1、圆的问题一、填空题1如图，在 RtABC 中， ACB=90，AC=6，BC=8 ，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作O ，O 分 别与AC，BC 交于点 E，F，过点 F 作O 的切线 FG，交 AB 于点 G，则 FG 的长为_【答案】 2如图，正方形 ABCD 的边长为 2a，E 为 BC 边的中点， 的圆心分别在边 AB、CD 上，这两段圆弧在AED正方形内交于点 F，则 E、F 间的距离为 【答案】 a3如图，AC 为O 的直径，点 B 在圆上，ODAC 交O 于点 D，连接 BD，BDO=15，则ACB=_【答案】604如图，直线 PA 过半圆的圆心 O，交半圆于 A,B
2、 两点，PC 切半圆与点 C，已知 PC=3，PB=1,则该半圆的半径为_.【答案】45如图，半圆的半径 OC=2，线段 BC 与 CD 是半圆的两条弦，BC=CD，延长 CD 交直径 BA 的延长线于点 E，若AE=2，则弦 BD 的长为_【答案】6如图 1 是小明制作的一副弓箭，点 A，D 分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点，弓弦 BC=60cm沿 AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长如图 2，当弓箭从自然状态的点 D 拉到点 D1时，有AD1=30cm，B 1D1C1=120（1）图 2 中，弓臂两端 B1，C 1的距离为_cm（2）如图 3，将
3、弓箭继续拉到点 D2，使弓臂 B2AC2为半圆，则 D1D2的长为_cm【答案】30 10 -10 7如图，以 AB 为直径的O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，直径 AB18，A30，弦CDAB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论正确的是_ （写出所有正确结论的序号） ；扇形 OBC 的面积为 ；OCFOEC；若点 P 为线段 OA 上一动点，则 APOP 有最大值 20.25【答案】8如图，已知MON=120，点 A，B 分别在 OM，ON 上，且 OA=OB=a，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得到 OM，旋转角为 （0120且 60） ，作点 A 关
4、于直线 OM的对称点 C，画直线 BC 交 OM于点 D，连接AC，AD，有下列结论：AD=CD；ACD 的大小随着 的变化而变化；当 =30时，四边形 OADC 为菱形；ACD 面积的最大值为 a2；其中正确的是_ （把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】9小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图 1 所示，于是他绘制了如图 2 所示的图形图 2 中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若 PQ 所在的直线经过点 M，PB=5cm，小正六边形的面积为 cm2，则该圆的半径为_cm【答案】8.10如图，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AB 边上
5、一动点，连接 CE，过点 B 作 BGCE 于点 G，点 P是 AB 边上另一动点，则 PD+PG 的最小值为_【答案】2 -211如图，矩形 中， ， ，以 为直径的半圆 与 相切于点 ，连接 ，则阴影部分的面积为_ （结果保留【答案】12如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径 AB 长为 2 cm，BOC=60，BCO=90，将BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至BOC，点 C在 OA 上，则边 BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为_cm 2【答案】 二、单选题13如图，在ABC 中，ACB=90 ，过 B,C 两点的O 交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 EO 并延长交O 于点
6、 F.连接 BF,CF.若EDC=135,CF= ,则 AE2+BE2 的值为 （ ）A8 B12 C16 D20【答案】C14如图，AB 是O 的直径，MN 是O 的切线，切点为 N，如果MNB=52，则NOA 的度数为 A76 B56 C54 D52【答案】A15某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 1 的圆，把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆的圆心 O 处，刻度尺可以绕点 O 旋转从图中所示的图尺可读出sinAOB 的值是 A B C D【答案】D16如图，扇形 OAB 中，AOB=100，OA=12，C 是 OB 的中点，C
7、DOB 交 于点 D，以 OC 为半径的 交 OA 于ABACE点 E，则图中阴影部分的面积是（ ）A12+18 B12+36 C6+18 D6+36【答案】C17如图， 的半径为 2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最小值为（ ）A3 B4 C6 D8【答案】C18 九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去
8、锯这木材，锯口深 1 寸（ED=1 寸） ，锯道长1 尺（AB=1 尺 =10 寸） ”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径 AC 是（ ）A13 寸 B20 寸 C26 寸 D28 寸【答案】C19AB 是O 的直径，点 C 在圆上，ABC=65 ，那么 OCA 的度数是（ ）A25 B35 C15 D20【答案】A20如图，正方形 ABCD 内接于O，O 的半径为 2，以点 A 为圆心，以 AC 长为半径画弧交 AB 的延长线于点E，交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积为（ ）A4 4 B48 C8 4 D8 8【答案】A21如图，点 A
