1、二次函数题型一、单选题1如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C 对称轴为直线 x=1直线y=x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，则下列结论：2a+b+c0；a b+c0；x（ax+b）a+b；a1 其中正确的有（ ）A4 个 B3 个 C 2 个 D1 个【答案】A2抛物线 的部分图象如图所示，与 x 轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对称轴是下列结论中：； ； 方程 有两个不相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为； 若点 在该抛物线上，则 其中正确的有 A5
2、个 B4 个 C 3 个 D2 个【答案】B3如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其下方的部分记作 ，将 向左平移得到 ， 与 x 轴交于点 B、D，若直线 与 、 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是 A B C D【答案】C4如图，抛物线 y= （x+2 ） （x8）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 M，以 AB 为直径作D下列结 论：抛物线的对称轴是直线 x=3；D 的面积为 16；抛物线上存在点 E，使四边形 ACED 为平行四边形；直线 CM 与D 相切其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B5已知二次函数
3、y=x 2+x+6 及一次函数 y=x+m，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示） ，请你在图中画出这个新图象，当直线 y=x+m 与新图象有 4个交点时，m 的取值范围是（ ）A m3 B m 2 C2m3 D6m2【答案】D6将抛物线 y=x2+2x+3 向下平移 3 个单位长度后，所得到的抛物线与直线 y=3 的交点坐标是（ ）A （0，3）或（2，3） B （3，0）或（1，0）C （3，3）或（1，3） D （3，3）或（1，3）【答案】D7如图， 抛物线 与 轴交于点 A（-1,0） ，顶点坐标（1，n）与 轴的
4、交点在（0,2） ， （0,3）之间（包 含端点） ，则下列结论： ； ；对于任意实数 m， 总成立；关于 的方程 有两个不相等的实数根其中结论正确的个数为 A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个【答案】D8已知二次函数 y=x2x+ m1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ）Am5 Bm2 Cm5 Dm2【答案】A9跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系 （ ） 下图记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最
5、高点时，水平距离为A B C D【答案】B10如图，在 ABCD 中，AB=6，BC=10 ，ABAC，点 P 从点 B 出发沿着 BAC 的路径运动，同时点 Q 从点A 出发沿着 ACD 的路径以相同的速度运动，当点 P 到达点 C 时，点 Q 随之停止运动，设点 P 运动的路程为x，y=PQ 2，下列图象中大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ）【答案】B11如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） 下列结论：2ab=0；（a+c） 2b 2；当1x3 时，y0；当 a=1 时，将抛物线先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，
6、得到抛物线 y=（x2） 22其中正确的是（ ）A B C D【答案】D12已知一次函数 y= x+c 的图象如图，则二次函数 y=ax2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）【答案】A13已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)满足函数表达式 ht 224t1.则下列说法中正确的是( )A点火后 9 s 和点火后 13 s 的升空高度相同B点火后 24 s 火箭落于地面C点火后 10 s 的升空高度为 139 mD火箭升空的最大高度为 145 m【答案】D14如图，一段抛物线 y=x 2+4（2x2 ）为 C1，与 x 轴交于 A0，A 1 两点，顶点为
7、 D1；将 C1 绕点 A1 旋转180得到 C2，顶点为 D2；C 1 与 C2 组成一个新的图象，垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1（x 1，y 1） ，P2（x 2，y 2） ，与线段 D1D2 交于点 P3（x 3，y 3） ，设 x1，x 2，x 3 均为正数，t=x 1+x2+x3，则 t 的取值范围是（ ）A6t8 B6t8 C10t12 D10t12【答案】D1 二、填空题15如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴交于 A，B 两点，顶点 P（m，n） 给出下列结论：2a+c0；若（ ，y 1） ， （ ，y 2） ， （ ，y 3
8、）在抛物线上，则 y1y 2y 3；关于 x 的方程 ax2+bx+k=0 有实数解，则 kcn；当 n= 时，ABP 为等腰直角三角形其中正确结论是_（填写序号） 【答案】16如图，抛物线 y=x2+bx+ 与 y 轴相交于点 A，与过点 A 平行于 x 轴的直线相交于点 B（点 B 在第一象限） 抛物线的顶点 C 在直线 OB 上，对称轴与 x 轴相交于点 D平移抛物线，使其经过点 A、D ，则平移后的抛物线的解析式为_【答案】17如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计） ，当 AB=_m 时，矩形
9、土地 ABCD 的面积最大【答案】15018如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2+bx（a0）的顶点为 C，与 x 轴的正半轴交于点 A，它的对称轴与抛物线 y=ax2（a 0）交于点 B若四边形 ABOC 是正方形，则 b 的值是_【答案】219如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为 2 m 时，水面宽度为 4 m；那么当水位下降 1m 后，水面的宽度为_m.【答案】220已知二次函数 yax2+bx-3 自变量 x 的部分取值和对应函数值 y 如下表：则在实数范围内能使得 y-50 成立的 x取值 范围是_【答案】x4 或 x-221若二次函数 y2x 24x1
10、的图象与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x 2，0)两点，则 的值为_【答案】-422已知当 x1a，x 2b，x 3c 时，二次函数 y x2mx 对应的函数值分别为 y1，y 2，y 3，若正整数 a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当 abc 时，都有 y1y 2y 3，则实数 m 的取值范围是_【答案】 .5m23如图抛物线 y=x2+2x3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，连接 DE，DF，则 DE+DF 的最小值为_【答案】24已知函数 使 成立的 的值恰好只有 个时， 的值
