1、函数综合一、填空题1将抛物线 绕顶点旋转 180，再沿对称轴平移，得到一条与直线 交于点（2， ）的新抛物线，新抛物线的解析式为_【答案】2如图，在第一象限内作射线 ，与 轴的夹角为 ，在射线 上取点 ，过点 作 轴于点 在抛物线上取点 ，在 轴上取点 ，使得以 ， ， 为顶点，且以点 为直角顶点的三角形与 全等，则符合条件的点 的坐标是_【答案】 ，3如图，点 A 是反比例函数 y= （x0）的图象上一点， OA 与反比例函数 y= （x0）的图象交于点 C，点 B在 y 轴的正半轴上，且 AB=OA，若 ABC 的面积为 6，则 k 的值为_【答案】94如图，抛物线 y=-x2+2x+3
2、与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点，点 P 为第一象限抛物线上一点，且DAP=45，则点 P 的坐标为_【答案】 （ ， ）5如图抛物线 y=x2+2x3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，连接 DE，DF，则 DE+DF 的最小值为_【答案】6以矩形 ABCD 两条对角线的交点 O 为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BEAC，垂足为 E若双曲线 y= （x0）经过点 D，则 OBBE 的值为_【答案】37如图，过抛物
3、线 上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B，交 y 轴于点 C，已知点 A 的横坐标为1，在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C 关于直线 OP 的对称点 D，连结 BD，则线段 BD 的最小值为_.【答案】28如图，直线 y=-x+b 与双曲线 分别相交于点 A，B，C，D，已知点 A 的坐标为（-1，4） ，且 AB：CD=5：2，则 m=_【答案】9如图，已知AOD 是等腰三角形，点 A（12，0） ，O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O，A） ，过 P，O 两点的二次函数 y1，和过 P、A 两点的二次函数 y2，的开口均向下，它们的顶点分别
4、为 B，C，点 B，C分别在 OD、AD 上当 OD=AD=10 时，则两个二次函数的最大值之和等于 _【答案】810卤肉店老板小王准备到批发市场购买牦牛肉和黄牛肉，总共不超过 120 千克，其中黄牛肉至少购买 30 千克，牦牛肉不少于黄牛肉质量的 2 倍，已知牦牛肉和黄牛肉单价之和为每千克 44 元，但小王在做预算时将这两种牛肉的价格记反了，结果实际购买两种牛肉的总价比预算多了 224 元，若牦牛肉和黄牛肉的单价和数量均为整数，则小王实际购买这两种牛肉最多需花费_ 元【答案】2752二、单选题11如图，正方形 的边长为 ，点 ，点 同时从点 出发，速度均 2cm/s，点 沿 向点 运动，点沿
5、 向点 运动，则 的面积 与运动时间 之间函数关系的大致图象是（ ）A B C D【答案】C12如图，正方形 和正方形 的顶点 在 轴上，顶点 ， 在 轴上，点 在 边上，反比例函数的图象经过点 、 和边 的中点 若 ，则正方形 的面积为（ ）A B C D【答案】B13如图，一次函数 yxb 与反比例函数 y (x0)的图象交于 A，B 两点，与 x 轴、y 轴分别交于 C，D 两点，连接 OA，OB ，过 A 作 AEx 轴于点 E，交 OB 于点 F，设点 A 的横坐标为 m. 若 SOAFS 四边形 EFBC 4，则 m 的值是( )A1 B C D【答案】C14如图，反比例函数 y=
6、 （x0）的图象经过点 A（2，2） ，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，在 y 轴的正半轴上取一点 P（0，t） ，过点 P 作直线 OA 的垂线 l，以直线 l 为对称轴，点 B 经轴对称变换得到的点 B在此反比例函数的图象上，则 t 的值是（ ）A B C D【答案】D15如图，抛物线 交 轴与点 和 ，交 轴于点 ，抛物线的顶点为 ，下列四个命题：当 时， ；若 ，则 ；抛物线上有两点 和 ，若 ，且 ，则 ；点 关于抛物线对称轴的对称点为 ，点 ， 分别在 轴和 轴上，当 时，四边形 周长的最小值为 其中真命题的序号是（ ）A B C D【答案】C16二次函数 的图象如图所示，下
7、列结论： ； ； ； ，其中正确结论的是 A B C D【答案】C17反比例函数 y （a0，a 为常数）和 y 在第一象限内的图象如图所示，点 M 在 y 的图象上，MCx轴于点 C，交 y 的图象于点 A；MDy 轴于点 D，交 y 的图象于点 B，当点 M 在 y 的图象上运动时，以下结论：S ODBS OCA；四边形 OAMB 的面积不变；当点 A 是 MC 的中点时，则点 B 是 MD 的中点其中正确结论是（ ）A B C D【答案】D18抛物线 yax 2+bx+1 的顶点为 D，与 x 轴正半轴交于 A、B 两点，A 在 B 左，与 y 轴正半轴交于点 C，当ABD 和OBC 均
8、为等腰直角三角形（O 为坐标原点）时， b 的值为（ ）A2 B2 或4 C2 D4【答案】D19如图，一次函数 y=ax+b 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，与反比例函数 y= 相交于 C、D 两点，分别过 C、D两点作 y 轴、x 轴的垂线，垂足为 E、F，连接 CF、DE、EF 有下列三个结论：CEF 与DEF 的面积相等；DCECDF；AC=BD其中正确的结论个数是（ ）A0 B1 C 2 D3【答案】C20两个反比例函数 y 和 y 在第一象限内的图象如图所示，点 P 在 y 的图象上，PC x 轴于点 C，交 y的图象于点 A，PDy 轴于点 D，交 y 的图象于点 B，当点
