1、几何变换综合题一、单选题1如图，等边三角形 的边长为 4,点 是 的中心， .绕点 旋转 ,分别交线段于 两点，连接 ,给出下列四个结论: ; ;四边形 的面积始终等于 ; 周长的最小值为 6,上述结论中正确的个数是( )A1 B2 C3 D4【答案】C2如图， 是等边三角形， 是等腰直角三角形， ， 于点 ，连 分别交 ，于点 ， ，过点 作 交 于点 ，则下列结论： ； ； ； ； .其中正确结论的个数为（ ）A5 B4 C3 D2【答案】B3如图，AOB=60，点 P 是AOB 内的定点且 OP= ，若点 M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O的动点，则PMN 周长的最小值是（ ）
2、A B C 6 D3【答案】D4如图，在矩形 ABCD 中，ABBC，E 为 CD 边的中点，将ADE 绕点 E 顺时针旋转 180，点 D 的对应点为 C，点 A 的对应点为 F，过点 E 作 MEAF 交 BC 于点 M，连接 AM、BD 交于点 N，现有下列结论：AM=AD +MC；AM=DE+BM；DE 2=ADCM；点 N 为ABM 的外心其中正确的个数为（ ）A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个【答案】B5如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5，则 ABC 的面积为（ ）A B C D【答案】A6如图，Rt ABC 中
3、，ACB=90，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，按下列步骤作图：步骤 1：分别以点 C 和点 D 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点；步骤 2：作直线 MN，分别交 AC，BC 于点 E，F ；步骤 3：连接 DE，DF若 AC=4，BC=2，则线段 DE 的长为 A B C D【答案】D7如图，将一个三角形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在 边上的点 处，折痕为 ，则下列结论一定正确的是（ ）A BC D【答案】D8如图，正ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 lAB，且ABC 与 ABC关于直线 l 对称，D 为线段 BC上一动点，则 ADCD 的最小值是（
4、）A4 B3 C2 D2【答案】A9如图，将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90至图位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转 90至图位置，以此类推，这样连续旋转 2017 次若 AB=4，AD=3，则顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）A2017 B2034 C3024 D3026【答案】D10如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点F若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（ ）A B C D【答案】A11如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，AEBD，垂足为 F，则
5、 tanBDE 的值是（ ）A B C D【答案】A12如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=5 ，BC=10，连接 AC、BD，以 BD 为直径的圆交 AC于点 E若 DE=3，则 AD 的长为（ ）A5 B4 C3 D2【答案】D13如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点 O 是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由位置滚动到位置时，线段 OA绕点 O 顺时针转过的角度是（ ）A240 B360 C 480 D540【答案】C14如图，矩形 ABCD 的边长 AD=3，AB=2，E 为 AB 的中点，
6、F 在边 BC 上，且 BF=2FC，AF 分别与 DE、DB 相交于点 M，N，则 MN 的长为（ ）A B C D【答案】B15如图，在正方形 ABCD 中，连接 AC，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，交 AB、AC 于点 M，N，分别以 M，N 为圆心，大于 MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点 H，连结 AH 并延长交 BC 于点 E，再分别以 A、E 为圆心，以大于 AE 长的一半为半径画弧，两弧交于点 P，Q ，作直线 PQ，分别交CD，AC，AB 于点 F，G，L，交 CB 的延长线于点 K，连接 GE，下列结论：LKB=22.5，GEAB，tanCGF= ，S CGE：S
7、CAB=1：4其中正确的是（ ）A B C D【答案】A16如图，正方形 ABCD 的边长为 2，P 为 CD 的中点，连结 AP，过点 B 作 BEAP 于点 E，延长 CE 交 AD 于点 F，过点 C 作 CHBE 于点 G，交 AB 于点 H，连接 HF下列结论正确的是（ ）ACE= BEF= CcosCEP= DHF 2=EFCF【答案】D17如图，矩形 ABCD 与菱形 EFGH 的对角线均交于点 O，且 EGBC ，将矩形折叠，使点 C 与点 O 重合，折痕 MN 恰好过点 G 若 AB= ，EF=2，H=120，则 DN 的长为（ ）A B C D【答案】C二、填空题18如图，
8、已知 RtABC 中， B=90，A=60，AC=2 +4，点 M、N 分别在线段 AC、AB 上，将ANM 沿直线 MN 折叠，使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，当DCM 为直角三角形时，折痕 MN 的长为_【答案】 或19如图，在 RtACB 中，ACB=90，AC=BC，D 是 AB 上的一个动点（不与点 A，B 重合） ，连接 CD，将CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CE，连接 DE，DE 与 AC 相交于点 F，连接 AE下列结论：ACEBCD；若BCD=25，则AED=65 ；DE 2=2CFCA；若 AB=3 ，AD=2BD，则 AF= 其中正确的结论是_ （