11、为_.【答案】225如图，已知抛物线 y1=x 2+4x 和直线 y2=2x我们规定：当 x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为 y1 和y2，若 y1y2，取 y1 和 y2 中较小值为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2当 x2 时，M=y 2；当 x0 时，M 随 x 的增大而增大；使得 M 大于 4 的 x 的值不存在；若 M=2，则 x=1上述结论正确的是_（填写所有正确结论的序号） 【答案】26如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx 交 x 轴的负半轴于点 A点 B 是 y 轴正半轴上一点，点 A 关于点 B 的对称点 A恰好 落在抛物线上过点 A作 x 轴的平行
12、线交抛物线于另一点 C若点 A的横坐标为 1，则 AC的长为_【答案】3三、解答题27在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 (k 为常数） （1）若抛物线经过点(1,k 2)，求 k 的值；（2）若抛物线经过点(2k,y 1)和点(2,y 2)，且 y1y2，求 k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线，当 1x2 时，新抛物线对应的函数有最小值，求 k 的值【答案】(1) ;(2)k1；（3）1 或 3. 28某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共
13、 400 千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的 7 倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为 100 千克，销售均价为 30 元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了 m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为 200 千克，销售均价为 20 元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了 2m%，但销售均价比去年减少了 m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求 m 的值【答案】(1) 50 千克 (2) 12.529随着人们生活水平的
14、提高，短途旅行日趋火爆.我市某旅行社推出“辽阳葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用 y（元）与团队报名人数 x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88 元.旅行社收到的团队总报名费用为 w（元）.（1）直接写出当 x20 时，y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为 3000 元，报名旅游的 人数是多少？（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？【答案】 （1） ；（2 ）30；（3）36 人，3168 元.30一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产
15、品，这种产品的成本价 10 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 （件 与销售价 （元/件）之间的函数关系如图所示（1）求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；（2）求每天的销售利润 W（元 与销售价 （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】 （1） （2） ， ，144 元31综合与探究如图 1 所示，直线 y=x+c 与 x 轴交于点 A(-4,0)，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A，C (1)求抛物线的解析式
16、(2)点 E 在抛物线的对称轴上，求 CE+OE 的最小值；(3)如图 2 所示，M 是线段 OA 的上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AC 和抛物线分别交于点 P、N若以 C，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，则 CPN 的面积为 ；若点 P 恰好是线段 MN 的中点，点 F 是直线 AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点 D，使以点D，F，P，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由注：二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的顶点坐标为( )【答案】(1)y=-x 2-3x+4；(2)5；(3) 或 4；存在，D 点坐标为(
17、， )或(-1+ ， )或(-1- ，- )或(-4，3).32如图，抛物线 与 轴交于 ， ， 两点（点 在点 的左侧） ，与 轴交于点 ，且， 的平分线 交 轴于点 ，过点 且垂直于 的直线 交 轴于点 ，点 是 轴下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 （1）求抛物线的解析式；（2）设点 的横坐标为 ，当 时，求 的值；（3）当直线 为抛物线的对称轴时，以点 为圆心， 为半径作 ，点 为 上的一个动点，求的最小值【答案】 （1）y x2 x3；（2） ；（3） 33知识背景当 a0 且 x0 时，因为（ ） 20，所以 x2 + 0，从而 x+ （当 x= 时取等号
18、） 设函数 y=x+ （a0，x0） ，由上述结论可知：当 x= 时，该函数有最小值为 2 应用举例已知函数为 y1=x（x0）与函数 y2= （x0） ，则当 x= =2 时，y 1+y2=x+ 有最小值为 2 =4解决问题（1）已知函数为 y1=x+3（x3）与函数 y2=（x+3） 2+9（x3） ，当 x 取何值时， 有最小值？最小值是多少？（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共 490 元；二是设备的租赁使用费用，每天 200 元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为 0.001若设该设备的租赁使用天数为 x 天，则当 x 取何值时
19、，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？【答案】 （1）6；（2 ）w 有最小值，最小值=201.4 元34如图，已知二次函数 的图象经过点 A(4,0)，与 y 轴交于点 B在 x 轴上有一动点 C(m,0)(00)个单位，平移后的直线与抛物线交于 M，N 两点（点 M 在 y 轴的右侧） ，当AMN为直角三角形时，求 t 的值【答案】 （1） ；（2）BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当AMN 为直角三角形时，t 的值为1 或 436如图，抛物线顶点 P（1，4） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于点 A，B（1）求抛物线的解析式（2）Q 是抛物线上除点 P