9、 P 在 y 的图象上运动时，以下结论：ODB与OCA 的面积相等；四边形 PAOB 的面积不会发生变化； PA 与 PB 始终相等；当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点其中一定正确的是( )A B C D【答案】C三、解答题21如图 ，在平面直角坐标系中，抛物线 分别与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，直线 EF 垂直平分线段 BC，分别交 BC 于点 E，y 轴于点 F，交 x 轴于 D判 定 的形状；在线段 BC 下方的抛物线上有一点 P，当 面积最大时，求点 P 的坐标及 面积的最大值；如图 ，过点 E 作 轴于点 H，将 绕点 E 逆时针旋转一
10、个角度 ， 的两边分别交线段 BO，CO 于点 T，点 K，当 为等腰三角形时，求此时 KT 的值【答案】 ABC 为直角三角形； 当 时， 面积最大， 最大面积为 ，此时 ； 当是等腰三角形时，KT 的值为 或 22小明在课 外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数 ya 1x2b 1xc 1（a 10，a 1，b 1，c 1是常数）与 ya 2x2b 2xc 2（a 20，a 2，b 2，c 2是常数）满足 a1a 20，b 1b 2，c 1c 20，则称这两个函数互为“旋转函数” 求y2x 25x3 函数的“旋转函数” 小明是这样思考的：由 y2x 25x3 函数可知，a 12，b
11、15，c 13，根据a1a 20，b 1b 2，c 1c 20，求出 a2，b 2，c 2就能确定这个函数的“旋转函数” 请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数 y2x 25x3 的“旋转函数” ；（2）若函数 y1x 2 xn 与 y2x 2mx2 互为“旋转函数” ，求（mn） 2019的值；（3）已知函数 y (x2)(x3)的图像与 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、B、C 关于原点的对称点分别是 A1、B 1、C 1，试证明经过点 A1、B 1、C 1的二次函数与函数 y (x2)(x3)互为“旋转函数” 【答案】 （1） y2x 25x3 ;(2)1;(3
12、)见解析.23如图，直线 yx +c 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A，C （1）求抛物线的解析式；（2）已知点 P 是抛物线上的一个动点，并且点 P 在第二象限内，过动点 P 作 PEx 轴于点 E，交线段 AC 于点D如图 1，过 D 作 DFy 轴于点 F，交抛物线于 M，N 两点（点 M 位于点 N 的左侧） ，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，求点 P，M，N 的坐标；如图 2，连接 CD，若以 C，P，D 为顶点的三角形与ADE 相似，求CPD 的面积【答案】 （1）yx 23x +4；（2） 点 P 坐标为（2，
13、6） ，点 M、N 的坐标分别为（ ，2） 、 （，2） ；CPD 的面积为 或 424已知抛物线 y=a(x1)(x3)(a0) 的顶点为 A，与 y 轴交于点 C，过 C 作 CBx 轴交抛物线于点 B，过点 B 作直线 lx 轴，连结 OA 并延长，交 l 于点 D，连结 OB(1)当 a=2 时，求线段 OB 的长(2)是否存在特定的 a 值，使得OBD 为等腰三角形？若存在，请写出计算过程并求出 a 的值；若不存在，请说明理由(3)设OBD 的外心 M 的坐标为 (m，n) ，求 m 与 n 的数量关系式【答案】 （1）2 （2）a=1 或- （3）m=3n 2+225如图，一个圆形
14、喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置 OA，O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA 的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系式可以用 yx 2+bx+c 表示，且抛物线经过点B( ，2)，C(2， )请根据以上信息，解答下列问题；(1)求抛物线的函数关系式，并确定 喷水装置 OA 的高度；(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】(1)yx 2+2x+ ，喷水装置 OA 的高
15、度是 米；(2)喷出的水流距水面的最大高度是 米；(3) 水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不至于落在池外26如图，抛物线 yx 2mx（m+1）与 x 轴负半轴交于点 A（x 1，0） ，与 x 轴正半轴交于点 B（x 2，0）（OAOB ） ，与 y 轴交于点 C，且满足 x12+x22x 1x213（1）求抛物线的解析式；（2）以点 B 为直角顶点，BC 为直角边作 RtBCD，CD 交抛物线于第四象限的点 E，若 ECED，求点 E 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点 Q，使得 SACQ2S AOC？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由【答案】 （1）yx 22x