9、填写所有正确结论的序号）【答案】20在ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是边 AC、AB 上的中线，且 BDCE，垂足为 O若 OD=2cm，OE=4cm，则线段 AO 的长度为_cm【答案】421如图，若ABC 内一点 P 满足PAC=PCB=PBA，则称点 P 为ABC 的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮已知ABC 中，CA=CB，ACB=120，P 为 ABC 的布罗卡尔点，若 PA= ，则 PB+PC=_【答案】1+ 22如图，菱形
10、ABCD 的对角线相交于点 O，AC2，BD2 ，将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点O 重合，折痕为 EF，则五边形 AEFCD 的周长为_【答案】723如图，正方形 ABCD 的边长为 12，点 E 在边 AB 上，BE=8，过点 E 作 EFBC，分别交 BD、CD 于G、F 两点若点 P、Q 分别为 DG、CE 的中点，则 PQ 的长为_【答案】2 24如图，ABC 是等边三角形，AB= ，点 D 是边 BC 上一点，点 H 是线段 AD 上一点，连接BH、CH当BHD=60，AHC=90 时，DH=_【答案】25如图，在ABC 中，BC=6，BC 边上的高为 4，在ABC 的内部作一
11、个矩形 EFGH，使 EF 在 BC 边上，另外两个顶点分别在 AB、AC 边上，则对角线 EG 长的最小值为_【答案】 26如图，将面积为 32 的矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 A 的对应点为点 P，连接 AP 交 BC 于点E若 BE= ，则 AP 的长为_【答案】 27如图，平面直角坐标系中 是原点， 的顶点 的坐标分别是 ，点 把线OABC,8,034,DE段 三等分，延长 分别交 于点 ，连接 ，则下列结论：OB,CDE,FG 是 的中点； 与 相似；四边形 的面积是 ； ；其中正确FAFDE203453O的结论是 _ （填写所有正确结论的序号）【答案】28如图，O 为坐
12、标原点，OAB 是等腰直角三角形，OAB90 ，点 B 的坐标为 ，将该三角形沿 轴向右平移得到 ，此时点 的坐标为 ，则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为_.【答案】429如图，AOB 中，O=90，AO=8cm ，BO=6cm，点 C 从 A 点出发，在边 AO 上以 2cm/s 的速度向O 点运动，与此同时，点 D 从点 B 出发，在边 BO 上以 1.5cm/s 的速度向 O 点运动，过 OC 的中点 E 作CD 的垂线 EF，则当点 C 运动了 _s 时，以 C 点为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切【答案】 30如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OAB
13、C 的边长为 2，点 A 在第一象限，点 C 在 x 轴正半轴上，AOC=60，若将菱形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 75，得到四边形 OABC，则点 B 的对应点 B的坐标为_【答案】 31如图所示，已知：点 A(0，0) ，B （ ，0） ，C（0，1）在ABC 内依次作等边三角形，使一边在 x轴上，另一个顶点在 BC 边上，作出的等边三角形分别是第 1 个AA 1B1，第 2 个B 1A2B2，第 3 个B2A3B3，则第 个等边三角形的边长等于 _【答案】32如图，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AB 边上一动点，连接 CE，过点 B 作 BGCE 于点G，点 P
14、是 AB 边上另一动点，则 PD+PG 的最小值为_【答案】2 -233如图，在菱形 ABCD 中， ， 是锐角， 于点 E，M 是 AB 的中点，连结 MD， 若，则 的值为_【答案】34如图，MAN=90，点 C 在边 AM 上，AC=4，点 B 为边 AN 上一动点，连接 BC，ABC 与ABC关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，连接 DE 并延长交 AB 所在直线于点 F，连接AE当AEF 为直角三角形时，AB 的长为_【答案】 或 4 35如图，点 A1（1，1）在直线 y=x 上，过点 A1 分别作 y 轴、x 轴的平行线交直线 于点 B1，B 2，过
15、点 B2 作 y 轴的平行线交直线 y=x 于点 A2，过点 A2 作 x 轴的平行线交直线 于点 B3，按照此规律进行下去，则点 An的横坐标为_【答案】 36如图，点 C 为 RtACB 与 RtDCE 的公共点，ACB=DCE=90，连 接 AD、BE，过点 C 作 CFAD 于点 F，延长 FC 交 BE 于点 G若 AC=BC=25，CE=15 ， DC=20，则 的值为_ 【答案】三、解答题37将一副三角尺按图 1 摆放，等腰直角三角尺的直角边 DF 恰好垂直平分 AB，与 AC 相交于点 G，（1）求 GC 的长；（2）如图 2，将DEF 绕点 D 顺时针旋转，使直角边 DF 经
16、过点 C，另一直角边 DE 与 AC 相交于点 H，分别过 H、C 作 AB 的垂线，垂足分别为 M、N，通过观察，猜想 MD 与 ND 的数量关系 ，并验证你的猜想（3）在（2）的条件下，将DEF 沿 DB 方向平移得到DEF，当 DE恰好经过（1）中的点 G 时，请直接写出 DD的长度【答案】 （1）2；（2）DM=DN；（3）38如图，矩形 ABCD 中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点 B 顺时针方向旋转 （0 90）得到矩形A1BC1D1，点 A1 在边 CD 上（1）若 m=2， n=1，求在旋转过程中，点 D 到点 D1 所经过路径的长度；（2）将矩形 A1BC1D1 继续绕点