9、、B、C、D 在O 上，AOC=140，点 B 是弧 AC 的中点，则D 的度数是（ ）A70 B55 C 35.5 D35【答案】D22如图，在O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于 D，连接 BE，若 AB=2 ，CD=1，则 BE 的长是 A5 B6 C7 D8【答案】B23在ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB 2 +AC2=2AO2+2BO2 成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3 ，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2 的最小值为（ ）A B C34 D10【答案】D24如图，ABC
10、中，A=30，点 O 是边 AB 上一点，以点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，O 恰好与 AC 相切于点 D，连接 BD若 BD 平分ABC，AD=2 ，则线段 CD 的长是（ ）A2 B C D【答案】B三、解答题25如图，过O 外一点 P 作O 的切线 PA 切O 于点 A，连接 PO 并延长，与O 交于 C、D 两点，M 是半圆 CD 的中点，连接 AM 交 CD 于点 N，连接 AC、CM（1）求证：CM 2=MN.MA；（2）若P=30，PC=2，求 CM 的长【答案】 （1）见解析；（2）CM=2 .26如图，四边形 中， ，以 为直径的 经过点 ，连接 、 交于点 （1）证明
11、： ；（2）若 ，证明： 与 相切；（3）在（2）条件下，连接 交 于点 ，连接 ，若 ，求 的长【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 27已知四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AC 是O 的直径，DE AB，垂足为 E（1）延长 DE 交O 于点 F，延长 DC，FB 交于点 P，如图 1求证：PC=PB；（2）过点 B 作 BGAD，垂足为 G，BG 交 DE 于点 H，且点 O 和点 A 都在 DE 的左侧，如图 2若 AB= ，DH=1 ，OHD=80，求BDE 的大小【答案】 （1）详见解析；（2）BDE=2028如图，ABC 内接于O，BD 为O 的直径，BD
12、与 AC 相交于点 H，AC 的延长线与过点 B 的直线相交于点 E，且A=EBC（1）求证：BE 是O 的切线；（2）已知 CGEB，且 CG 与 BD、BA 分别相交于点 F、G，若 BGBA=48，FG= ，DF=2BF，求 AH 的值【答案】 （1）证明见解析；（2） 29如图，AB 为 的直径，C 为 上一点，D 为 BA 延长线上一点， 求证：DC 为 的切线；线段 DF 分别交 AC，BC 于点 E，F 且 ， 的半径为 5， ，求 CF 的长【答案】 证明见解析； 30如图，在 RtABC 中， ，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，O 经过 A、D 两
13、点，交AC 于点 E，交 AB 于点 F（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径是 2cm， E 是弧 AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留 和根号）【答案】 （1）证明见解析 （2）31如图，AB 为O 的直径，且 AB=4，点 C 在半圆上，OCAB，垂足为点 O，P 为半圆上任意一点，过 P 点作 PEOC 于点 E，设OPE 的内心为 M，连接 OM、PM（1）求OMP 的度数；（2）当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，求内心 M 所经过的路径长【答案】 （1）PMO=135；（2）内心 M 所经过的路径长为 2 cm32如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=
14、CD，以 AB 为直径的O 经过点 C，连接 AC，OD 交于点 E（1）证明：ODBC ；（2）若 tanABC=2 ，证明： DA 与O 相切；（3）在（2）条件下，连接 BD 交于O 于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF 的长【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 33如图，AB 是O 的直径，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合） ，作 ECOB，交O 于点 C，作直径CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，作 AFPC 于点 F，连接 CB（1）求证：AC 平分FAB；（2）求证：BC 2=CECP；（3）当 AB=4 且 = 时，求劣弧
15、的长度【答案】 （1）证 明见解析 ；（2）证明见解析；（3） 34已知O 的直径 AB=2，弦 AC 与弦 BD 交于点 E且 ODAC，垂足为点 F（1）如图 1，如果 AC=BD，求弦 AC 的长；（2）如图 2，如果 E 为弦 BD 的中点，求ABD 的余切值；（3）联结 BC、CD、DA，如果 BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正（n+4）边形的一边，求ACD 的面积【答案】 （1）AC= ；（2）cotABD= ；（3）S ACD= 35已知：O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 E 在 上，连接 BE、DE，点 F 在 上连接 BF、DF，BF 与DE、DA
16、 分别交于点 G、点 H，且 DA 平分EDF（1）如图 1，求证：CBE=DHG；（2）如图 2，在线段 AH 上取一点 N（点 N 不与点 A、点 H 重合） ，连接 BN 交 DE 于点 L，过点 H 作 HKBN交 DE 于点 K，过点 E 作 EPBN，垂足为点 P，当 BP=HF 时，求证：BE=HK ；（3）如图 3，在（2）的条件下，当 3HF=2DF 时，延长 EP 交O 于点 R，连接 BR，若BER 的面积与DHK 的面积的差为 ，求线段 BR 的长【答案】 （1）证明见解析；（2）证明 见解析；（3） .36如图 1，平行四边形 ABCD 中，ABAC，AB=6 ，AD=10，点 P 在边 AD 上运动，以 P 为圆心，PA 为半径的P 与对角线 AC 交于 A，E 两点（1）如图 2，当P 与边 CD 相切于点 F 时，求 AP 的长；（2）不难发现，当P 与边 CD 相切时，P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点，随着 AP 的变化，P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为 4，直接写出相对应的 AP 的值的取值范围 【答案】 （1）AP= ；（2） AP 或 AP=5