2|3 |+ +（ ） 2 【分析】本题涉及平方、绝对值、负整数指数幂、二次根式化简 4 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：（3） 2|3 |+ +（ ） 293+ +2 +410+3 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握平方、绝对值、负整数指数幂、二次根式等考点的运算16（5 分）解分式方程： +2 【分析】两边都乘以 x1，化分式方程为整式方程，解之求得 x 的值，再检验即可得【解答】解：两边都乘以 x1，得：x2+2（x 1） 2，解得：x ，检验：当 x 时，x
22、 1 0，方程的解为 x 【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解； 检验； 得出结论17（5 分）如图，已知ABC，BAC 90，请用尺规过点 A 作一条直线，使其将ABC 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）【分析】过点 A 作 ADBC 于 D，利用等角的余角相等可得到BADC，则可判断ABD 与CAD 相似【解答】解：如图，AD 为所作【点评】本题考查了作图相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似18（5 分）如图，点 E，F 分别在菱形 ABC
23、D 的边 DC，DA 上，且 CEAF，求证：ABFCBE【分析】根据菱形的性质可得 ABBC，AC，再证明ABF CBE，根据全等三角形的性质可得结论【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形，ABBC， AC ，在ABF 和CBE 中， ，ABF CBE（SAS），ABF CBE【点评】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键19（7 分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为 10 分，最低分为 6
24、 分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了 50 名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动，得 10 分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？【分析】（1）根据总数个体数量之和计算即可；（2）根据平均数、总数、中位数的定义计算即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【解答】解：（1）共抽取：4+10+15+11+1050（人），故答案为 50；（2）平均数 （46+107+15 8+119+1010）8.26；众数：得到 8 分的人最多，故众数为
25、 8中位数：由小到大排列，知第 25，26 平均分为 8 分，故中位数为 8 分；（3）得到 10 分占 105020%，故 500 人时，需要一等奖奖品 50020%100（份）【点评】本题考查的是条形统计图综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；20（7 分）如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 60m，从 C 点测得 A 点的仰角 为 53，从 A 点测得 D 点的俯角 为 37，求两座建筑物的高度（参考数据： sin37 ，cos37 ，tan37 ，sin53 ，cos53 ，tan53 ）【分析】过点 D 作 DE
26、AB 于 E，则 DEBC60m，在 RtABC 中，求出 AB，在RtADE 中求出 AE 即可解决问题；【解答】解：过点 D 作 DEAB 于 E，则 DEBC60m，在 Rt ABC 中，tan53 ， ，AB80（m），在 Rt ADE 中，tan37 ， ，AE45（m），BECDAB AE35（m），答：两座建筑物的高度分别为 80m 和 35m【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键21（7 分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地两车行驶的时间为 xh，两车之间的距离为 ykm，图中的折线表示 y
27、 与 x 之间的函数关系，根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为 80 km/h，快车的速度为 120 km/h；（2）解释图中点 C 的实际意义并求出点 C 的坐标；（3）求当 x 为多少时，两车之间的距离为 500km【分析】（1）由图象可知，两车同时出发等量关系有两个：3.6（慢车的速度+快车的速度）720，（93.6）慢车的速度3.6快车的速度，设慢车的速度为akm/h，快车的速度为 bkm/h，依此列出方程组，求解即可；（2）点 C 表示快车到达乙地，然后求出快车行驶完全程的时间从而求出点 C 的横坐标，再求出相遇后两辆车行驶的路程得到点 C 的纵坐标，从而得解；（3）分相遇前相距
28、 500km 和相遇后相遇 500km 两种情况求解即可【解答】解：（1）设慢车的速度为 akm/h，快车的速度为 bkm/h，根据题意，得 ，解得 ，故答案为 80，120；（2）图中点 C 的实际意义是：快车到达乙地；快车走完全程所需时间为 7201206（h），点 C 的横坐标为 6，纵坐标为（80+120）（63.6）480，即点 C（6，480）；（3）由题意，可知两车行驶的过程中有 2 次两车之间的距离为 500km即相遇前：（80+120）x720500，解得 x1.1，相遇后：点 C（6，480），慢车行驶 20km 两车之间的距离为 500km，慢车行驶 20km 需要的时间
29、是 0.25（h），x6+0.256.25（h），故 x1.1 h 或 6.25 h，两车之间的距离为 500km【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，（3）要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方22（7 分）西安地铁的开通运行给西安市民的出行方式带来了一些变化，小颜和小鹏准备利用课余时间，以问卷的方式对西安市民认为地铁站存在的问题进行调查，如图是西安地铁一号线图（部分），小颜和小鹏分别从劳动路站（用 A 表示）、玉样门站（用 B表示）、洒金桥站（用 C 表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点（1）在这三站中，小颜选取问卷调查的站点是