20、 外一点，BCQ 与BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标（3）若 M，N 为抛物线上两个动点，分别过点 M，N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为 D，E是否存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形？如果存在，求正方形 MNED 的边长；如果不存在，请说明理由【答案】 （1）y=x 2+2x+3；（2 ）Q（2，3 ） ；Q 2（ ， ） ，Q 3（ ， ） ；（3）存在37如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2ax3a（a0）与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D，直线 DC 与 x 轴相交于点 E（1）当 a=1 时，求抛物线顶点 D 的坐标，OE
21、 等于多少；（2）OE 的长是否与 a 值有关，说明你的理由；（3）设DEO=，4560，求 a 的取值范围；（4）以 DE 为斜边，在直线 DE 的左下方作等腰直角三角形 PDE设 P（m，n） ，直接写出 n 关于 m 的函数解析式及自变量 m 的取值范围【答案】 （1） （1，4 ） ，3；（2）结论：OE 的长与 a 值无关理由见解析；（3） a 1；（4）n=m 1（m1） 38如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于点 A（1，0）和点 B（3，0） （1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图 2，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 F，点 D（2，3）在该抛物线
22、上求四边形 ACFD 的面积；点 P 是线段 AB 上的动点（点 P 不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 PQx 轴交该抛物线于点 Q，连接 AQ、DQ，当AQD 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 Q 的坐标【答案】 （1）y=x 2+2x+3；（2 ）S 四边形 ACFD= 4；Q 点坐标为（1，4）或（ ， ）或（ ，） 39已知抛物线 F：y x 2+bx+c 的图象经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交点为（ ，0） （1）求抛物线 F 的解析式；（2）如图 1，直线 l：y x+m（m 0）与抛物线 F 相交于点 A（x 1，y 1）和点 B（x 2，y 2） （点 A 在第二
23、象限） ，求 y2y 1 的值（用含 m 的式子表示） ；（3）在（ 2）中，若 m ，设点 A是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2判断AAB 的形状，并说明理由；平面内是否存在点 P，使得以点 A、B、A、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1）yx 2 x；（ 2）y 2y 1 （m0） ；（3）等边三角形；点 P 的坐标为（2 ） 、 （）和（ ，2） 40在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+ x+c 的图象经过点 C（0，2）和点 D（4，2） 点 E 是直线y= x+2 与二次函数图象在第一象限内的交点（1）求二次函数的解
24、析式及点 E 的坐标（2）如图，若点 M 是二次函数图象上的点，且在直线 CE 的上方，连接 MC，OE，ME求四边形 COEM 面积的最大值及此时点 M 的坐标（3）如图，经过 A、B、C 三点的圆交 y 轴于点 F，求点 F 的坐标【答案】 （1）E（3 ，1） ；（2 ）S 最大 = ，M 坐标为（ ，3） ；（3）F 坐标为（0， ） 41如图，已知抛物线 过点 A( ,-3) 和 B(3 ,0)，过点 A 作直线 AC/x 轴，交 y 轴与点 C.（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点 P，过点 P 作直线 AC 的垂线，垂足为 D，连接 OA，使得以 A，D，P 为顶点的
25、三角形与AOC 相似，求出对应点 P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 Q，使得 ?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） ；（2）P 点坐标为（4 ,6）或（ ,- ） ；（3 ）Q 点坐标（3 ，0）或（ -2 ，15）42已知抛物线 的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移 2 个单位，分别 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，则平移后的解析式为 （2）判断ABC 的形状，并说明理由（3）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得以 A、C、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由【答案】 （1） ；（2）AB
26、C 是直角三角形；（3）存在， 、 、43空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，已知木栏总长为 100 米（1）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面积为 450 平方米如图1，求所利用旧墙 AD 的长；（2）已知 050，且空地足够大，如图 2请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园 A BCD 的面积最大，并求面积的最大值【答案】 （1）利用旧墙 AD 的长为 10 米 （2）见解析.44如图，已知顶点为 的抛物线 与 轴交于 ， 两点，直线 过顶点 和点 （1）求 的值；（2
27、）求函数 的解析式；（3）抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1）3；（2）y x23；（3）M 的坐标为（ 3 ，6）或（ ，2） 45如图， 已知抛物线 的对称轴是直线 x=3，且与 x 轴相交于 A，B 两点（B 点在 A 点右侧）与 y轴交于 C 点 （1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标；（2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合） ，则是否存在一点 P，使PBC 的面积最大若存在，请求出PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN=3 时，求 M 点的坐标 【答案】 （1） ，点 A 的坐标为(-2，0)，点 B 的坐标为(8，0)；（2）存在点 P，使PBC 的面积最大，最大面积是 16，理由见解析；（3）点 M 的坐标为(4-2 ， )、(2，6)、(6，4)或(4+2 ，-)