17、B 顺时针方向旋转得到矩形 A2BC2D2，点 D2 在 BC 的延长线上，设边 A2B与 CD 交于点 E，若 = 1，求 的值【答案】 （1）D 到点 D1 所经过路径的长度为 ；（2） （负根已经舍弃） 39我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边 ,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底” .（1）概念理解:如图 1,在 中, , . ,试判断 是否是“等高底”三角形，请说明理由.（2）问题探究:如图 2, 是“ 等高底”三角形, 是“等底”，作 关于 所在直线的对称图形得到 ,连结 交直线 于点 .若点 是 的重心,求 的值.（3）应用拓展:如图 3,
18、已知 , 与 之间的距离为 2.“等高底” 的“等底” 在直线 上,点 在直线 上,有一边的长是 的 倍.将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 , 所在直线交 于点 .求 的值.【答案】 （1）证明见解析；（2） （3） 的值为 , ,240再读教材:宽与长的比是 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为 2 的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第
19、三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB 折到图中所示的 AD 处，第四步,展平纸片,按照所得的点 D 折出 DE,使 DEND,则图 中就会出现黄金矩形，问题解决: （1）图中 AB=_(保留根号); （2）如图,判断四边形 BADQ 的形状,并说明理由; （3）请写出图中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由. （4）结合图.请在矩形 BCDE 中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】 （1） ；(2)见解析;(3) 见解析; (4) 见解析.41如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点 P 为射线 BD，C
20、E 的交点（1）求证：BD= CE；（2）若 AB=2，AD=1，把ADE 绕点 A 旋转，当EAC=90时，求 PB 的长；【答案】 （1）证明见解析；（2）PB 的长为 或 42如图 1，一副直角三角板满足 AB=BC，AC=DE， ABC=DEF=90，EDF=30操作：将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E 旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q探究一：在旋转过程中，（1）如图 2，当 时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图 3，当 时，EP 与 EQ 满足怎样的
21、数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1） 、 （2）的探究结果，试写出当 时，EP 与 EQ 满足的数量关系式为 ，其中 m 的取值范围是 （直接写出结论，不必证明）探究二：若 且 AC=30cm，连接 PQ，设 EPQ 的面积为 S（cm 2） ，在旋转过程中：（1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由（2）随着 S 取不同的值，对应EPQ 的个数有哪些变化，求出相应 S 的值或取值范围【答案】探究一：（1）EP=EQ；证明见解析；（2）1:2 ，证明见解析；（3）EP ：EQ=1：m，0m2+；探究二：（1）当 x=10 时，面积最小，是 50cm2
22、；当 x=10 时，面积最大，是 75cm2 （2）50S62.5 时，这样的三角形有 2 个；当 S=50 或 62.5S75 时，这样的三角形有一个43如图 1在ABC 中，矩形 EFGH 的一边 EF 在 AB 上，顶点 G、H 分别在 BC、AC 上，CD 是边 AB上的高，CD 交 GH 于点 I若 CI4，HI 3，AD 矩形 DFGI 恰好为正方形（1）求正方形 DFGI 的边长；（2）如图 2，延长 AB 至 P使得 ACCP ，将矩形 EFGH 沿 BP 的方向向右平移，当点 G 刚好落在 CP上时，试判断移动后的矩形与CBP 重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）
23、如图 3，连接 DG，将正方形 DFGI 绕点 D 顺时针旋转一定的角度得到正方形 DFGI，正方形DFGI 分别与线段 DG、DB 相交于点 M、N，求MNG的周长【答案】 （1）2；（2）三角形；（3）444如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是 AD 上的一个动点（1）如图 1，连接 BD，O 是对角线 BD 的中点，连接 OE当 OE=DE 时，求 AE 的长；（2）如图 2，连接 BE，EC，过点 E 作 EFEC 交 AB 于点 F，连接 CF，与 BE 交于点 G当 BE 平分ABC 时，求 BG 的长；（3）如图 3，连接 EC，点 H 在 CD 上，将矩形 A
24、BCD 沿直线 EH 折叠，折叠后点 D 落在 EC 上的点 D处，过点 D作 DNAD 于点 N，与 EH 交于点 M，且 AE=1求 的值；连接 BE，DMH 与CBE 是否相似？请说明理由【答案】 （1）AE= ；（2） BG= ；（3 ） ；相似，理由见解析.45如图 1，以ABCD 的较短边 CD 为一边作菱形 CDEF,使点 F 落在边 AD 上，连接 BE，交 AF 于点 G.（1）猜想 BG 与 EG 的数量关系 .并说明理由；（2）延长 DE,BA 交于点 H，其他条件不变，如图 2，若ADC=60，求 的值；如图 3，若ADC= （090）,直接写出 的值.（用含 的三角函数表示）【答案】 （1） ，理由见解析；（2） ；（3） .