30、玉祥门站的概率是多少？（2）请你用画树状图或列表法，求小颜与小鹏所选取问卷调查的站点相邻的概率（各站点用相应的英文字母表示）【分析】（1）由题意可知小颜共有三种选择方案，所以选取问卷调查的站点是玉祥门站的概率是（2）由题意列表可知共有九种方案，但站点相邻的仅有：AB，BA，BC，CB 这四种情况所以小颜所选取问卷调查的站点相邻的概率为：【解答】解：（1）小颜从三站中选取一站作为调查站点，小颜有三种选择方案在这三站中，小颜选取问卷调查的站点是玉祥门站的概率是：（2）根据题意，列表如下：由表格可知，共有 9 种等可能的结果，其中小颜和小鹏选取问卷调查的站点相邻的结果有 4 种，分别是：AB，BA，
31、BC，CB小颜所选取问卷调查的站点相邻的概率为：【点评】本题是事件发生的概率问题，首先要认真分析题目，然后准确分析题意，根据列表或者画树状图即可解决问题23（8 分）如图，O 的半径为 3，C 是 O 外一点，且 OC6，过点 C 作O 的两条切线 CB，CD切点分别为 B，D，连接 BO 并延长交切线 CD 于点 A（1）求 AD 的长；（2）若 M 是O 上一动点，求 CM 长的最大值，并说明理由【分析】（1）连接 OD，根据切线的性质，判断AOD，ABC 为直角三角形，再根据直角三角形的性质以及勾股定理进行解答；（2）延长 CO 交 O 于点 M，点 M 即为所要求的最大值的点，再求其长
32、度即可【解答】解：（1）连接 OD，CD 是O 的切线ODACOD3，OC6OD OCOCD30CD，CB 是 O 的切线ACB2OCD60A30OA2OD 6，在 Rt AOD 中AD 3 ；（2）延长 CO 交 O 于点 M，所以点 M 即为所要求的最大值的点 O 的半径为 3，所以 EM6，OC6，CE3CMCE+EM3+6 9【点评】本题考查切线的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出线段之间的关系进行解答24（10 分）已知抛物线 L：ymx 28x+3m 与 x 轴相交于 A 和 B（1，0）两点，并与y 轴相交于点 C抛物线 L与 L 关于坐标原点对
33、称，点 A、B 在 L上的对应点分别为A、B （1）求抛物线 L 的函数表达式；（2）在抛物线 L上是否存在点 P，使得PAA 的面积等于CBB 的面积？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式（2）由二次函数图象上点的坐标特征和关于原点对称的点的坐标的性质求得A（3，0），B（1，0），则 AA6，BB2，OC6设 L上的点 P 在 L 上的对应点为 P，P 的纵坐标为 n，由对称性，可得 SPA AS PAA要使 SP AAS CBB ，由此列出关于 n 的方程，通过解方程求得 n 的值易得 P的坐标为（2，2）， 或 ，再一次利用由对称性，
34、可得 P 的坐标【解答】解：（1）将 B（1，0）代入 ymx 28x+3m，得 m+8+3m0解之，得 m2抛物线 L 的函数表达式为 y2x 28x6（2）存在，在 L 中，令 x0，则 y6，C（0，6）令 y0，则2x 28x 60 解之，得 x1 或 x3A（3，0）抛物线 L与 L 关于坐标原点对称，A（3，0），B（1，0），AA6，BB 2，OC6设 L上的点 P 在 L 上的对应点为 P，P 的纵坐标为 n，由对称性，可得 SPA AS P AA 要使 SP AAS CBB ，则 ，|n |2 ，n 2令 y2，则2x 28x 62解之，得 x2令 y2，则2x 28x 6
35、2解之，得 或 P的坐标为（2，2）， 或由对称性，可得 P 的坐标为（2，2），（ ，2）或（ ，2）【点评】考查了待定系数法确定函数关系式，抛物线与 x 轴的交点坐标，关于原点对称的点的坐标的性质，三角形的面积公式，综合性比较强25（12 分）题型探究：（1）如图 ，四边形 ABCD 为正方形，请在射线 CD 上找一点 P，使BCP 的面积恰好等于四边形 ABCD 的面积；（2）如图 ，在矩形 ABCD 中，AB ，BC4请在直线 BC 上方找一点 Q，使得BQC 是以 BC 为底的等腰三角形，且它的面积等于矩形 ABCD 的面积，并求出此时BQC 的度数；问题解决：（3）如图 ，在 AB
36、C 中，C 120，AB12在 ABC 所在平面上是否存在点M，使ABM 的面积等于ABC 的面积，且AMB60？若存在，画出该点的位置，若不存在，请说明理由【分析】（1）作法：延长 CD 至 P，使 CDDP，连接 BP，或取 AD 中点 E，连接 BE并延长与射线 CD 交于点 P（2）作法：如图 2，取 AD 的四等分点： E、M 、F，作射线 BE、CF 交于点 Q，则 Q即为所求；利用三角形面积公式可知：S QBC BC2QMBCABS 矩形 ABCD，在 RtABE 中，得ABE 30，根据三角形内角和定理可得结论；（3）过点 C 作直线 AB 的平行线，构造等边三角形 ABE，作
37、ABE 的外接圆O，交AB 的平行线于点 M1，M 2，分别做点 M1，、M 2 关于 AB 的对称轴点 M3、M 4【解答】解：（1）如图 1，延长 CD 至 P，使 CDDP，连接 BP，则BCP 的面积恰好等于四边形 ABCD 的面积；点 P 即为所求；（2）如图 2，取 AD 的四等分点： E、M 、F，作射线 BE、CF 交于点 Q，则 Q 即为所求；连接 QM，QBQC，QBCQCB，ADBC，QEFQBC，QFE QCB，QEFQFE，QEQF ，EMFM，QM AD，EMQ90，四边形 ABCD 是矩形，A90，AEMQ，AEEM，AEBMEQ，ABE QME（ASA），ABQ
38、M ，S QBC BC2QMBCAB S 矩形 ABCD，RtABE 中，AE AD1，AB ，BE2，ABE 30，QBCQCB60，BQC60；（3）存在满足题意的点 M，如图，过点 C 作直线 AB 的平行线，构造等边三角形 ABE，作ABE 的外接圆O，交 AB 的平行线于点 M1，M 2，则AM 1B AM2BAEB60M 1M2AB， S ABC 分别做点 M1，M 2 关于 AB 的对称轴点 M3、M 4，则 M3、M 4 也满足要求，故符合题意的点有 4 个，它们分别是 M1、M 2、M 3、M 4【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的性质等知识点，并运用类比的思想解决问题