16、 3；（ 2）E 点坐标为（ ， ） ；（3）点 Q 的坐标为（3，12）或（2，3） 理由见解析.27已知一次函数 yk 1x+b 与反比例函数 y 的图象交于第一象限内的 P（ ，8） ，Q（4，m）两点，与 x 轴交于 A 点（1）写出点 P 关于原点的对称点 P的坐标；（2）分别求出这两个函数的表达式 ；（3）求PAO 的正切值【答案】 （1） （ ，8） ；（2）y2x+9；（3） 28如图，已知二次函数 和二次函数 图象的顶点分别为M、N ，与 x 轴分别相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边）和 C、D 两点（点 C 在点 D 的左边） ，(1)函数 的顶点坐标为 ；当二
17、次函数 L1 ，L 2 的 值同时随着 的增大而增大时， 的取值范围是 ；(2)当 AD=MN 时，求 的值，并判断四边形 AMDN 的形状（直接写出，不必证明） ；(3)当 B， C 是线段 AD 的三等分点时，求 a 的值.【答案】 （1）顶点坐标为 M（ -1，-2） ， ；（2）四边形 AMDN 是矩形，理由见解析；（3）29数学问题：如何计算平面直角坐标系中任意两点之间的距离？探究问题：为解决上面的问题，我们从最简单的问题进行研究探究一：在图 1 中，已知线段 AB，A（2，0） ，B（0，3） ，写出线段 AO 的长，BO 的长，所以线段 AB 的长为多少；把 RtAOB 向右平移
18、 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到 RtCDE，写出 RtCDE 的顶点坐标C，D，E，此时线段 CD 的长为多少，DE 的长为多少，所以线段 CE 的长为多少探究二：在图 2 中，已知线段 AB 的端点坐标为 A（a，b） ，B（c，d） ，求出图中 AB 的长（用含 a，b，c ，d 的代数式表示，不必证明） 归纳总结：无论线段 AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）时线段 AB 的长为多少（用含 x1，y 1，x 2，y 2 的代数式表示，不必证明） 拓展与应用：运用在图 3 中，一次函数 y=x+3 与反比例函数 y= 的
19、图象交点为 A、B，交点的坐标分别是 A（1，2） ，B（2，1） 求线段 AB 的长；若点 P 是 x 轴上动点，求 PA+PB 的最小值【答案】探究一：AO2，BO3，AB ；RtCDE 的顶点坐标分别为 C（1，2） ，D（3，2） ，E（3，5） ，CD2，DE3，CE ；探究二： AB ；归纳总结：AB ；拓展与应用：AB ，PA+PB 的最小值是 30如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y 的图象交于 A（1，4） ，B（4，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当 x0 时，kx+b 的解集（3）点 P 是 x 轴上的一动点，试确定点 P 并求出它的坐
20、标，使 PA+PB 最小【答案】 （1）y ，y= x+5；（2）0 x1 或 x4；（3）点 P 的坐标为（ ，0）31如图，以 x=1 为对称轴的抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A，点 B（1，0） ，与 y 轴交于点C（0，4） ，作直线 AC（1）求抛物线解析式；（2）点 P 在抛物线的对称轴上，且到直线 AC 和 x 轴的距离相等，设点 P 的纵坐标为 m，求 m 的值；（3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 AC 上，点 Q 为第一象限内抛物线上一点，若以点C、M、N、Q 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点 Q 的坐标【答案】 （1）y=
21、 x2+ x+4；（ 2）m 的值为 1 或4；（ 3）点 Q 的坐标为（1， ）或（ ， ） 32在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：yk 1x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B 两点，OA OB，直线l2：yk 2x+b 经过点 C（1， ） ，与 x 轴、y 轴和线段 AB 分别交于点 E、F、D 三点（1）求直线 l1 的解析式；（2）如图：若 ECED，求点 D 的坐标和BFD 的面积；（3）如图：在坐标轴上是否存在点 P，使 PCD 是以 CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1 ） ；（2）D （3， ） ，面
22、积为 6 ；（3）存在，满足条件的点 P 坐标为（0，4 6）或（2 ，0） ，理由见解析33如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点求一次函数与反比例函数的表达式；求 的面积；根据所给条件，请直接写出不等式 的解集【答案】 ， ； ； ， 34如图，在平面直角坐标系中，直线 y- x+2 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线 yx 2+bx+c 经过点A、B 点 P 是 x 轴上一个动点，过点 P 作垂直于 x 轴的直线分别交抛物线和直线 AB 于点 E 和点 F设点 P 的横坐标为 m（1 ）点 A 的坐标为 （2 ）求这条抛物线所对应的函数表达式（3 ）点 P 在线段 OA 上时，若以 B、E、F 为顶点的三角形与FPA 相似，求 m 的值（4 ）若 E、F 、 P 三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） ，称 E、F、P 三点为“共谐点”直接写出 E、F、P 三点成为“共谐点”时 m 的值【答案】 （1） （4，0） （2）yx 2+ x+2（3） ， （4）1 或 或